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专题3一线三等角全等模型-浙教版数学八年级上册解题模型
一、选择题
1．如图，四边形 ABCD 是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5cm ，DF=4 cm，那么 EF 的长为 (　　)
A．6.5 cm B．6 cm C．5.5 cm D．4 cm
2．（2024九上·城阳月考）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·黎川期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，则△BDC通过下列变换能与△ACE重合的是（　　）
A．绕点C逆时针旋转90度 B．沿AB的垂直平分线翻折
C．绕AB的中点M顺时针旋转90度 D．沿DE方向平移
4．（2023八上·石家庄期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A．1.4m B．1.6m C．1.7m D．1.8m
5．（2019八下·太原期末）如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（　　）
A． cm B．4cm C．3 cm D．6cm
二、填空题
6．（2024八上·南山开学考）如图，直线，，分别过正方形的三个顶点，，，且相互平行，若，的距离为，，的距离为，则正方形的面积为　 　．
7．（2025九下·萧山开学考）如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有　 　．（只填序号）
8．（2023·遂宁）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有　 　．(填序号)
9．（2025九下·杭州月考）如图，在Rt中，是的平分线，将BD以为中心，逆时针旋转，点的对应点为．则AE的长度为　 　．
10．（2018九上·郑州开学考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝　 　cm.
11．（2024八下·罗湖期末）如图中，，，，将边绕点 B顺时针旋转90°至，连， 则　 　．
三、解答题
12．（2025·浙江模拟）小甬按如图方式测量旗杆高度AB，将A处的绳子笔直拉至地面C处，使B，C间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在C处放置一块直角三角板PMN，使直角顶点P落在C处，边PN与绳子重合，随后小甬后退至D处直立，使眼睛E与点M，P在同一直线上.小甬认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由．
13．（2024·南充模拟） 如图，在四边形中，是边上一点，，求证：．
14．（2025八下·深圳期中）综合与探究
（1）模型建立：如图1，等腰Rt中，，直线ED经过点，过点作于点，过点作于点．
求证：；
（2）模型应用：
①如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将线段AB绕点逆时针旋转，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的函数解析式；
②如图3，长方形ABCO，点为坐标原点，点的坐标为分别在坐标轴上，点是线段BC上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
15．（2024八下·电白期中）综合运用：
（1）【模型建立】如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：．
（2）【模型应用】如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式；
16．（2024·广西模拟）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点作于点，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点，测得.
（1）求证：；
（2）求AE的长.
17．（2024八上·江门月考）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型），解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题．
（1）如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：，、、三点都在直线上，且有，其中为任意锐角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
18．（2024八下·新兴期中）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，cm，cm，求的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标．
19．（2025七下·罗湖期末）【模型呈现】
“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”.“一线三等角”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形.
（1） 【模型理解】如图1，已知，点C在线段DE上，，若，则BE与CD的数量关系为　 　，BE， AD与DE的数量关系为　 　；
（2） 【拓展延伸】在Rt中，，分别以AC、AP为腰，在左侧作等腰直角三角形ABC，在右侧作等腰直角三角形APQ，其中，，
① 如图2，连接BQ，当交线段CA的延长线于点M时，求证：；
② 如图3，连接BQ，当交线段CA于点M，且时，求BP的长.
20．（2024八上·华容期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．
根据对材料的理解解决以下问题∶
（1）如图1，，．猜想，，之间的关系：　 　
（2）如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长．
21．（2024八下·沈阳月考）【概念建构】
在中，，直线MN经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线MN在外部时，称和是的“双外弦三角形”，如图2，当直线MN在内部时，称和是的“双内弦三角形”，依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即．
（1）【概念应用】
如图3，在中，于点M，，E是BC边上的点，，，连接AD，BD，若，求BD的长．
小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作于点N构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了BD．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程．
（2）请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题．
如图5，在中，，D是AB边上一点，，DE交BC于点N，延长EB，CD交于点F，猜想DB，DF，CN之间的数量关系，并说明理由．
（3）【学以数用】
如图6，，和是等腰直角三角形，，，直接写出和的面积和．
（4）【拓展延伸】
如图7，在中，，点D在AB边上，过B作交CD延长线于点E，延长EB至点F，连接CF，使，连接AF交CD于点G，若，直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°， BC =CD.
又∵BE⊥EF， DF⊥EF，
∴∠BEC=∠CFD=90°，
∵∠CBE+∠ECB=90°， ∠DCF+∠ECB=90°，
∴∠CBE=∠DCF，
在△BCE与△CDF中，
∴△BCE≌△CDF(AAS)，
∴CE=DF， BE=CF，
又∵BE=2.5cm， DF=4cm，
故选： A.
【分析】根据已知条件易证△BCE≌△CDF，再根据全等三角形的性质得到CE= DF， BE=CF， 由EF=EC+CF即可求得EF的长.
