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浙教版数学八年级上册期中模拟试卷二(范围:1-3章)
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共 30分）
1．（2025八下·茂名期末）我国古代数学有着辉煌的成就，下列与我国古代数学成就的相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，工人师傅在砌门时，通常用木条EF固定长方形门框BADC，使其不变形，这样做的数学根据是（　　）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．对顶角相等 D．垂线段最短
3．7条长度均为整数的线段a1，a2，…，a7满足（ 且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若a1=1，a7=21，则 （　　）
A．18 B．13 C．8 D．5
4．（2023九上·安乡县月考）如图，直线，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·阜平期中） 如图，公路互相垂直，公路的中点D与点C被湖隔开，若，，则D，C两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·杭州期中）如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·温岭二模）如图，四边形，连结对角线AC，BD，若要求出四边形ABCD的面积，只需要知道（　　）
A．AC的长 B．BD的长 C．AB的长 D．AD的长
8．（2023七下·开江期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接，分别与，交于点D和E；②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点G，交于点H；③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线，分别交，于点F，Q．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，将长方形纸片ABCD 的∠C 沿着GF 折叠(点 F 在BC 边上，不与点 B，C重合)，使点C 落在长方形内部的点E处。若FH 平分∠BFE，则关于∠GFH 的度数α说法正确的是 (　　)
A．
B．
C．α=90°
D．α随折痕GF 位置的变化而变化
10．（2024八上·乌当期末）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（　　）
A． B．2 C． D．3
二、填空题（本题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2024八下·德阳月考） 命题“如果，那么”，则它的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
12． 等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 ，则该等腰三角形底角的度数为　 　
13．（2023八下·安源期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO＝CO＝AC；③△ABD≌△CBD；④若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积等于48；其中正确的结论有　 　．(用序号表示)
14．（2023八上·西安开学考）如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为　 　度．
15．（2024八上·遵义期末）如图，在中，，且，则的度数为　 　．
16．（2024八上·浙江期中）如图，在△ABC中，CP平分∠ACB，AP⊥CP于点P，已知△ABC的面积为12cm2，则阴影部分的面积为　 　cm2.
17．（2021·成都模拟）如图，在 中， ，底边 ，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则 的周长为　 　.
18．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，，平分，交于，点是上的一点，且，连交于，连，下列结论：，，，，其中正确的有　 　．
三、解答题（本题有5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023八上·杭州月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（2，0），C（5，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）试说明△ABC是直角三角形．
（3）已知点P在x轴上，若S△PBC＝S△ABC，求点P的坐标．
20．（2024八上·花都期末）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作的中垂线，交于点M，交于点N．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：．
21．（2024八上·长沙期中）如图所示，在中，，，为延长线上一点，点在上，且．
（1）求证：；
（2）延长交于点，请判断与的位置关系，请把图形补全后加以证明．
22．（2025七下·龙泉期中）如图，在中，于点，点是BC上一点，过点作于点，点是AC上一点，连结DG，且。
（1）请说明的理由。
（2）若平分，求的度数。
23．（2024八上·海曙期末）
（1）如图1，点、分别是等边边、上的点，连接、，若，求证：
（2）如图2，在（1）问的条件下，点在的延长线上，连接交延长线于点，．若，求证：．
24．（2023八上·湘桥月考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据定义：中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形，轴称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐一判断即可解答.
2．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：由题意得工人师傅在砌门时，通常用木条EF固定长方形门框BADC，使其不变形，这样做的数学根据是三角形具有稳定性，
故答案为：A
【分析】根据三角形的性质（稳定性）结合图片进行分析即可求解。
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：只有当a2=2，a3=a1+a2=3，a4=a2+a3=5，a5=a3+a4=8，a6=a4+a5=13时
7条线段中的任意三条都不能构成三角形.
故答案为：B
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，根据对顶角性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意得出，点D是AB的中点，，，
得出，
所以AB=1.5km，
所以，
故选：B.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理的性质即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点G，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
过点E作于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可知，，，从而可得出，得到，即可求解．
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：延长AD到F，使DF=AB，连接CF，如图：
∵∠BAD=∠DCB=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵BC=DC，AB=DF，
∴△ABC≌△FDC(SAS)，
∴AC=CF，∠ACB=∠DCF，S△ABC=S△FDC，
∵∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠DCF+∠ACD=90°，即ACF=90°，
∴，即，
∴，
∴
∴要求出四边形ABCD的面积，只需要知道AC即可；
故答案为：A.
