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4.3解直角三角形后培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．菱形的周长为，两个相邻的内角的度数之比为，则较长的对角线的长度是（ ）
A． B． C． D．
2．已知中，，点在边上，连接，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．在Rt中，，则斜边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，是斜边上的高．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，过点A作于点D，．若E、F分别为、的中点，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
6．比较，，的大小，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，，，的高与角平分线交于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形中，M是边的中点，N是边的中点，连接，相交于点E，连接并延长，交于点F．若，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在中，为线段上一点，且，则的值为
10．在中，，，若，那么 ．
11．如图，四边形是正方形，是边上一点，连接，，垂足为，交于点，若，则线段的长为 ．
12．是以为腰的等腰三角形，，，则的面积为
三、解答题
13．已知中，，D是边AC上一点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，试画出符合条件的大致图形，并求的长度．
14．如图，在梯形中，，点E在上，，且，若，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
15．已知：中，，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
16．矩形中，已知，点E是上的一个动点，连接并延长，交射线于点F．将沿直线翻折，点B的对应点为点．
(1)如图1，若点恰好落在对角线上，求的值；
(2)如图2，若点E为线段的中点，延长交于点M，求的正切值．
17．如图，在中，，于D，，试求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
18．如图，已知在中，于点，的中点是，且，．求：
(1)线段的长；
(2)的正切值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．B
2．B
3．C
4．B
5．A
6．B
7．A
8．C
二、填空题
9．
10．
11．
12．3或
三、解答题
13．【解】（1）证明：∵，D是边AC上一点，且，
∴，
∴
∴，
∵，
∴；
（2）如图①，过点A作交的延长线于点，
在中，
∵
∴，
∴，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
如图②所示，过点A作交于点，
在中，
∵
∴，
∴，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
综上可知，的长度为或．
14．【解】（1）解：如图，过点分别作，交于点，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
；
（2）解：，
的面积为．
15．【解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得（负值已舍去）；
（2）解：由（1），
∴，
∵，
∴．
16．【解】（1）证明：四边形为矩形，
，
，
由折叠可知：，
．
∴，
在中，，
，
，
；
（2）解：如图，的延长线交于点，
四边形为矩形，
∴，
∴
∵点E为线段的中点，
∴
∵
∴
，
∵折叠
∴
∴
∴．
设，则，
则，
在中，，
即，
解得，
∴
．
17．【解】（1）解：∵，
由勾股定理得，
∴；
（2）解：由等面积法可得，，
∴，
∴；
（3）解：由等面积法可得，，
∴．
18．【解】（1）解：，
，
在中，，
，
设，
又，
，
得：，
则，
．
（2）解：，
，
是边的中点，
，
，
，
，
，
．

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