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(共13张PPT)
第1章 几何证明初步
1.3几何证明举例
第1课时 几何证明举例（1）
情 境 导 入
如何判断两个三角形是否全等
1.定义法:
2.判定方法:
能够完全重合的两个三角形.
判定方法1:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”;
判定方法2:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”;
判定方法3:两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”;
判定方法4:三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。
新 课 探 究
求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等.
（根据图形结合题意写出已知求证，给出证明）
问题：①这个命题的条件是 , 结论是 。
② 能根据题意画出题目中用到的图形吗？
③ 能根据图形和条件，把命题的条件用数学语言写成已知吗？把结论写成求证吗？
两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的
对边也相等
这两个三角形全等
探究一
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新课探究
情境导入
课堂小结
求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等.
（根据图形结合题意写出已知求证，给出证明）
已知：AB=A’B’，∠C=∠C’，∠B=∠B’
求证：△ABC≌△A’B’C’
证明：在△ABC和△A’B’C’中
∵∠C=∠C’，∠B=∠B’（已知）
∴∠A=180°-∠B-∠C
∠A’=180°-∠B’-∠C’（三角形内角和定理）
∴∠A=∠A’（等量代换）
∵AB=A’B’（已知）
∴△ABC≌△A’B’C’（ASA）
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新课探究
情境导入
课堂小结
基本事实：SSS，SAS，ASA；
判定定理：AAS．
（2）证明两个三角形全等的作用
用来证明线段相等或者角相等．
（1）判定两个三角形全等的方法
归纳
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新课探究
情境导入
课堂小结
例1．已知：如图，AB＝CB，AD＝CD．
求证：∠A＝∠C．
证明：连接DB．
∵ AB＝CB（已知），
AD＝CD（已知），
BD＝BD（公共边），
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠A＝∠C（全等三角形对应角相等）．
D
C
B
A
在△ABD和△CBD中，
思考：怎样添加辅助线才能使∠A与∠C存在于两个全等三角形中而且是两个三角形的对应角呢？
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新课探究
情境导入
课堂小结
已知: 如图，AB=CD，AD=BC.
求证：∠A=∠C
证明：连接DB．
∵ AB＝CD（已知），
AD＝BC（已知），
BD＝DB（公共边），
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠A＝∠C（全等三角形对应角相等）．
在△ABD和△CDB中，
跟踪练习
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新课探究
情境导入
课堂小结
作出两个全等三角形，你发现它们对应角的平分线有什么性质？对应边上的中线、对应边上的高有什么性质？证明你的结论．
挑战自我
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新课探究
情境导入
课堂小结
求证：全等三角形的对应角的平分线相等．
已知：△ABC≌△A'B'C'，AD、A'D'分别平分∠BAC，∠B'A'C',
求证：AD＝A'D'．
C
B
D
A
A’
B'
C'
D'
新课探究
情境导入
课堂小结
1.如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中
和△ABC全等的图形是（　　 ）
A．甲和乙 　Ｂ．乙和丙
Ｃ.只有乙 　Ｄ．只有丙
2.如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,
下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（　　）
A．∠M＝∠N　　B．AB＝CD　
　C．AM＝CN　　　D．AM∥CN
C
C
课堂检测
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新课探究
情境导入
课堂小结
4.已知：如图,AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，
DF⊥AC于点F，
求证: DE=DF
3．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块
完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（　　）
A．带①去　　B．带②去　C．带③去　D．带①和②去
C
课 堂 小 结
1．全等三角形的判定方法：
SAS
ASA
AAS
SSS
2．在证明两个角相等或两条线段相等时，可考察它们是否在给出的两个全等三角形中。如果不在，可以尝试添加辅助线，构造两个全等三角形。
通过本节课的学习，你有什么收获？
（从知识点、数学方法、感受等方面分享你本节课的收获）
THANK YOU(共16张PPT)
第1章 几何证明初步
1.3几何证明举例
第2课时 几何证明举例（2）
情 境 导 入
在本册第2章学习等腰三角形时我们是通过对折发现：
→
→
D
C
B
A
D
C
B
A
D
(C)
B
A
等腰三角形两个底角相等这一性质
现在你能证明这一性质吗？
新 课 探 究
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
证明：等腰三角形的两个底角相等.