2．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由题意得，平移前，∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，
∴平移方式为向右平移3个单位长度，
∴平移后点A的对应点坐标为，
如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A的对应点的坐标是，
故选：A．
【分析】首先根据平移后点B与原点O重合，可得出正方形ABCD的移动方向和移动距离，进而得出平移后的点A的坐标，然后再结合图形，如图E，根据旋转的性质，利用三角形全等求出点E旋转之后的点F的坐标即可。
3．【答案】C
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，
∴AB=AC，∠ADC=∠CEA=∠BCA=90°，
∵∠DCB+∠BCA+∠ECA=180°，
∴∠DBC+∠DCB=∠ECA+∠DCB=90°，
∴∠DBC=∠ECA，
∴，
∴BD=CE， CD=AE，
A、绕点C旋转后，CD与AE不重合，即△BDC与△ACE不重合，故选项A不符合题意；
B、△BDC与△ACE不关于A B的中垂线对称，则沿A B的中垂线翻折后BD与AE不重合，故选项B不符合题意；
C、因为△ABC是等腰直角三角形，所以CM⊥AB，所以绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合，故选项C符合题意；
D、先沿DE方向平移△BDC，使点E与点D重合后，BD与AE不重合，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】
由一线三等角模型可证明，则BD=CE、CD=AE，即B、C是对应点，C、A是对应点、D、E是对应点；由于△ABC是等腰直角三角形，且M是斜边AB中点，则CM⊥AB且CM=BM=AM，即点B绕点M顺时针旋转90度可得到点C、点C绕点M顺时针旋转90度可得到点A，同理点D绕点M顺时针旋转90度可得到点E．
4．【答案】A
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，OB=OC，
∴（AAS），
∴BD=OE=1.4m，CE=OD=1.8m，
∴DE=OD-OE=1.8m-1.4m=0.4m，
∵B距离地面1m，即AD=1m，
∴AE=AD+DE=1m+0.4m=1.4m，
即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是1.4m．
故答案为：A。
【分析】根据AAS证明，根据对应边相等求解。
5．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由AD＝AD，
所以，Rt△ACD≌Rt△AED，
所以，AC=AE.
∵E为AB中点，∴AC=AE= AB，
所以，∠B=30° .
∵DE为AB中线且DE⊥AB，
∴AD=BD=3cm ，
∴DE= BD= ，
∴BE= cm.
故答案为：A.
【分析】先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE的长.
6．【答案】5
【知识点】平行线之间的距离；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，过点D作DM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l3于点N
∵∠DAM+∠ADM=∠CDN+∠ADM=90°
∴∠DAM=∠CDN
且∠CND= ∠DMA=90°
AD=CD
∴△ADM≌△CDN
∴DM=1，AM=DN=2
∴
故答案为：5.
【分析】 如图，过点D作DM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l3于点N， 根据“一线三等角”易证△ADM≌△CDN，可得DM=1，AM=DN=2，根据勾股定理和正方形面积可得结果.
7．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：是直角三角形，
，
，，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
故结论正确；
由现有条件无法证明，
不一定成立，
故结论错误；
如图，连接、，
，，是的中点，
，，
，
，
且，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故结论正确；
，，
，
，
，
故结论正确；
综上，正确的结论有：，
故答案为：．
【分析】由余角性质可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质即可判断结论；
由现有条件无法证明，因而不一定成立，由此即可判断结论；
连接、，由三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得及∠CFB的度数，再由三角形的内角和定理及对顶角性质可得，进而可得，利用可证得，由全等三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可判断结论；
由勾股定理及线段和差，即可判断结论④；
综上，即可得出所有正确的结论．
8．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
①∵，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∴∠EAD=120°，
∵△ABE和△ACD为等腰直角三角形，
∴AB=AD，EB=AB，
∴AD=AE，
∴，①正确；
②∵△ABE和△ACD为等腰直角三角形，
∴∠CAD=∠BAE=90°，DA=CA，EA=BA，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE≌△DAB，
∴，②正确；
④作直线NM⊥CB于点N，过点E作HE⊥NM于点H，过点D作GD⊥MN于点G，如图所示：
∴∠NAB+∠NBA=90°，
∵∠NAB+∠MAE=90°，
∴∠MAE=∠NBA，
∴△NBA≌△HAE（AAS），
同理可得△GAD≌△NCA，
∴AN=DG，NA=HE，NB=AH，NC=GA，
∴△MGD≌△MHE（AAS），
∴MD=EM，
∴点为线段的中点，④正确；
③由题意得GM=MH，
设NB=x，则CN=6-x，
由勾股定理得，
解得，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴DE=，③错误；
故答案为：①②④
【分析】①先根据题意结合等边三角形的判定与性质即可得到∠CAB=60°，再根据等腰直角三角形的性质即可得到AB=AD，EB=AB，再结合题意即可求解；②先根据等腰直角三角形的性质即可得到∠CAD=∠BAE=90°，DA=CA，EA=BA，进而得到∠CAE=∠BAD，再根据三角形全等的判定与性质即可求解；④作直线NM⊥CB于点N，过点E作HE⊥NM于点H，过点D作GD⊥MN于点G，根据三角形全等的判定与性质证明△NBA≌△HAE（AAS），△GAD≌△NCA，△MGD≌△MHE（AAS），进而即可求解；③先根据已知条件得到GM=MH，设NB=x，则CN=6-x，根据勾股定理即可求出x的值，进而得到，再根据勾股定理结合已知条件即可求解。
9．【答案】
【知识点】角平分线的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC，交CA的延长线于点F，
∵AC=8，BC=6，∠C=90°，
∴，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DH⊥AB
∴DC=DH，
∵S△ABC=S△DCB+S△ADB，
∴，
∴CD=3=DH
∴AD=5，
∵将BD以D为中心，逆时针旋转90°，
∴DE=DB，∠EDB=90°
∴∠EDF+∠BDC=90°=∠BDC+∠DBC，
∴∠EDF=∠DBC，
在△EDF和△BDC中，
∴△EDF △BDC(AAS)
∴EF=DC=3，FD=BC=6，
∴AF=1，
∴
故答案为：.
