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5.1认识二元一次方程组课后提升培优训练北师大版2025—2026学年八年级数学上册
一、选择题
1．下列方程组中不是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．小明在解关于的二元一次方程组时，解得，则△和★代表的数分别是( )
A．、 B．、 C．、 D．、
3．把方程写成用含的代数式表示的形式，下面表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．若是二元一次方程的一个解，则的值等于（　　）
A． B． C．2 D．3
5．育才中学计划安装一批由太阳能电池板和路灯柱组成的智慧路灯，已知1个路灯柱配2个太阳能电池板，现有太阳能电池板和路灯柱共36个，问该校一共安装多少个智慧路灯？设太阳能电池板个，路灯柱个，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是的解，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（ ）
A．4 B．或2 C． D．2
8．为组织研学活动，王老师把班级里名学生计划分成若干小组，若每组只能是人或人，则分组方案共有（　　）
A．2种 B．3种 C．8种 D．10种
二、填空题
9．如果是一个关于x，y的二元一次方程，那么的值是 ．
10．已知是二元一次方程的一个解，则 ．
11．将方程变形，用含y的代数式表示x，则 ．
12．已知是方程的解，则代数式的值为 ．
三、解答题
13．甲、乙两人同时解关于x，y的二元一次方程组时，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为试计算的值．
14．已知都是实数，设点，且满足，我们称点为“梦之点”．
(1)判断点是否为“梦之点”；
(2)若点是“梦之点”，请判断点在第几象限，并说明理由．
15．已知方程．
(1)用关于a的代数式表示b；
(2)求当，1时，对应的b值，并由此写出方程对应的两个解．
16．已知下列四对数值：
①②③④
(1)哪几对数值是方程的解？
(2)哪几对数值是方程的解？
(3)写出方程组的解．
17．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得：．根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为．
问题：
(1)请你直接写出方程的一组正整数解______．
(2)若为正整数，则满足条件的正整数x的值有______个．
(3)2024-2025学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的笔记本与单价为6元的钢笔两种奖品，共花费56元，问有哪几种购买方案？
18．若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为．
(1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________．
(2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程；
(3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值．
参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．B
4．D
5．A
6．C
7．C
8．B
二、填空题
9．8
10．
11．
12．2
三、解答题
13．【解】解：把代入方程②，得，
解得．
把代入方程①，得，解得．
所以．
14．【解】（1）解：由题意，得，
解得，
∴，
∴，
∴点是“梦之点”．
（2）解：点在第三象限．理由如下：
∵点是“梦之点”，
∴，
∴，
∴代入有，
解得，
∴，
∴点的坐标为，
∴点在第三象限．
15．【解】（1）解：（1），
，
；
（2）当时，；
当时，，
∴方程对应的两个解为，．
16．【解】（1）解：将①代入得：，左边右边；
将②代入得：，左边右边；
将③代入得：，左边右边；
将④代入得：，左边右边；
∴①②③是方程的解；
（2）解：将①代入得：，左边右边；
将①代入得：，左边右边；
将②代入得：，左边右边；
将③代入得：，左边右边；
将④代入得：，左边右边；
∴①④是方程的解；
（3）解：由（1）（2），得①是方程组的解．
17．【解】（1）解：∵，
∴，
∴当时，，
∴原方程的一组正整数解为；
（2）解：∵是正整数，
∴是18的正因数，
∴或或或或或，
∴满足条件的正整数x的值有6个，
故答案为：6；
（3）解：设购买m本笔记本，n支钢笔，
依题意得：，
∴，
又∵m，n均为正整数，
∴或或或，
∴共有4种购买方案．
答：共有4种购买方案．方案一：2本笔记本，11支钢笔；方案二：4本笔记本，8支钢笔；方案三：6本笔记本，5支钢笔；方案四：8本笔记本，2支钢笔．
18．【解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴二元一次方程的“相伴系数对”为，
故答案为：；
（2）解：∵方程的“相伴系数对”为，
∴该方程为，
∵是关于、的二元一次方程的一个解，
∴，
解得，
∴，
即；
（3）解：∵，
∴，
即，
∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2，
∴，
整理得，
即．
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