探究一：
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新课探究
情境导入
课堂小结
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，与BC交于点D
AB=AC ( 已知 )
在△BAD和△CAD中
∠BAD=∠CAD ( 角平分线定义）
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
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新课探究
情境导入
课堂小结
C
B
A
性质定理1: 等腰三角形的两个底角相等.
(简称等边对等角)
符号语言
在△ABC中
∵ AB=AC （已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）.
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新课探究
情境导入
课堂小结
已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
A
C
B
等边三角形性质定理：等边三角形的每个角都等于60°.
证明：在△ABC中，
∵AB=AC(已知)，
∴ ．
同理∠A=∠B．
∴∠A=∠B=∠C
又 ∵ （三角形的内角和等于180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
∠B=∠C(等边对等角)
∠A+∠B+∠C=180°
知识运用：
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新课探究
情境导入
课堂小结
想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？看看你有什么发现？
A
B
C
D
BD=CD
D为BC的中点
AD为BC边上的中线
∠ADB=∠ADC
∠ADB=90°
AD为BC边上的高
探究二
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新课探究
情境导入
课堂小结
性质定理2： 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.
(简称“三线合一”)
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新课探究
情境导入
课堂小结
如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC.若AD＝AE，求证：BD＝CE；
A
B
D
E
C
跟踪练习
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新课探究
情境导入
课堂小结
等腰三角形的判定定理:
有两个角相等的三角形是等腰三角形
C
B
A
符号语言：
在△ABC中，
∵∠B=∠C （已知）
∴ AB=AC（等角对等边）
（简称等角对等边）
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新课探究
情境导入
课堂小结
A
B
C
已知：如图，在△ABC中，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定定理：
证明：
∵ ∠A= ∠ B,（已知）
∴ AC=BC. (等角对等边）
∵∠ B=∠C,（已知）
∴ AB=AC.（等角对等边）
∴AB=AC=BC.
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新课探究
情境导入
课堂小结
等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
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新课探究
情境导入
课堂小结
例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。
求证：AD=AF
A
F
D
B
E
C
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新课探究
情境导入
课堂小结
1. 等腰三角形一个角为80°,它的另外两个角为（ ）
（A）50°, 50°　 （B）80°, 20°
　
（C）50°, 50°或 80°，20°　（D）60°，20°
2.已知，如图，D是⊿ABC内的一点，且DB=DC，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
求证：AB=AC
C
B
A
D
课堂检测
课 堂 小 结
折纸
等腰三角形
的性质
等边三角形的
性质定理
等腰三角形
性质定理
等腰三角形
判定方法
做辅助线
构造全等形
边→角
角→边
逆命题
证明
证明
等腰三角形
判定定理
等边三角形的
判定定理
THANK YOU(共14张PPT)
第1章 几何证明初步
1.3几何证明举例
第3课时 几何证明举例（3）
情 境 导 入
1.什么是线段的垂直平分线？
2.根据本册第二章的学习你知道线段的垂直平分线有什么性质？
3.这个性质你是怎样得到的？这个性质是真命题吗？
新 课 探 究
我们通过“对折”得到线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
已知：直线 是线段AB的垂直平分线，垂足为点 ，点P是直线 上的任意一点。
求证： = .
P
C
A
B
M
D
CD
M
CD
BP
AP
探究一
单击此处添加标题文本内容
新课探究
情境导入
课堂小结
分析：要证明边相等，可构造全等三角形，利用全等三角形的性质可得结论；但是当P与M重合时，构不成三角形，需分类讨论.