【分析】过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC，交CA的延长线于点F，由角平分线的性质和面积法可求DC的长，由“AAS”可证△EDF △BDC，可得EF=DC=3，FD=BC=6，由勾股定理可求解.
10．【答案】6.
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，∵ ，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC=2S△ABD=2× AB DE=AB DE=3AB.
∵S△ABC= AC BF，∴ AC BF=3AB.
∵AC=AB，∴ BF=3，∴BF=6.
故答案为：6.
【分析】首先利用HL判断出Rt△ADB≌Rt△ADC，根据全等三角形的面积相等及三角形的面积法列出方程2× AB DE= AC BF，求解即可。
11．【答案】10
【知识点】勾股定理；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作，交延长线于点，
，
，，
在中，，
，
由旋转可知，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，
故答案为：．
【分析】根据已知条件信息可先解△ABC，即利用两边一角中的特殊角作垂进行求解△ABC边长，结合旋转90°及目标线段AD长，易联想通过构造直角利用勾股定理进行求解，在构造过程产生一线三垂直全等，最后根据勾股定理即可得的长．
12．【答案】解：解：认同.
理由： ∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC=∠PDE=90°.
∴∠ACB+∠A=90°.
∵∠ACE=90°，·∠ACB+∠EPD=90°.
∴∠A=∠EPD.
又∵BC=DE，
∴△ABC≌△PDE(AAS).
∴CD=AB
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】利用垂直的概念和余角的性质可证得∠A=∠EPD，再利用AAS可证得△ABC≌△PDE，利用全等三角形的对应边 相等，可证得结论.
13．【答案】证明：，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【分析】根据题意可得，则，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，，即，即可求出答案.
14．【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
（2）解：①如图，过作轴于点，
在中，令可求得，令可求得，
，
同（1）得，
，
，
，
且，
设直线AC解析式为，
把点坐标代入可得，解得，
直线AC解析式为；2分
②如图，当时，，
过点作于，过点作于，
设点的坐标为，
则，
，
点坐标为，
，
，
点坐标
如图，当时，，同理得点坐标
如图，当时，，
同理得点坐标（2，1）
综上可知满足条件的点的坐标分别为或或（2，1）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）①过作轴于点，根据坐标轴上点的坐标特征可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，即，设直线AC解析式为，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，，过点作于，过点作于，设点的坐标为，则，根据全等三角形性质可得，则点坐标为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；当时，，同理得点坐标；当时，，同理得点坐标.
15．【答案】（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，AD⊥ED于点D，BE⊥ED于点E，
∴∠BEC＝∠CDA＝∠DCA＝90°，
∴∠DCE＝∠CAD＝90°﹣∠ACD，
∵BC＝CA，
∴△BEC≌△CDA（AAS）．
（2）解：如图，作BF⊥AB交直线l2于点F，作FE⊥y轴于点E，
∵∠BEF＝∠AOB＝∠BAF＝90°，
∴∠EBF＝∠OAB＝90°﹣∠OBA，
由旋转得∠BAF＝45°，
∴∠BFA＝∠BAF＝45°，
∴BF＝AB，
∴△BEF≌△AOB（AAS），
直线y＝2x+4，当y＝0时，则2x+4＝0，
解得x＝﹣2；
当x＝0时，y＝4，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴EB＝OA＝2，EF＝OB＝6，
∴OE＝OB+EB＝6，∴F（﹣4，6），
设直线l2的函数表达式为y＝kx+b，
把A（﹣2，0），F（﹣4，6）代入y＝kx+b，
得，解得，
∴直线l2的函数表达式为y＝﹣3x﹣6．
【知识点】一次函数图象与几何变换；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】(1)一线三角的全等模型，通过垂直关系得相等的角度为全等提供了条件；
(2)通过(1)中示例，直接构造(1)中的模型”一线三角“，利用全等关系求出点的坐标，进而求得直线解析式；
16．【答案】（1）证明：∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
，
∵BD⊥OA，
∴∠BDO=90°，
∴在Rt中，，
（2）解：在和中
，
，
的长为．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）由垂直的定义及角的构成可得∠AOB+∠COE=90°，由直角三角形量锐角互余得∠AOB+∠B=90°，由同角的余角相等得∠COE=∠B；
（2）由AAS判断出△DOB≌△ECO，由全等三角形的对应边相等得OE=BD=8cm，然后根据线段的构成，由AE=OA-OE即可算出答案.
