资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第七课时《14.3 角的平分线（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在学生掌握全等三角形性质与判定的基础上展开，核心围绕角平分线的特性展开探究．先通过“角平分线上的点与角两边上点所连线段的数量关系”引入，借助全等三角形（SAS、SSS）推导作角平分线的方法，再聚焦“角平分线上的点到角两边的距离”这一特殊位置关系，通过猜想、证明得出角平分线的性质定理，最后通过练习实现定理的应用．整个内容遵循“探究—证明—应用”的几何学习逻辑，既衔接了全等三角形的知识，又为后续角平分线判定定理及几何综合问题解决奠定基础，同时渗透了“从特殊到一般”的数学思想．
学习者分析 学生已具备全等三角形的性质与判定（SSS、SAS、AAS等）知识，能通过证明三角形全等推导线段或角相等，这为角平分线性质定理的证明提供了基础．但存在两方面不足：一是对“点到角两边的距离”概念易混淆，可能误将“点到角两边上某点的线段”当作“垂线段”；二是几何证明的逻辑梳理能力较弱，在从“已知点在角平分线上”到“证明垂线段相等”的过程中，难以快速联想到构建全等直角三角形
教学目标 1．理解“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的性质，并能证明这个性质定理； 2．运用角平分线的性质解决实际问题．
教学重点 理解“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的性质，并完成定理的证明．
教学难点 构建角平分线性质定理的证明思路，及应用定理时准确识别“点到角两边的垂线段”．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的性质，并能证明这个性质定理； 2．运用角平分线的性质解决实际问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：说一说角平分线的定义？ 预设：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 即：∵∠AOC=∠BOC=∠AOB ∴OC是∠AOB的角平分线 或∵ OC是∠AOB的角平分线 ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB 导言：前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等．本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上． 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的．我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系．学生活动2： 学生积极回答问题，并认真听老师的讲解活动意图说明： 通过回顾角平分线的定义，为进一步探究角平分线的性质做好铺垫。环节三：新知讲解教师活动3： 探究：如图所示，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系． 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况．在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM＝PN？ 分析：在图中可以发现，在△OPM和△OPN中，OP＝OP，∠POM＝∠PON．如果OM＝ON，那么△OPM≌△OPN（SAS），就有PM＝PN． 反过来，如图所示，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM＝ON．点P在∠AOB的内部，PM＝PN．连接OP，可以证明△OPM≌△OPN（SSS），所以∠POM＝∠PON，即点P在∠AOB的平分线上． 思考：由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 分析：根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了． 作法：如图所示，已知∠AOB． （1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）作射线OC．射线OC即为∠AOB的平分线． 追问：想一想为什么要以大于MN的长为半径作弧？ 下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系，我们仍研究其中的特殊情形． 探究：如图所示，OC是∠AOB的平分线．点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3……．分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3……，你有什么发现？ 预设：P1D1＝P1E1，P2D2＝P2E2，P3D3＝P3E3，…， 猜想角的平分线有以下性质： 角的平分线上的点到角两边的距离相等． 追问：你能利用全等三角形证明这个性质吗？ 讲解：我们证明这个性质．首先，要分清其中的“已知”和“求证”．显然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证． 已知：如图所示，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E． 求证：PD＝PE． 分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD＝PE．由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件． 证明：∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC＝∠BOC． ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°． 在△OPD和△OPE中， ∴△OPD≌△OPE（AAS）． ∴PD＝PE． 归纳：一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1．明确命题中的已知和求证； 2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 注意：根据题意，画出图形时，作图要尽量规范，通过观察、测量规范的图形可猜想有关结论；不规范的图形容易误导解题思路． 归纳：角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 符号语言: ∵点P在∠AOB 平分线上， 且PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. 注意：（1）“距离”指的是点到角的两边的垂线段的长度； （2）使用该性质的前提条件是图中有角平分线和垂直条件． 例：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：∠B＝∠C. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∵ ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)， ∴∠B＝∠C学生活动3： 学生小组合作探究，并班内汇报交流，小组成员互相补充，然后认真听老师的点评与讲解活动意图说明： 通过探究掌握角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，并知道几何命题的证明步骤，并通过例题提高学生运用所学知识进行的分析问题和解决问题的能力。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：14.3 角的平分线（第1课时）一、 二、教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，已知，在射线，上分别截取，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点C，作射线，则就是的平分线．作图依据是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（　　） A． B． C． D． 答案：C 3．如图，平分于点D，于点E，与交于点O．求证：． 证明∵平分，于点D，于点E， ∴，， 在与中 ， ∴， ∴． 选做题： 4．如图，点P是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为 ． 答案：3或5 【综合拓展类练习】 5．如图，有3条公路a，b，c两两相交，现在要修建加气站，使得加气站到3条公路的距离都相等． (1)满足条件的加气站共有______处； (2)请你找出一处加气站P的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 解：（1）如图： ∵外角平分线的交点有3处，内角平分线的交点有1处， ∴满足条件的点有4处， 故答案为：4； （2）如图，点即为所求，