（考虑点与线位置关系：点在线上，点在线外。）
（1）点P与点M不重合时（点在线外）；
（2）点P与点M重合时（点在线上）.
想一想，我们要怎么证明？是否要分情况讨论？
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新课探究
情境导入
课堂小结
已知：直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为点M，点P是直线CD上的任意一点。
求证：PA =PB.
P
C
A
B
M
D
证明：（1）点P与点M重合时,
∵MA=MB(垂直平分线的定义)，
∴PA=PB(等量代换).
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新课探究
情境导入
课堂小结
已知：直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为点M，点P是直线CD上的任意一点。
求证：PA =PB.
∵PM⊥AB(已知),
∴∠PMA=∠PMB(垂直平分线的定义).
MA=MB(垂直平分线的定义).
∵PM=PM(公共边)，
∴△PMA≌△PMB(SAS).
∴PA=PB(全等三角形对应边相等).
由（1）（2）可得，该命题成立。
证明：（2）点P不与点M重合时,
P
C
A
B
M
D
单击此处添加标题文本内容
新课探究
情境导入
课堂小结
1.已知：AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.
求证：AB=AC=CE.
跟踪练习
证明：∵AD⊥BC,BD=DC
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC,
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=CE,
∴AB=AC=CE.
新课探究
情境导入
课堂小结
线段垂直平分线性质定理的逆命题是什么呢？它是真命题吗？应如何证明它的真实性
已知：线段AB，P为平面内一点，且PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
要证明这个命题成立，只要证明平分线段AB的直线经过点P，且是AB的垂线即可。
P
C
A
B
M
D
探究二
单击此处添加标题文本内容
新课探究
情境导入
课堂小结
已知：线段AB，P为平面内一点，且PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：（1）点P在线段AB所在的直线上，
∵PA=PB(已知)，
∴点P是线段AB的中点(线段中点的定义)
∴点P在线段AB的垂直平分线上(垂直平分线的定义)
P
C
A
B
M
D
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新课探究
情境导入
课堂小结
（2）点P不在线段AB所在的直线上，
∵PA=PB(已知)，
∴△PAB是等腰三角形.
由（1）（2）可得，该命题成立。
A
P
C
B
∴ PC⊥AB (等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合).
∴点P在线段AB的垂直平分线上(垂直平分线的定义)
取AB的中点C，并连接PC.
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新课探究
情境导入
课堂小结
2.已知：如图，AB=AD，BC=DC，E是AC上一点。
求证：BE=DE.
跟踪练习
证明：∵AB=AD,
∴点A在BD的垂直平分线上
（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）
同理点C在BD的垂直平分线上，
∴AC是BD的垂直平分线，
∵点E在AC上，
∴BE=DE(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)。
新课探究
情境导入
课堂小结
1.如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三 角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2.如图所示，
(1)AB=AC,∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直
平分AB和AC. 求∠PAQ的度数．
(2)若无AB=AC的条件，你还能求出∠PAQ的度数
吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，若BC=10cm，试求出△APQ的周长。
M
B
A
N
C
Q
P
B
课堂检测
课 堂 小 结
1.线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
作用：证明两条线段相等
2.线段垂直平分线性质定理的逆定理：
到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
作用：证明点在线段的垂直平分线上。
3.符号语言：
性质定理：∵点M在线段AB的垂直平分线上 ∴MA=MB
逆定理：∵MA=MB ∴点M在线段AB的垂直平分线上
THANK YOU(共13张PPT)
第1章 几何证明初步
1.3几何证明举例
第4课时 几何证明举例（4）
情 境 导 入
1.什么叫角的平分线？
2.根据本册第二章的学习你知道角的平分线有什么性质？
3.这个性质你是怎样得到的？这个性质是真命题吗？你能用逻辑推理的方法，证明它的真实性吗？
新 课 探 究
角平分线上的点到这个角的两边的距离 。
你能用几何方法证明以上性质吗？
A
P
M
N
C
B
D
已知：如图，BD是∠ABC的平分线，点P在BD上，
PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M和N.