17．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（2）解： 结论成立，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（3）解：结论不成立，理由如下：
∵，，，
且，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴.
∴.
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由，得，，根据得，进一步得，再由，可证明
，根据全等三角形性质得：，，由图形得，最后可得.
（2）根据，结合图形得：，，
等量代换得：，根据，得，根据全等三角形性质得：，，由图形得，最后可得.
（3）根据，，，
且，进一步得，，再由可证明，从而得，，因为，故.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴cm，，
∴(cm)，
即的长为0.8cm；
（3）解：如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作于点E，过B作于点F，交x轴于点H，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴A，
∴，
∴B点坐标为（4，1）．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则cm，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作于点E，过B作于点F，交x轴于点H，，再根据两点间距离可得，再根据边之间的关系可得，根据角之间的关系的，再根据全等三角形判定定理可得，则A，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）BE=CD；BE+AD=DE
（2）解：①作交直线MC于E，则，
，
，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴.
②作交直线MC于E，则，
由（2）得，，，
，，，
，
，
，
设，则，
，，
，
解得：，
；.
【知识点】等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形的概念；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（1）解：证（：，， ），得 ，
由，（全等对应边 ），，故 .
故答案为：BE=CD；BE+AD=DE.
【分析】（1）：利用“一线三等角”模型，通过证全等，推导边的数量关系，核心是识别全等条件.
（2）①：构造垂线，复制“一线三等角”模型，两次证全等，实现线段相等（ ），关键是辅助线构造与全等传递.
②：结合全等结论，用面积关系建立等式，设未知数后通过线段和差列方程求解，体现“几何 + 代数”综合应用，核心是面积转化与方程思想.
20．【答案】（1）
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
∵，，
，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴，
∴（1）中结论仍然成立；
（3）解：7
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）猜想：DE=AD+BE．
理由：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠ACB=90°=∠CEB，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ADC与△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE．
故答案为：DE=AD+BE；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据直角三角形中两锐角互余，可得出∠ACD=∠CBE，再根据全等三角形的性质与判定可得CD=BE，CE=AD，即可得出答案；
（2）先根据三角形内角和与补角的性质可得∠CAD=∠BCE，再根据全等三角形的性质与判定可得CD=BE，CE=AD，由此可得出答案；
（3）先根据三角形外角性质可得∠AED=∠FDB，再根据全等三角形的性质与判定可得AE=BD，AD=BF，由此可得AB=AE+BF，代入数值即可得出答案.
21．【答案】（1）解：
，
，
，
，
，又，
，
在中，，得，
，
在中，，得；
（2）解：．
理由：如图2，过点E作交AB延长线于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
在中，有．
（3）解：3
（4）解：
【知识点】三角形的综合；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（3）
过E作EQ⊥DA交DA的延长线于Q，过F作FG⊥AD于G，过A作AK⊥BC于K，过D作DH⊥BC于H，
∴AK//DH，
∵AD//BC，
∴KH=AD=2，
∵BC =5，
∴BK+CH=5-2=3，
∵和是等腰直角三角形，∠EAB=∠FDC=90°，
∴，
∴EQ=BK，FG =CH，
∴和的面积和为：
；
（4）
过点A作AH⊥CD于点H，如图，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=∠BCF+∠BFC，∠ABE=∠BCF，
∴∠BFC=∠ABC=45°，BE⊥CD于点E，
∴∠CEF=90°，
∴，
∵AH⊥CD于H，
∴∠AHC=∠ACB=90°，
∴∠CAH=∠BCE，
∵∠AHC=∠BEC=90°，AC=BC，
∴，
∴AH=CE，，
∴AH=EF，
∵∠AHG=∠FEG，∠AGH=∠FGE，
∴，
∴GH=GE，
∵，
∴，
∴，
∴.
【分析】（1）证明，得到，在中，根据勾股定理求出ME的长，即，在中，根据勾股定理即可求出BD的长；
（2）过点E作交AB延长线于点G，证明，得到，再证明，即CN=EF，根据即可求解；
（3）过E作EQ⊥DA交DA的延长线于Q，过F作FG⊥AD于G，过A作AK⊥BC于K，过D作DH⊥BC于H，证明，得到EQ=BK，FG =CH，根据三角形面积公式即可求出和的面积和；
（4）过点A作AH⊥CD于点H，证明，得到AH=CE，，证明，得到GH=GE，进而即可求出的面积．
1 / 1专题3一线三等角全等模型-浙教版数学八年级上册解题模型
一、选择题
1．如图，四边形 ABCD 是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5cm ，DF=4 cm，那么 EF 的长为 (　　)
A．6.5 cm B．6 cm C．5.5 cm D．4 cm
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°， BC =CD.
