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14.3 角的平分线（第1课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图，在中，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平分交于点，于点，，，，则的长是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
3．点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是
A． B． C． D．
4．如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在中，，于D，平分交于E，交于F，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）

A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题
6．用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则能说明是的角平分线的依据是 ．（选填“”、“”、“”、“”）
7．如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为 ．
8．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，则的长为 ．
9．如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为 ．
10．如图，D为外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；其中结论正确的是 ．
三、解答题
11．（1）如图①，作的两个内角的平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？
（2）如图②，作的两个内角的外角平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？
（3）你能用你的发现解决下面的实际问题吗？如图③，直线表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？
12．已知：是的角平分线，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，点E在上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接．
①求证：；
②若，且，求的长．
答案与解析
14.3 角的平分线（第1课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图，在中，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题主要考查角平分线，限定工具作图，角的和差；根据图中尺规作图得平分，再结合角的和差计算即可．
解：根据图中尺规作图得，
平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：C．
2．如图，平分交于点，于点，，，，则的长是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
【答案】D
【解析】本题考查了三角形的面积公式，角平分线的性质定理，作交于，由角平分线的性质定理可得，再由计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．
解：如图，作交于，
，
∵平分交于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
3．点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离为5，再根据垂线段最短解答．
解：∵点在的平分线上，点到边的距离等于5，
∴点到的距离为5，
∵点是边上的任意一点，
∴．
故选：B．
4．如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，平行线间的距离等等，掌握角平分线的性质是解题的关键．如图所示，过点P作于F，延长交于G，先证明，由角平分线的性质得到，，则，由此即可得到答案．
解：如图所示，过点P作于F，延长交于G，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴点P到与的距离之和为，
故选：D．
5．如图，在中，，于D，平分交于E，交于F，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）

A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上判定与性质是解题的关键，①根据角度之间的计算和角平分线的性质即可得到答案；②由平行线的性质和全等三角形的判定与性质可证得答案；③利用平行四边形的判定与性质即可证得答案；④根据平行四边形的性质和全等三角形的性质即可证得答案．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
故④正确，
综上所述，①②③④均正确，
故选：A．
二、填空题
6．用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则能说明是的角平分线的依据是 ．（选填“”、“”、“”、“”）
【答案】
【解析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．连接，，根据证，即可推出答案．
解：连接，，如图所示：
在和中，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
故答案为：．
7．如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
先根据角平分线的性质可得，再根据线段的和差即可得．
解：平分，，，，
，
，
，
故答案为：．
8．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，则的长为 ．
【答案】/3厘米
【解析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式得到，即可求解．
解：∵为的平分线，，，
∴，
∵，的面积为，，
∴，
∴．
故答案为：
9．如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为 ．
【答案】6
【解析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理．
过点作，垂足分别为点，连接，根据角平分线的性质得出，利用直角三角形全等得出相等边，然后根据三角形的周长得出，最后利用作差法求出三角形的面积即可．
解：如图所示，过点作，垂足分别为点，连接，
∵和的平分线相交于点，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴四边形的面积为，
五边形的面积为，
∴的面积为，
故答案为：6．
10．如图，D为外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；其中结论正确的是 ．
【答案】①②③
【解析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明是解题的关键．由角平分线的性质得，证明，故①正确；再证，得，故②正确；由，得，可证③正确；由，而，与不平行，，可知④错误．
解：∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
如图与交于点，则，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
而，
∴与不平行，
∴，
故④错误．
∴正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
三、解答题
11．（1）如图①，作的两个内角的平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？
（2）如图②，作的两个内角的外角平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？
（3）你能用你的发现解决下面的实际问题吗？如图③，直线表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？
【答案】（1）图见解析，点O在的角平分线上；三角形的三条内角平分线相交于一点，点O到三角形三条边的距离相等；（2）图见解析，点O在的角平分线上；点O到三角形三条边的距离相等；（3）图见解析，4个
【解析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解答的关键．
（1）根据角平分线的作法作出图形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上证出点O在的角平分线上；
（2）根据角平分线的作法作出图形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上证出点O在的角平分线上；
（3）分别画出三角形内角的平分线，再画出三角形外角的平分线，角平分线的交点即为所求．
解：（1）如图①，点O在的角平分线上，说明如下：
过O作，，，
∵O在的平分线上，
∴，
∵O在的平分线上，
∴，
∴，
∴O也在的平分线上；
新发现：三角形的三条内角平分线相交于一点，点O到三角形三条边的距离相等；
（2）如图②，点O在的角平分线上．
过O作，，，
∵O在的平分线上，
∴，
∵O在的平分线上，
∴，
∴，
∴O也在的平分线上；
新发现：点O到三角形三条边的距离相等；
（3）如图③，符合条件的点有4个：点G，H，I，J．
12．已知：是的角平分线，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，点E在上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接．
①求证：；
②若，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【解析】本题考查全等三角形的性质及判定，涉及三角形面积、角平分线的性质等知识，解题的关键是根据已知条件，找出并证明相关的三角形全等．
（1）用证明，即得；
（2）①证明可得，再用证明，即得；
②过F作于K，由，可得，，而，故，即得，根据，可求．
证明：（1）∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴．
（2）①在中，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
②如图3，过点A分别作于H，于M，交的延长线于点N，过点F作于K．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
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