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图所示，在中，按以下步骤作图： ①在，上分别截取，； ②分别以点D，E为圆心，大于，两弧相交于点F； ③作射线交于点M； ④过点M作于点N． 下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 答案：C 2．如图，点是平分线上一点，于，，如果是上一动点，则线段的最小值是 ． 答案：1 3．如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 解：（1）即为的平分线，如图所示． （2）如图，作于点H． 因为平分， 所以， 所以 ． 选做题： 4．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（ ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 答案：A 【综合拓展类作业】 5．如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：点到三边所在直线的距离相等． 解：（1）∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴； （2）证明：过作于，于，于， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点到三边所在直线的距离相等．
教学反思 本节课通过“探究猜想—严格证明—练习巩固”的流程，基本达成了教学目标，多数学生能理解角平分线的性质定理，且能独立完成定理证明．在探究环节，借助图形引导学生观察垂线段的数量关系，有效帮助学生建立直观认知；但部分学生仍混淆“点到线段的距离”与“普通线段”，后续教学需加强“距离”概念的针对性辨析，可通过对比不同线段的图形，强化学生的直观认知．同时，在证明教学中，应多引导学生“逆向分析”，培养逻辑推理能力，此外，可增加生活中的实际案例，让学生感受定理的应用价值，进一步提升知识迁移能力．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 14.3 角的平分线（第1课时） 单元 第十四章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的性质，并能证明这个性质定理； 2．运用角平分线的性质解决实际问题．
重点 理解“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的性质，并完成定理的证明．
难点 构建角平分线性质定理的证明思路，及应用定理时准确识别“点到角两边的垂线段”．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说角平分线的定义？
新知探究 本节课来研究： 角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系． 探究：如图所示，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系． 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况．在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM＝PN？ 思考：由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 分析：根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离_______的两点，再在角的内部作出与这两点距离______的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了． 作法：如图所示，已知∠AOB． （1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧， 两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）作射线OC．射线OC即为∠AOB的平分线． 想一想：为什么要以大于MN的长为半径作弧？ 下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系，我们仍研究其中的特殊情形． 探究：如图所示，OC是∠AOB的平分线．点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3……．分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3……，你有什么发现？ 猜想：角的平分线有以下性质：角的平分线上的点到角两边的距离_______． 问题：你能利用全等三角形证明这个性质吗？ 我们证明这个性质．首先，要分清其中的“已知”和“求证”．显然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证． 已知：如图所示，OC是∠AOB的_____，点P在OC上，PD⊥____，PE⊥____，垂足分别为D，E． 求证：PD＝____． 证明： 归纳1：一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1．明确命题中的已知和求证； 2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 注意：根据题意，画出图形时，作图要尽量规范，通过观察、测量规范的图形可猜想有关结论；不规范的图形容易误导解题思路． 归纳2：角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的_____________相等． 符号语言: ∵点P在∠AOB 平分线上， 且PD⊥____，PE⊥_____， ∴____=____. 注意：（1）“距离”指的是点到角的两边的垂线段的长度； （2）使用该性质的前提条件是图中有角平分线和垂直条件． 例：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：∠B＝∠C.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，已知，在射线，上分别截取，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点C，作射线，则就是的平分线．作图依据是（ ） A． B． C． D． 2．如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，平分于点D，于点E，与交于点O．求证：． 选做题： 4．如图，点P是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为 ． 【综合拓展类练习】 5．如图，有3条公路a，b，c两两相交，现在要修建加气站，使得加气站到3条公路的距离都相等． (1)满足条件的加气站共有______处； (2)请你找出一处加气站P的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图所示，在中，按以下步骤作图： ①在，上分别截取，； ②分别以点D，E为圆心，大于，两弧相交于点F； ③作射线交于点M； ④过点M作于点N． 下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点是平分线上一点，于，，如果是上一动点，则线段的最小值是 ． 3．如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 选做题： 4．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（ ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 【综合拓展类作业】 5．如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：点到三边所在直线的距离相等．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