又∵BE⊥EF， DF⊥EF，
∴∠BEC=∠CFD=90°，
∵∠CBE+∠ECB=90°， ∠DCF+∠ECB=90°，
∴∠CBE=∠DCF，
在△BCE与△CDF中，
∴△BCE≌△CDF(AAS)，
∴CE=DF， BE=CF，
又∵BE=2.5cm， DF=4cm，
故选： A.
【分析】根据已知条件易证△BCE≌△CDF，再根据全等三角形的性质得到CE= DF， BE=CF， 由EF=EC+CF即可求得EF的长.
2．（2024九上·城阳月考）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由题意得，平移前，∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，
∴平移方式为向右平移3个单位长度，
∴平移后点A的对应点坐标为，
如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A的对应点的坐标是，
故选：A．
【分析】首先根据平移后点B与原点O重合，可得出正方形ABCD的移动方向和移动距离，进而得出平移后的点A的坐标，然后再结合图形，如图E，根据旋转的性质，利用三角形全等求出点E旋转之后的点F的坐标即可。
3．（2024八下·黎川期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，则△BDC通过下列变换能与△ACE重合的是（　　）
A．绕点C逆时针旋转90度 B．沿AB的垂直平分线翻折
C．绕AB的中点M顺时针旋转90度 D．沿DE方向平移
【答案】C
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，
∴AB=AC，∠ADC=∠CEA=∠BCA=90°，
∵∠DCB+∠BCA+∠ECA=180°，
∴∠DBC+∠DCB=∠ECA+∠DCB=90°，
∴∠DBC=∠ECA，
∴，
∴BD=CE， CD=AE，
A、绕点C旋转后，CD与AE不重合，即△BDC与△ACE不重合，故选项A不符合题意；
B、△BDC与△ACE不关于A B的中垂线对称，则沿A B的中垂线翻折后BD与AE不重合，故选项B不符合题意；
C、因为△ABC是等腰直角三角形，所以CM⊥AB，所以绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合，故选项C符合题意；
D、先沿DE方向平移△BDC，使点E与点D重合后，BD与AE不重合，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】
由一线三等角模型可证明，则BD=CE、CD=AE，即B、C是对应点，C、A是对应点、D、E是对应点；由于△ABC是等腰直角三角形，且M是斜边AB中点，则CM⊥AB且CM=BM=AM，即点B绕点M顺时针旋转90度可得到点C、点C绕点M顺时针旋转90度可得到点A，同理点D绕点M顺时针旋转90度可得到点E．
4．（2023八上·石家庄期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A．1.4m B．1.6m C．1.7m D．1.8m
【答案】A
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，OB=OC，
∴（AAS），
∴BD=OE=1.4m，CE=OD=1.8m，
∴DE=OD-OE=1.8m-1.4m=0.4m，
∵B距离地面1m，即AD=1m，
∴AE=AD+DE=1m+0.4m=1.4m，
即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是1.4m．
故答案为：A。
【分析】根据AAS证明，根据对应边相等求解。
5．（2019八下·太原期末）如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（　　）
A． cm B．4cm C．3 cm D．6cm
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由AD＝AD，
所以，Rt△ACD≌Rt△AED，
所以，AC=AE.
∵E为AB中点，∴AC=AE= AB，
所以，∠B=30° .
∵DE为AB中线且DE⊥AB，
∴AD=BD=3cm ，
∴DE= BD= ，
∴BE= cm.
故答案为：A.
【分析】先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE的长.
二、填空题
6．（2024八上·南山开学考）如图，直线，，分别过正方形的三个顶点，，，且相互平行，若，的距离为，，的距离为，则正方形的面积为　 　．
【答案】5
【知识点】平行线之间的距离；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，过点D作DM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l3于点N
∵∠DAM+∠ADM=∠CDN+∠ADM=90°
∴∠DAM=∠CDN
且∠CND= ∠DMA=90°
AD=CD
∴△ADM≌△CDN
∴DM=1，AM=DN=2
∴
故答案为：5.
【分析】 如图，过点D作DM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l3于点N， 根据“一线三等角”易证△ADM≌△CDN，可得DM=1，AM=DN=2，根据勾股定理和正方形面积可得结果.