【分析】延长AD到F，使DF=AB，连接CF，证明△ABC≌△FDC(SAS)，可得AC=CF，∠ACB=∠DCF，S△ABC=S△FDC，进而可得，故要求出四边形ABCD的面积，只需要知道AC即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】 步骤① 作的是BC的垂直平分线， ②③④ 作的是∠BAC的加平分线
∵ DE垂直平分BC
∴ ∠QEF=90°
∵ ∠B=40°，∠C=60°
∴ ∠BAC=80°
∵ AQ平分∠BAC
∴ ∠QAC=40°
∵ ∠EFQ=∠AFC
∴ ∠QEF+∠EQF=∠C+∠QAC
∴ ∠EQF=10°
故答案为A
【分析】本题考查线段的垂直平分线和角平分线的作图步骤和性质及三角形内角和定理，是基础知识的考查，利用线段垂直平分线及角平分线的性质求解即可。
9．【答案】C
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵且平分，
∴，
∴
．
即 α=90° ，
故答案选：C．
【分析】根据折叠和角平分线的性质可得，，然后求解即可.
10．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∵ab=10，
∴，
∵a-b＞0，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据正方形和三角形的面积公式以及勾股定理找出等量关系求出，再利用完全平方公式计算求解即可。
11．【答案】假
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：命题“如果，那么”的逆命题为：“如果，那么”，
由于如果，那么，
故此命题为假命题，
故答案为：假．
【分析】先写出该命题的逆命题，再进行真假判断即可。
12．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在△ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于点D，由题意分两种情况：
①若△ABC是锐角三角形，如图，
∵∠ABD=36°，
∴∠A=90°-36°=54°，
∴∠ABC=∠ACB=；
②若△ABC是钝角三角形，如图，
∵∠ABD=36°，∠D=90°，
∴∠BAC=90°+36°=126°，
∴∠ABC=∠ACB=；
综上可得： 该等腰三角形底角的度数为63°或27°.
故答案为：63°或27°.
【分析】由题意分两种情况：①若△ABC是锐角三角形，由直角三角形两锐角互余和三角形内角和定理以及等腰三角形的两个底角相等可求解；②若△ABC是钝角三角形，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和并结合三角形内角和定理以及等腰三角形的两个底角相等可求解.
13．【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD和△OCD（SAS），
∴AO＝CO＝AC，∠AOD=∠COD，
∵∠AOD+∠COD=180°，
∴AC⊥BD，故①②正确；
∴，故④错误；
故答案为：①②③
【分析】先根据三角形全等的判定即可判断③，再根据三角形全等性质与判定即可判断①和②，再运用三角形的面积公式即可求解。
14．【答案】37
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD=AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74°，
∵AD=BD，
∴2∠B=∠ADC=74°，
∴∠B=37°，
故答案为：37°．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，以及三角形外角的性质，由AD=AC，且点E是CD中点，得到∠AEC=90°，求得∠ADC=∠C=74°，再由AD=BD，得到2∠B=∠ADC，即可求解.
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD=CD，∠C=40°，
∴∠DAC=∠C=40°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=80°，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=20°，
故答案为：20°.
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠DAC=∠C=40°，再根据三角形的外角求出∠ADB=∠DAC+∠C=80°，最后利用三角形的内角和计算求解即可。
16．【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线
【解析】【解答】解：延长AP交BC于Q，
∵ CP平分∠ACB
∴∠ACP=∠PCQ，
∵ AP⊥CP于点P，
∴∠APC=∠QPC，
又PC=PC，
∴△APC≌△QPC（AAS），
∴AP=PQ，
∴S△ABP=S△ABQ，S△APC=S△AQC，
∴S阴影部分=S△ABP+S△APC=（S△ABQ+S△AQC）=S△ABC=6（ cm2）.
故答案为：6.
【分析】先利用AAS证明△APC≌△QPC，再利用全等三角形的性质，证明AP=PQ，然后利用S阴影部分=S△ABP+S△APC求解.
17．【答案】2+2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，∠B=∠C=30°，
∴BE=AE，∠B=∠BAE=30°，
∴∠CAE=180°-∠B-∠BAE-∠C =90°，
在Rt△CAE中，∠C=30°，
∴EC=2AE，
∴AE+EC=BE+EC=BC=2 ，即3AE=2 ，
∴AE= ，EC= ，
∴AC= ，
∴∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2 ，
故答案为：2+2 .