第十四章 全等三角形
14.3 角的平分线
（第1课时）
1．理解“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的性质，并能证明这个性质定理；
2．运用角平分线的性质解决实际问题．
说一说角平分线的定义？
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
∵∠AOC=∠BOC=∠AOB
∴OC是∠AOB的角平分线
∵ OC是∠AOB的角平分线∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB
前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等．本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上．
角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的．我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系．
探究：如图所示，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系．
研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况．在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM＝PN？
在图中可以发现，在△OPM和△OPN中，OP＝OP，∠POM＝∠PON．如果OM＝ON，那么△OPM≌△OPN（SAS），就有PM＝PN．
反过来，如图所示，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM＝ON．点P在∠AOB的内部，PM＝PN．连接OP，可以证明△OPM≌△OPN（SSS），所以∠POM＝∠PON，即点P在∠AOB的平分线上．
思考：由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
分析：根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了．
作法：如图所示，已知∠AOB．
（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）作射线OC．射线OC即为∠AOB的平分线．
想一想为什么？
下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系，我们仍研究其中的特殊情形．
探究：如图所示，OC是∠AOB的平分线．点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3……．分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3……，你有什么发现？
P1D1＝P1E1，P2D2＝P2E2，P3D3＝P3E3，…，
猜想角的平分线有以下性质：
角的平分线上的点到角两边的距离相等．
你能利用全等三角形证明这个性质吗？
我们证明这个性质．首先，要分清其中的“已知”和“求证”．显然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证．
已知：如图所示，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
求证：PD＝PE．
分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD＝PE．由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件．
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°．
在△OPD和△OPE中，
∴△OPD≌△OPE（AAS）．
∴PD＝PE．
一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1．明确命题中的已知和求证；
2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
　　根据题意，画出图形时，作图要尽量规范，通过观察、测量规范的图形可猜想有关结论；不规范的图形容易误导解题思路．
角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
符号语言:
∵点P在∠AOB 平分线上，
且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE.
（1）“距离”指的是点到角的两边的垂线段的长度；
（2）使用该性质的前提条件是图中有角平分线和垂直条件．
例：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
求证：∠B＝∠C.
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∵
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠B＝∠C
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，已知，在射线，上分别截取，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点C，作射线，则就是的平分线．作图依据是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（　　）
A． B． C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，平分于点D，于点E，与交于点O．求证：．
证明∵平分，于点D，于点E，
∴，，
在与中
，
∴，
∴．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，点P是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为 ．
3或5
【综合拓展类练习】
5．如图，有3条公路a，b，c两两相交，现在要修建加气站，使得加气站到3条公路的距离都相等．
(1)满足条件的加气站共有______处；
(2)请你找出一处加气站P的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
4
解：（2）如图，点即为所求.
角的平分线
尺规作角的平分线
角的平分线的性质
几何命题的证明步骤
角的平分线上的点到
角的两边的距离相等
【知识技能类作业】必做题：
1．如图所示，在中，按以下步骤作图：
①在，上分别截取，；
②分别以点D，E为圆心，大于，两弧相交于点F；
③作射线交于点M；
④过点M作于点N．
下列结论一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，点是平分线上一点，于，，如果是上一动点，则线段的最小值是 ．
1
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，在中，．
(1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的面积．
解：（1）即为的平分线，如图所示．
（2）如图，作于点H．
因为平分，所以，
所以
．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：
①；
②；
③；
④．四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
A
【综合拓展类作业】
5．如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：点到三边所在直线的距离相等．
解：（1）∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴；
【综合拓展类作业】
5．如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：点到三边所在直线的距离相等．
（2）证明：过作于，于，于，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴点到三边所在直线的距离相等．

展开更多......

收起↑