7．（2025九下·萧山开学考）如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有　 　．（只填序号）
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：是直角三角形，
，
，，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
故结论正确；
由现有条件无法证明，
不一定成立，
故结论错误；
如图，连接、，
，，是的中点，
，，
，
，
且，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故结论正确；
，，
，
，
，
故结论正确；
综上，正确的结论有：，
故答案为：．
【分析】由余角性质可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质即可判断结论；
由现有条件无法证明，因而不一定成立，由此即可判断结论；
连接、，由三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得及∠CFB的度数，再由三角形的内角和定理及对顶角性质可得，进而可得，利用可证得，由全等三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可判断结论；
由勾股定理及线段和差，即可判断结论④；
综上，即可得出所有正确的结论．
8．（2023·遂宁）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有　 　．(填序号)
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
①∵，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∴∠EAD=120°，
∵△ABE和△ACD为等腰直角三角形，
∴AB=AD，EB=AB，
∴AD=AE，
∴，①正确；
②∵△ABE和△ACD为等腰直角三角形，
∴∠CAD=∠BAE=90°，DA=CA，EA=BA，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE≌△DAB，
∴，②正确；
④作直线NM⊥CB于点N，过点E作HE⊥NM于点H，过点D作GD⊥MN于点G，如图所示：
∴∠NAB+∠NBA=90°，
∵∠NAB+∠MAE=90°，
∴∠MAE=∠NBA，
∴△NBA≌△HAE（AAS），
同理可得△GAD≌△NCA，
∴AN=DG，NA=HE，NB=AH，NC=GA，
∴△MGD≌△MHE（AAS），
∴MD=EM，
∴点为线段的中点，④正确；
③由题意得GM=MH，
设NB=x，则CN=6-x，
由勾股定理得，
解得，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴DE=，③错误；
故答案为：①②④
【分析】①先根据题意结合等边三角形的判定与性质即可得到∠CAB=60°，再根据等腰直角三角形的性质即可得到AB=AD，EB=AB，再结合题意即可求解；②先根据等腰直角三角形的性质即可得到∠CAD=∠BAE=90°，DA=CA，EA=BA，进而得到∠CAE=∠BAD，再根据三角形全等的判定与性质即可求解；④作直线NM⊥CB于点N，过点E作HE⊥NM于点H，过点D作GD⊥MN于点G，根据三角形全等的判定与性质证明△NBA≌△HAE（AAS），△GAD≌△NCA，△MGD≌△MHE（AAS），进而即可求解；③先根据已知条件得到GM=MH，设NB=x，则CN=6-x，根据勾股定理即可求出x的值，进而得到，再根据勾股定理结合已知条件即可求解。
9．（2025九下·杭州月考）如图，在Rt中，是的平分线，将BD以为中心，逆时针旋转，点的对应点为．则AE的长度为　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC，交CA的延长线于点F，
∵AC=8，BC=6，∠C=90°，
∴，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DH⊥AB
∴DC=DH，
∵S△ABC=S△DCB+S△ADB，
∴，
∴CD=3=DH
∴AD=5，
∵将BD以D为中心，逆时针旋转90°，
∴DE=DB，∠EDB=90°
∴∠EDF+∠BDC=90°=∠BDC+∠DBC，
∴∠EDF=∠DBC，
在△EDF和△BDC中，
∴△EDF △BDC(AAS)
∴EF=DC=3，FD=BC=6，
∴AF=1，
∴
故答案为：.
【分析】过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC，交CA的延长线于点F，由角平分线的性质和面积法可求DC的长，由“AAS”可证△EDF △BDC，可得EF=DC=3，FD=BC=6，由勾股定理可求解.
10．（2018九上·郑州开学考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝　 　cm.
【答案】6.
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，∵ ，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC=2S△ABD=2× AB DE=AB DE=3AB.
∵S△ABC= AC BF，∴ AC BF=3AB.
∵AC=AB，∴ BF=3，∴BF=6.
故答案为：6.
【分析】首先利用HL判断出Rt△ADB≌Rt△ADC，根据全等三角形的面积相等及三角形的面积法列出方程2× AB DE= AC BF，求解即可。
11．（2024八下·罗湖期末）如图中，，，，将边绕点 B顺时针旋转90°至，连， 则　 　．
【答案】10
【知识点】勾股定理；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作，交延长线于点，
，
，，
在中，，
，
由旋转可知，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，
故答案为：．
【分析】根据已知条件信息可先解△ABC，即利用两边一角中的特殊角作垂进行求解△ABC边长，结合旋转90°及目标线段AD长，易联想通过构造直角利用勾股定理进行求解，在构造过程产生一线三垂直全等，最后根据勾股定理即可得的长．
三、解答题
12．（2025·浙江模拟）小甬按如图方式测量旗杆高度AB，将A处的绳子笔直拉至地面C处，使B，C间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在C处放置一块直角三角板PMN，使直角顶点P落在C处，边PN与绳子重合，随后小甬后退至D处直立，使眼睛E与点M，P在同一直线上.小甬认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由．
【答案】解：解：认同.
理由： ∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC=∠PDE=90°.
∴∠ACB+∠A=90°.
∵∠ACE=90°，·∠ACB+∠EPD=90°.
∴∠A=∠EPD.
又∵BC=DE，
∴△ABC≌△PDE(AAS).