【分析】根据等腰三角形的性质，结合垂直平分线的性质，推出△CAE为含30°的直角三角形，根据BC=2列等式求出AE，然后根据勾股定理求出AC，则可△ACE的周长可求.
18．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，设与交于点，
∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴∠BCE=∠ACB-∠ACO=22.5°，
∴，
∵，，
∴∠ABC=∠ACG，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴可知所在直线垂直平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故错误；
∵，
∴，
由上可知：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故正确；
综上：正确，
故答案为：．
【分析】如图，设与交于点，根据等边对等角可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，再结合垂直的定义，可求出的度数，可判断；先利用ASA证明，可推出，证明，可判断；先证垂直平分，可得，再证所在直线垂直平分，可得，进一步可推出，易证，则，即可得错误；先利用AAS证明，可得，可判断．
19．【答案】（1）解：如图；△A1B1C1为所求，
（2）解：∵AB2=22+22=8，AC2=（3-2）2+52=2
BC2=（5-2）2+32=18，
∴AB2+BC2=8+18=26=AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：S△ABC=3×5×2×2×（5-2）×3×（3-2）×5=6，
设P点坐标为（t，0），
∵S△PBC=S△ABC'
∴×3|t-2|=×6=3，
∴t-2=2，
∴t=0或t=4，
∴P点坐标为（0，0）或（4，0）.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）根据平面内两点间的距离公式先算出AB2、AC2、BC2，可得AB2+BC2=AC2，从而根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠B=90°；
（3）利用割补法，由△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积算出△ABC得面积，设P点坐标为（t，0），根据三角形面积计算公式，由S△PBC=S△ABC建立方程求解得出t的值即可.
20．【答案】（1）解：如图所示，直线即为所求，
（2）解：如图，连接
∵，
∴
∵的中垂线，交于点M，交于点N
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）根据中垂线的尺规作图方法，利用圆规以点A和点C为圆心，以大于为半径画弧得到两个交点，过两交点作直线即为所求中垂线，同时标上点M和点N即可.
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、中垂线的尺规作图和性质以及三角形内角和定理；（1）根据中垂线的尺规作图方法，利用圆规以点A和点C为圆心，以大于为半径画弧得到两个交点，过两交点作直线即为所求中垂线；
（2）连接，根据等腰三角形性质得出且底角为72°，根据中垂线的性质（ 中垂线上任意一点到线段两端的距离相等）得出，结合等角对等边得到，则，则，即可得出．
21．【答案】（1）证明：，
，
在和中，
；
（2）解：，理由如下：
延长与交于点，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
（1）直接利用证明即可；
（2）先由全等的性质得，再利用直角三角形两锐角互余结合等量代换得即可．
（1）证明：，
，
在和中，
；
（2）解：，理由如下：
延长与交于点，
，
，
，
，
，
，
．
22．【答案】（1），
，
，
；
（2），
平分，
．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)根据“垂直于同一直线的两条直线平行”推出CD//EF，根据“两直线平行，同位角相等”得出∠2=∠BCD，则∠1=∠BCD，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解；
(2)根据平行线的性质得出∠ACB=∠3=70°，根据角平分线定义求出∠BCD=35°，再根据平行线的性质求解可.
23．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠BCA.
∴在△AEC和△CDB中
∴△AEC≌△CDB（SAS）
∴BD=CE.
（2）证明：如图：
由（1）△AEC≌△CDB，
∴∠ACE=∠CBD.
∴60°－∠ACE=60°－∠CBD，
即∠ABD=∠ECB.
∵BC=CF，
∴∠BCF=∠BFC，
又∵∠BCF=∠ECB+∠ECH，∠BFC=∠ABD+∠H，
∴∠ECH=∠H，
∴EH=EC.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和AE=CD即可证明△AEC≌△CDB，于是可得到BD=CE；
（2）利用△AEC≌△CDB和等边三角形的性质，可得∠ABD=∠ECB.由BF=BC，可得∠BFC=∠BCF，两等式相减，可得∠ECH=∠H，利用等角对等边即可得到EH=EC.
24．【答案】（1）90；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：；
【分析】（1）利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，据此可求出∠BCE的度数.
（2）①利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，由此可得到∠B+∠ACB=β，然后利用三角形的内角和定理可求出α和β的额数量关系.