求证：PM=PN.
利用角的轴对称性质，通过实验得角平分线的性质：
相等
探究一
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新课探究
情境导入
课堂小结
证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴△BMP ≌△BNP (AAS).
∴∠ABD=∠CBD (角平分线的定义).
∴∠BMP=∠BNP=90°(垂线的性质)，
∵PM⊥AB，PN⊥BC,
又∵BP=BP (公共边)，
∴PM=PN.
A
P
M
N
C
B
D
已知：如图，BD是∠ABC的平分线，点P在BD上，
PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M和N.求证：PM=PN.
单击此处添加标题文本内容
新课探究
情境导入
课堂小结
通过证明，我们得到
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
归纳
角平分线的性质定理：
∵点P在平分线BD上
PM⊥BA,PN⊥BC
∴PM=PN
P
N
B
B
M
C
A
D
符号语言
新课探究
情境导入
课堂小结
角平分线的性质定理的逆命题是什么呢？它是真命题吗？如何证明它的真实性
角的内部到角的两边距离相等的点在 。
已知：如图，点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是M与N，且PM=PN.
求证：点P在∠ABC的平分线上.
温馨提示：证明的推理过程可以用文字语言，也可以用符号语言。
这个角的平分线上
探究二
P
N
M
B
A
C
单击此处添加标题文本内容
新课探究
情境导入
课堂小结
证明：连接MN，∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM.
∠PMN+∠BMN=90°，∠PNM+∠BNM=90°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴△BMN 是等腰三角形，∴BN=BM
过点B，P 作射线BD，∵BP为公共边，
∴△PBM≌△PBN（SSS）
∴∠PBM=∠PBN.∴点P在∠ABC的平分线上.
P
N
M
B
A
C
---------------
---------------D
单击此处添加标题文本内容
新课探究
情境导入
课堂小结
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
证明得角平分线的性质定理的逆定理：
归纳
符号语言
角平分线的判定定理：
∵ PM⊥BA,PN⊥BC，PM=PN
∴点P在∠ABC的平分线上
（或BP是∠ABC的平分线）
P
N
M
B
A
C
单击此处添加标题文本内容
新课探究
情境导入
课堂小结
已知：如图，AM，BN，CP 是△ABC的三条角平分线。
求证：AM，BN，CP 交于一点。
要证明三角形的三条角平分线交于一点，只要证明两条角平分线的交点也在第三条角平分线上就可以了。
新课探究
情境导入
课堂小结
已知：如图，△ABC中，∠BAC =90°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，EF⊥BC交AC于F，连接BF.
求证：BF是∠ABC的平分线.
证明： ∵AD⊥BC，EF⊥BC
∴AD∥EF
∴∠FEA=∠DAE
∴AE平分∠DAC
∴∠EAF=∠DAE
∴∠EAF=∠FEA
∴AF=EF
∵FA⊥AB，EF⊥BC
∴BF是∠ABC的平分线.
A
B
C
D
E
F
┓
┓
┓
跟踪练习
新课探究
情境导入
课堂小结
1．到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．不能确定
2．已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P，若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为 。
3. △ABC中，∠C = 90°，角平分线AD分边BC为BD：DC = 3:2，BC=15cm，则D到AB的距离是 cm。
C
27cm
6
课堂检测
课 堂 小 结
1.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角两的两边的距离相等。
作用：证明两条线段相等
2.角平分线性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
作用:证明两个角相等或线是角平分线
角平分线的判定定理：
∵ PM⊥BA,PN⊥BC，且
PM=PN
∴点P在∠ABC的平分线上
（或BP是∠ABC的平分线）
角平分线的性质定理：
∵点P在的平分线BD上
且 PM⊥BA,PN⊥BC
∴PM=PN
THANK YOU(共14张PPT)
第1章 几何证明初步
1.3几何证明举例
1.3第5课时 几何证明举例（5）
情 境 导 入
复习导入
现在你有几种判定直角三角形全等的方法？
1.边角边 简称 “SAS”
2.角边角 简称 “ASA”
3.边边边 简称 “SSS”
4.角角边 简称 “AAS”
新 课 探 究
如图，在Rt△ABC和Rt△A B C 中，∠C= ∠C =90°，AB＝A B ,
AC＝A C .