∴CD=AB
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】利用垂直的概念和余角的性质可证得∠A=∠EPD，再利用AAS可证得△ABC≌△PDE，利用全等三角形的对应边 相等，可证得结论.
13．（2024·南充模拟） 如图，在四边形中，是边上一点，，求证：．
【答案】证明：，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【分析】根据题意可得，则，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，，即，即可求出答案.
14．（2025八下·深圳期中）综合与探究
（1）模型建立：如图1，等腰Rt中，，直线ED经过点，过点作于点，过点作于点．
求证：；
（2）模型应用：
①如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将线段AB绕点逆时针旋转，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的函数解析式；
②如图3，长方形ABCO，点为坐标原点，点的坐标为分别在坐标轴上，点是线段BC上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
（2）解：①如图，过作轴于点，
在中，令可求得，令可求得，
，
同（1）得，
，
，
，
且，
设直线AC解析式为，
把点坐标代入可得，解得，
直线AC解析式为；2分
②如图，当时，，
过点作于，过点作于，
设点的坐标为，
则，
，
点坐标为，
，
，
点坐标
如图，当时，，同理得点坐标
如图，当时，，
同理得点坐标（2，1）
综上可知满足条件的点的坐标分别为或或（2，1）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）①过作轴于点，根据坐标轴上点的坐标特征可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，即，设直线AC解析式为，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，，过点作于，过点作于，设点的坐标为，则，根据全等三角形性质可得，则点坐标为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；当时，，同理得点坐标；当时，，同理得点坐标.
15．（2024八下·电白期中）综合运用：
（1）【模型建立】如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：．
（2）【模型应用】如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式；
【答案】（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，AD⊥ED于点D，BE⊥ED于点E，
∴∠BEC＝∠CDA＝∠DCA＝90°，
∴∠DCE＝∠CAD＝90°﹣∠ACD，
∵BC＝CA，
∴△BEC≌△CDA（AAS）．
（2）解：如图，作BF⊥AB交直线l2于点F，作FE⊥y轴于点E，
∵∠BEF＝∠AOB＝∠BAF＝90°，
∴∠EBF＝∠OAB＝90°﹣∠OBA，
由旋转得∠BAF＝45°，
∴∠BFA＝∠BAF＝45°，
∴BF＝AB，
∴△BEF≌△AOB（AAS），
直线y＝2x+4，当y＝0时，则2x+4＝0，
解得x＝﹣2；
当x＝0时，y＝4，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴EB＝OA＝2，EF＝OB＝6，
∴OE＝OB+EB＝6，∴F（﹣4，6），
设直线l2的函数表达式为y＝kx+b，
把A（﹣2，0），F（﹣4，6）代入y＝kx+b，
得，解得，
∴直线l2的函数表达式为y＝﹣3x﹣6．
【知识点】一次函数图象与几何变换；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】(1)一线三角的全等模型，通过垂直关系得相等的角度为全等提供了条件；
(2)通过(1)中示例，直接构造(1)中的模型”一线三角“，利用全等关系求出点的坐标，进而求得直线解析式；
16．（2024·广西模拟）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点作于点，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点，测得.
（1）求证：；
（2）求AE的长.
【答案】（1）证明：∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
，
∵BD⊥OA，
∴∠BDO=90°，
∴在Rt中，，
（2）解：在和中
，
，
的长为．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）由垂直的定义及角的构成可得∠AOB+∠COE=90°，由直角三角形量锐角互余得∠AOB+∠B=90°，由同角的余角相等得∠COE=∠B；
（2）由AAS判断出△DOB≌△ECO，由全等三角形的对应边相等得OE=BD=8cm，然后根据线段的构成，由AE=OA-OE即可算出答案.
17．（2024八上·江门月考）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型），解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题．
（1）如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：，、、三点都在直线上，且有，其中为任意锐角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（2）解： 结论成立，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（3）解：结论不成立，理由如下：
∵，，，
且，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴.
∴.
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由，得，，根据得，进一步得，再由，可证明
，根据全等三角形性质得：，，由图形得，最后可得.
（2）根据，结合图形得：，，
等量代换得：，根据，得，根据全等三角形性质得：，，由图形得，最后可得.
（3）根据，，，
且，进一步得，，再由可证明，从而得，，因为，故.
18．（2024八下·新兴期中）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，cm，cm，求的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴cm，，
∴(cm)，
即的长为0.8cm；
（3）解：如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作于点E，过B作于点F，交x轴于点H，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴A，
∴，
∴B点坐标为（4，1）．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则cm，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作于点E，过B作于点F，交x轴于点H，，再根据两点间距离可得，再根据边之间的关系可得，根据角之间的关系的，再根据全等三角形判定定理可得，则A，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．（2025七下·罗湖期末）【模型呈现】
“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”.“一线三等角”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形.