②分情况讨论：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，分别证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可证得∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质和三角形的内角和定理可得到α和β的额数量关系.
1 / 1浙教版数学八年级上册期中模拟试卷二(范围:1-3章)
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共 30分）
1．（2025八下·茂名期末）我国古代数学有着辉煌的成就，下列与我国古代数学成就的相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据定义：中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形，轴称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐一判断即可解答.
2．如图，工人师傅在砌门时，通常用木条EF固定长方形门框BADC，使其不变形，这样做的数学根据是（　　）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．对顶角相等 D．垂线段最短
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：由题意得工人师傅在砌门时，通常用木条EF固定长方形门框BADC，使其不变形，这样做的数学根据是三角形具有稳定性，
故答案为：A
【分析】根据三角形的性质（稳定性）结合图片进行分析即可求解。
3．7条长度均为整数的线段a1，a2，…，a7满足（ 且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若a1=1，a7=21，则 （　　）
A．18 B．13 C．8 D．5
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：只有当a2=2，a3=a1+a2=3，a4=a2+a3=5，a5=a3+a4=8，a6=a4+a5=13时
7条线段中的任意三条都不能构成三角形.
故答案为：B
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
4．（2023九上·安乡县月考）如图，直线，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，根据对顶角性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
5．（2024八下·阜平期中） 如图，公路互相垂直，公路的中点D与点C被湖隔开，若，，则D，C两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意得出，点D是AB的中点，，，
得出，
所以AB=1.5km，
所以，
故选：B.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理的性质即可得出答案.
6．（2024八上·杭州期中）如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点G，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
过点E作于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可知，，，从而可得出，得到，即可求解．
7．（2025·温岭二模）如图，四边形，连结对角线AC，BD，若要求出四边形ABCD的面积，只需要知道（　　）
A．AC的长 B．BD的长 C．AB的长 D．AD的长
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：延长AD到F，使DF=AB，连接CF，如图：
∵∠BAD=∠DCB=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵BC=DC，AB=DF，
∴△ABC≌△FDC(SAS)，
∴AC=CF，∠ACB=∠DCF，S△ABC=S△FDC，
∵∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠DCF+∠ACD=90°，即ACF=90°，
∴，即，
∴，
∴
∴要求出四边形ABCD的面积，只需要知道AC即可；
故答案为：A.
【分析】延长AD到F，使DF=AB，连接CF，证明△ABC≌△FDC(SAS)，可得AC=CF，∠ACB=∠DCF，S△ABC=S△FDC，进而可得，故要求出四边形ABCD的面积，只需要知道AC即可.
8．（2023七下·开江期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接，分别与，交于点D和E；②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点G，交于点H；③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线，分别交，于点F，Q．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】 步骤① 作的是BC的垂直平分线， ②③④ 作的是∠BAC的加平分线
∵ DE垂直平分BC
∴ ∠QEF=90°
∵ ∠B=40°，∠C=60°
∴ ∠BAC=80°
∵ AQ平分∠BAC
∴ ∠QAC=40°
∵ ∠EFQ=∠AFC
∴ ∠QEF+∠EQF=∠C+∠QAC
∴ ∠EQF=10°
故答案为A
【分析】本题考查线段的垂直平分线和角平分线的作图步骤和性质及三角形内角和定理，是基础知识的考查，利用线段垂直平分线及角平分线的性质求解即可。
9．如图，将长方形纸片ABCD 的∠C 沿着GF 折叠(点 F 在BC 边上，不与点 B，C重合)，使点C 落在长方形内部的点E处。若FH 平分∠BFE，则关于∠GFH 的度数α说法正确的是 (　　)
A．
B．
C．α=90°
D．α随折痕GF 位置的变化而变化
【答案】C
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵且平分，
∴，
∴
．
即 α=90° ，
故答案选：C．
【分析】根据折叠和角平分线的性质可得，，然后求解即可.
10．（2024八上·乌当期末）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∵ab=10，
∴，
∵a-b＞0，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据正方形和三角形的面积公式以及勾股定理找出等量关系求出，再利用完全平方公式计算求解即可。
二、填空题（本题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2024八下·德阳月考） 命题“如果，那么”，则它的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：命题“如果，那么”的逆命题为：“如果，那么”，
由于如果，那么，
故此命题为假命题，
故答案为：假．
【分析】先写出该命题的逆命题，再进行真假判断即可。
12． 等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 ，则该等腰三角形底角的度数为　 　
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在△ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于点D，由题意分两种情况：
①若△ABC是锐角三角形，如图，
∵∠ABD=36°，
∴∠A=90°-36°=54°，
∴∠ABC=∠ACB=；
②若△ABC是钝角三角形，如图，
∵∠ABD=36°，∠D=90°，
∴∠BAC=90°+36°=126°，
∴∠ABC=∠ACB=；
综上可得： 该等腰三角形底角的度数为63°或27°.