能证明Rt△ABC ≌ Rt△A B C 吗？
A
B
C
A
C
B
探究
新课探究
情境导入
课堂小结
方法一：根据AC=A C , ∠C=∠C 将两个三角形的直角边AC和A C 和对应顶点分别重合，B和B 分别在AC所在直线的两侧(如图)。由于∠ACB=∠A C B =90°，所以点B，C，B 三点共线，又由于AB=A B ,于是组成等腰△ABB .所以∠B=∠B ,所以△ACB≌△A C B （AAS）.
A
B
C
A
C
B
( )
( )
新课探究
情境导入
课堂小结
方法二 将两个直角三角形的斜边重合在一起，你能证明这两个直角三角形全等吗？
C
A(A )
B(B )
C
4
3
1
2
新课探究
情境导入
课堂小结
于是得到直角三角形全等的判定定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。
（简记为“斜边、直角边”或“HL”）
归纳
新课探究
情境导入
课堂小结
在Rt ABC和Rt DEF中，
如果AB=DE，AC=DF.
则 Rt ABC ≌ Rt DEF （HL）
由HL定理可知，两边及一角分别相等的两个三角形，当其中较大一边的对角是直角时，它们全等。
“斜边、直角边”或“HL”定理的符号语言
A
B
C
D
F
E
单击此处添加标题文本内容
新课探究
情境导入
课堂小结
例3.如图，在 △ABC 中，BD＝CD，DE⊥AB， DF⊥AC，E、F为垂足，DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵DE⊥AB， DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形.
∵DE=DF，DB=DC,
∴Rt△DEB≌ Rt△DFC(HL).
∴∠B=∠C.
∴△ABC是等腰三角形.
新课探究
情境导入
课堂小结
跟踪练习
如图，已知ＡＣ＝ＢＤ，∠C= ∠D=90°，
求证(1)Ｒt ABC ≌Ｒt BAD
A
B
D
C
O
新课探究
情境导入
课堂小结
例4：已知一条直角边和斜边作直角三角形.
已知:线段l，m (l求作：Rt ABC，使直角边AC=l，斜边AB=m.
l
m
先利用基本作图“过一点做已知直线的垂线”，作出三角形的直角顶点C，再根据直角边AC的长确定定点A，最后根据斜边长作出另一个顶点B
单击此处添加标题文本内容
新课探究
情境导入
课堂小结
已知:线段l，m (l求作：Rt ABC，使直角边AC=l，斜边AB=m.
l
m
(1)任取一点C,作射线CD;
(2) 过点C作射线CE⊥CD；
(4) 以点A为圆心,m为半径画弧，交CD于点B;
(5) 连接AB.
(3) 在CE上截取CA=l；
△ABC即为所求作的三角形.
B
作法
单击此处添加标题文本内容
新课探究
情境导入
课堂小结
1、如图，AB＝AC，AD⊥ BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（ ）对全等三角形．
A．3 B．4 C．5 D．6
2、能使两个直角三角形全等的条件是( )
A.斜边相等　　　　　　　 B.一锐角对应相等
C.两锐角对应相等　　　　 D.两直角边对应相等
3、如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“ ”．
D
D
HL
课堂检测
课 堂 小 结
1.应用斜边、直角边（HL）定理判定两个三角形全等，要按照定理的条件，准确地找出“对应相等”的边；
2.寻找使结论成立所需要的条件时，要注意充分利用图形中的隐含条件，如“公共边、公共角、对顶角”等等；
3.要认真掌握证明两个三角形全等的推理模式。
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