（1） 【模型理解】如图1，已知，点C在线段DE上，，若，则BE与CD的数量关系为　 　，BE， AD与DE的数量关系为　 　；
（2） 【拓展延伸】在Rt中，，分别以AC、AP为腰，在左侧作等腰直角三角形ABC，在右侧作等腰直角三角形APQ，其中，，
① 如图2，连接BQ，当交线段CA的延长线于点M时，求证：；
② 如图3，连接BQ，当交线段CA于点M，且时，求BP的长.
【答案】（1）BE=CD；BE+AD=DE
（2）解：①作交直线MC于E，则，
，
，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴.
②作交直线MC于E，则，
由（2）得，，，
，，，
，
，
，
设，则，
，，
，
解得：，
；.
【知识点】等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形的概念；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（1）解：证（：，， ），得 ，
由，（全等对应边 ），，故 .
故答案为：BE=CD；BE+AD=DE.
【分析】（1）：利用“一线三等角”模型，通过证全等，推导边的数量关系，核心是识别全等条件.
（2）①：构造垂线，复制“一线三等角”模型，两次证全等，实现线段相等（ ），关键是辅助线构造与全等传递.
②：结合全等结论，用面积关系建立等式，设未知数后通过线段和差列方程求解，体现“几何 + 代数”综合应用，核心是面积转化与方程思想.
20．（2024八上·华容期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．
根据对材料的理解解决以下问题∶
（1）如图1，，．猜想，，之间的关系：　 　
（2）如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
∵，，
，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴，
∴（1）中结论仍然成立；
（3）解：7
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）猜想：DE=AD+BE．
理由：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠ACB=90°=∠CEB，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ADC与△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE．
故答案为：DE=AD+BE；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据直角三角形中两锐角互余，可得出∠ACD=∠CBE，再根据全等三角形的性质与判定可得CD=BE，CE=AD，即可得出答案；
（2）先根据三角形内角和与补角的性质可得∠CAD=∠BCE，再根据全等三角形的性质与判定可得CD=BE，CE=AD，由此可得出答案；
（3）先根据三角形外角性质可得∠AED=∠FDB，再根据全等三角形的性质与判定可得AE=BD，AD=BF，由此可得AB=AE+BF，代入数值即可得出答案.
21．（2024八下·沈阳月考）【概念建构】
在中，，直线MN经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线MN在外部时，称和是的“双外弦三角形”，如图2，当直线MN在内部时，称和是的“双内弦三角形”，依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即．
（1）【概念应用】
如图3，在中，于点M，，E是BC边上的点，，，连接AD，BD，若，求BD的长．
小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作于点N构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了BD．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程．
（2）请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题．
如图5，在中，，D是AB边上一点，，DE交BC于点N，延长EB，CD交于点F，猜想DB，DF，CN之间的数量关系，并说明理由．
（3）【学以数用】
如图6，，和是等腰直角三角形，，，直接写出和的面积和．
（4）【拓展延伸】
如图7，在中，，点D在AB边上，过B作交CD延长线于点E，延长EB至点F，连接CF，使，连接AF交CD于点G，若，直接写出的面积．
【答案】（1）解：
，
，
，
，
，又，
，
在中，，得，
，
在中，，得；
（2）解：．
理由：如图2，过点E作交AB延长线于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
在中，有．
（3）解：3
（4）解：
【知识点】三角形的综合；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（3）
过E作EQ⊥DA交DA的延长线于Q，过F作FG⊥AD于G，过A作AK⊥BC于K，过D作DH⊥BC于H，
∴AK//DH，
∵AD//BC，
∴KH=AD=2，
∵BC =5，
∴BK+CH=5-2=3，
∵和是等腰直角三角形，∠EAB=∠FDC=90°，
∴，
∴EQ=BK，FG =CH，
∴和的面积和为：
；
（4）
过点A作AH⊥CD于点H，如图，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=∠BCF+∠BFC，∠ABE=∠BCF，
∴∠BFC=∠ABC=45°，BE⊥CD于点E，
∴∠CEF=90°，
∴，
∵AH⊥CD于H，
∴∠AHC=∠ACB=90°，
∴∠CAH=∠BCE，
∵∠AHC=∠BEC=90°，AC=BC，
∴，
∴AH=CE，，
∴AH=EF，
∵∠AHG=∠FEG，∠AGH=∠FGE，
∴，
∴GH=GE，
∵，
∴，
∴，
∴.
【分析】（1）证明，得到，在中，根据勾股定理求出ME的长，即，在中，根据勾股定理即可求出BD的长；
（2）过点E作交AB延长线于点G，证明，得到，再证明，即CN=EF，根据即可求解；
（3）过E作EQ⊥DA交DA的延长线于Q，过F作FG⊥AD于G，过A作AK⊥BC于K，过D作DH⊥BC于H，证明，得到EQ=BK，FG =CH，根据三角形面积公式即可求出和的面积和；
（4）过点A作AH⊥CD于点H，证明，得到AH=CE，，证明，得到GH=GE，进而即可求出的面积．
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