故答案为：63°或27°.
【分析】由题意分两种情况：①若△ABC是锐角三角形，由直角三角形两锐角互余和三角形内角和定理以及等腰三角形的两个底角相等可求解；②若△ABC是钝角三角形，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和并结合三角形内角和定理以及等腰三角形的两个底角相等可求解.
13．（2023八下·安源期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO＝CO＝AC；③△ABD≌△CBD；④若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积等于48；其中正确的结论有　 　．(用序号表示)
【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD和△OCD（SAS），
∴AO＝CO＝AC，∠AOD=∠COD，
∵∠AOD+∠COD=180°，
∴AC⊥BD，故①②正确；
∴，故④错误；
故答案为：①②③
【分析】先根据三角形全等的判定即可判断③，再根据三角形全等性质与判定即可判断①和②，再运用三角形的面积公式即可求解。
14．（2023八上·西安开学考）如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为　 　度．
【答案】37
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD=AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74°，
∵AD=BD，
∴2∠B=∠ADC=74°，
∴∠B=37°，
故答案为：37°．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，以及三角形外角的性质，由AD=AC，且点E是CD中点，得到∠AEC=90°，求得∠ADC=∠C=74°，再由AD=BD，得到2∠B=∠ADC，即可求解.
15．（2024八上·遵义期末）如图，在中，，且，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD=CD，∠C=40°，
∴∠DAC=∠C=40°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=80°，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=20°，
故答案为：20°.
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠DAC=∠C=40°，再根据三角形的外角求出∠ADB=∠DAC+∠C=80°，最后利用三角形的内角和计算求解即可。
16．（2024八上·浙江期中）如图，在△ABC中，CP平分∠ACB，AP⊥CP于点P，已知△ABC的面积为12cm2，则阴影部分的面积为　 　cm2.
【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线
【解析】【解答】解：延长AP交BC于Q，
∵ CP平分∠ACB
∴∠ACP=∠PCQ，
∵ AP⊥CP于点P，
∴∠APC=∠QPC，
又PC=PC，
∴△APC≌△QPC（AAS），
∴AP=PQ，
∴S△ABP=S△ABQ，S△APC=S△AQC，
∴S阴影部分=S△ABP+S△APC=（S△ABQ+S△AQC）=S△ABC=6（ cm2）.
故答案为：6.
【分析】先利用AAS证明△APC≌△QPC，再利用全等三角形的性质，证明AP=PQ，然后利用S阴影部分=S△ABP+S△APC求解.
17．（2021·成都模拟）如图，在 中， ，底边 ，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则 的周长为　 　.
【答案】2+2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，∠B=∠C=30°，
∴BE=AE，∠B=∠BAE=30°，
∴∠CAE=180°-∠B-∠BAE-∠C =90°，
在Rt△CAE中，∠C=30°，
∴EC=2AE，
∴AE+EC=BE+EC=BC=2 ，即3AE=2 ，
∴AE= ，EC= ，
∴AC= ，
∴∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2 ，
故答案为：2+2 .
【分析】根据等腰三角形的性质，结合垂直平分线的性质，推出△CAE为含30°的直角三角形，根据BC=2列等式求出AE，然后根据勾股定理求出AC，则可△ACE的周长可求.
18．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，，平分，交于，点是上的一点，且，连交于，连，下列结论：，，，，其中正确的有　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，设与交于点，
∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴∠BCE=∠ACB-∠ACO=22.5°，
∴，
∵，，
∴∠ABC=∠ACG，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴可知所在直线垂直平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故错误；
∵，
∴，
由上可知：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故正确；
综上：正确，
故答案为：．
【分析】如图，设与交于点，根据等边对等角可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，再结合垂直的定义，可求出的度数，可判断；先利用ASA证明，可推出，证明，可判断；先证垂直平分，可得，再证所在直线垂直平分，可得，进一步可推出，易证，则，即可得错误；先利用AAS证明，可得，可判断．
三、解答题（本题有5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023八上·杭州月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（2，0），C（5，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）试说明△ABC是直角三角形．
（3）已知点P在x轴上，若S△PBC＝S△ABC，求点P的坐标．
【答案】（1）解：如图；△A1B1C1为所求，
（2）解：∵AB2=22+22=8，AC2=（3-2）2+52=2
BC2=（5-2）2+32=18，
∴AB2+BC2=8+18=26=AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：S△ABC=3×5×2×2×（5-2）×3×（3-2）×5=6，
设P点坐标为（t，0），
∵S△PBC=S△ABC'
∴×3|t-2|=×6=3，
∴t-2=2，
∴t=0或t=4，
∴P点坐标为（0，0）或（4，0）.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）根据平面内两点间的距离公式先算出AB2、AC2、BC2，可得AB2+BC2=AC2，从而根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠B=90°；
（3）利用割补法，由△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积算出△ABC得面积，设P点坐标为（t，0），根据三角形面积计算公式，由S△PBC=S△ABC建立方程求解得出t的值即可.
20．（2024八上·花都期末）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作的中垂线，交于点M，交于点N．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：．
【答案】（1）解：如图所示，直线即为所求，
（2）解：如图，连接
∵，
∴
∵的中垂线，交于点M，交于点N
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）根据中垂线的尺规作图方法，利用圆规以点A和点C为圆心，以大于为半径画弧得到两个交点，过两交点作直线即为所求中垂线，同时标上点M和点N即可.
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、中垂线的尺规作图和性质以及三角形内角和定理；（1）根据中垂线的尺规作图方法，利用圆规以点A和点C为圆心，以大于为半径画弧得到两个交点，过两交点作直线即为所求中垂线；
（2）连接，根据等腰三角形性质得出且底角为72°，根据中垂线的性质（ 中垂线上任意一点到线段两端的距离相等）得出，结合等角对等边得到，则，则，即可得出．
21．（2024八上·长沙期中）如图所示，在中，，，为延长线上一点，点在上，且．
（1）求证：；
（2）延长交于点，请判断与的位置关系，请把图形补全后加以证明．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
；
（2）解：，理由如下：
延长与交于点，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
（1）直接利用证明即可；
（2）先由全等的性质得，再利用直角三角形两锐角互余结合等量代换得即可．
（1）证明：，
，
在和中，
；
（2）解：，理由如下：
延长与交于点，
，
，
，
，
，
，
．
22．（2025七下·龙泉期中）如图，在中，于点，点是BC上一点，过点作于点，点是AC上一点，连结DG，且。
（1）请说明的理由。
（2）若平分，求的度数。
【答案】（1），
，
，
；
（2），
平分，
．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)根据“垂直于同一直线的两条直线平行”推出CD//EF，根据“两直线平行，同位角相等”得出∠2=∠BCD，则∠1=∠BCD，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解；
(2)根据平行线的性质得出∠ACB=∠3=70°，根据角平分线定义求出∠BCD=35°，再根据平行线的性质求解可.
23．（2024八上·海曙期末）
（1）如图1，点、分别是等边边、上的点，连接、，若，求证：
（2）如图2，在（1）问的条件下，点在的延长线上，连接交延长线于点，．若，求证：．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠BCA.
∴在△AEC和△CDB中
∴△AEC≌△CDB（SAS）
∴BD=CE.
（2）证明：如图：
由（1）△AEC≌△CDB，
∴∠ACE=∠CBD.
∴60°－∠ACE=60°－∠CBD，
即∠ABD=∠ECB.
∵BC=CF，
∴∠BCF=∠BFC，
又∵∠BCF=∠ECB+∠ECH，∠BFC=∠ABD+∠H，
∴∠ECH=∠H，
∴EH=EC.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和AE=CD即可证明△AEC≌△CDB，于是可得到BD=CE；
（2）利用△AEC≌△CDB和等边三角形的性质，可得∠ABD=∠ECB.由BF=BC，可得∠BFC=∠BCF，两等式相减，可得∠ECH=∠H，利用等角对等边即可得到EH=EC.
24．（2023八上·湘桥月考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】（1）90；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：；
【分析】（1）利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，据此可求出∠BCE的度数.
（2）①利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，由此可得到∠B+∠ACB=β，然后利用三角形的内角和定理可求出α和β的额数量关系.
②分情况讨论：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，分别证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可证得∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质和三角形的内角和定理可得到α和β的额数量关系.
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