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浙教版数学八年级上册期中模拟试卷一(范围:1-2章)
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共 30分）
1．（2025八上·宁波期末）2024年巴黎奥运会中国体育代表团取得了40金27银24铜的优异成绩，下列巴黎运动会体育图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·临海期中）自行车支架一般都会采用如图△ABC的设计，这种方法应用的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．垂线段最短 D．三角形的稳定性
3． 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，DE⊥AB 于点 E，交AC 于点 F，且DE=AB=4，连接BD，若BD=AC，BC=2，则AE的长为 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024八下·中山期中）下列不能构成直角三角形三边长的是（　　）
A．1、2、3 B．6、8、10 C．3、4、5 D．5、12、13
5．（2025八下·潮南期末） 如图，在Rt中，CD是斜边AB中的中线，且，，则CD的长为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
6．（2023七下·丰顺月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE＝AC＝CD，CE＝4，则BD的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
7．（2024七下·宁河期中）将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如下图方式叠放，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·兴宁期中）如图，在中，，． 通过观察尺规作图的痕迹，可以求得的度数为（　　）．
A． B． C． D．
9．（2024七上·宝安期末）如图，三角形纸片中，点D、E、F分别在边，，上，连接，，将、分别沿、对折，使点B、C落在点、处，若恰好平分，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·普宁期末） 将 n 个边长都为 1 的正方形按如图所示的方法摆放，点 ，···， 分别是正方形对角线的交点，则 2022 个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为（　　）
A． B． C．1 D．2020
二、填空题（本题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2023八下·息县期末）命题“等边三角形的三边相等”的逆命题是　 　，它是　 　命题填“真”或“假”．
12．（2023八上·西安开学考）如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为　 　度．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=BD，∠ADB=90°，连接CD，若AB=2，则S△BCD=　 　.
14．（2023八上·哈尔滨月考）如图，在中，，，则　 　.
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，已知EH=EB=4，S△AEH=12，则CH的长为　 　.
16．（2023八上·江北期末）如图，∠AOB=30°，点D为∠AOB平分线OC上一点，OD的垂直平分线交OA、OB分别于点P，Q，点E是OA上异于点P的一点，且DE=OP=6，则△ODE的面积为　 　.
17．（2024八上·拱墅期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是　 　．
18．（2024八上·路桥期中）如图，四边形中，，平分，，，垂足为E，且，则的度数是 　 　．
三、解答题（本题有5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024八上·青羊期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
（1）在图中画出关于轴对称的图形△；点的对应点的坐标是 ▲ ；
（2）求△的面积；
（3）在中，边上的高为 　 　．
20． 如图， 已知 是直线 上的一点， 平分 ， 射线 ， ．
（1） 求 的度数．
（2） 若 ， 说明： ．
21．（2023八上·建始期中）如图，在中，．
（1）用尺规作图：作的角平分线，交于点D，作的垂直平分线，交于点P（保留痕迹，不写作法）；
（2）连接，，试判断，，间的数量关系，并说明理由；
（3）若，求的度数．
22．（2024八上·湖北期中）在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．
（1）求证：；
（2）当时，求证：平分．
23．（2023八上·印江期中）感知：如图①所示，分别以的边，为边向外作等边、等边，连接，．易证：（不需要证明）．
探究：如图②所示，点是线段上方的一个动点，分别以的边，为直角边向外作等腰直角、等腰直角，且均以点为直角顶点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，则线段的最大值是　 　．（直接填答案，不需要过程）
24．如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为．
（1）当点P在边上，且不与点、重合时，求证：；
（2）直接写出的长（用含t的代数式表示）；
（3）在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故选项A符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】此题可根据“如果一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行求解.
2．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性.
故答案为：D.
【分析】自行车支架方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵ DE⊥AB，
∴∠DEB=∠ABC=90°，
在Rt△ABC 和 Rt△DEB 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEB(HL)，
∴BC=EB=2，
∴AE=AB-BE=4-2=2.
故答案为：A
【分析】根据全等三角形判定定理可得 Rt△ABC≌Rt△DEB(HL)，则BC=EB=2，再根据边之间的关系即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，∴长度为1、2、3的三条线段不能围成三角形，则本项符合题意；
B、∵∴长度为6、8、10的三条线段能围成三直角角形，则本项不符合题意；
C、∵∴长度为3、4、5的三条线段能围成三直角角形，则本项不符合题意；
D、∵∴长度为5、12、13的三条线段能围成三直角角形，则本项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形三边关系及勾股定理逆定理逐项分析判断即可求解.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=8，AC=6
∴
∵CD是斜边AB的中线
∴
故答案为：A .
【分析】
本题考查勾股定理和直角三角形的中线的性质，熟知勾股定理和直角三角形中线的性质是解题关键.
根据勾股定理可得：在Rt△ABC中，，再根据直角三角形的中线性质：直角三角形斜边的中线=斜边的一半可知：，由此可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，如图所示，
则∠AGC=∠CFD=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BDF=∠BAG=45°，
∴DF=BF，AG=BG，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠CAD-∠BAG=∠CDA-∠ABC，
即∠CAG=∠DCF，
在△CAG和△DCF中，
∴△CAG≌△DCF（AAS），
∴CG=DF，
∵CA=EA，AG⊥CE，
∴CG=CE=2，
∴DF=BF=CG=2，
Rt△BDF中，BD=，故A正确．
故答案为：A．
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，易证△CAG≌△DCF（AAS）可得CG=DF，再根据等腰直角三角形的性质可得CG=2，最后根据勾股定理进行计算即可得到BD的长．
7．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理；内错角的概念
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知，是等腰直角三角形，，
∴，
又∵由题意可知，，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质及内角和求出，再利用平行线的性质可得，最后利用角的运算求出即可．
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题可得∶直线DF是线段AB的垂直平分线，AE为∠DAC的平分线，
∴AD=BD，∠DAE=∠CAE
∴∠B=∠BAD=40°，
∵∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=50°
∴．
故答案为：B．
【分析】
由题意可知：直线DF是线段AB的垂直平分线，AE为∠DAC的平分线，根据线段垂直平分线的性质可知：AD=BD，由角平分线的定义可知：∠DAE=∠CAE，再根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠B=∠BAD，再根据三角形内角和定理可知：∠BAC=180°-∠B-∠C=90°，由角的和差运算可知：∠DAC=∠BAC-∠BAD=50°，最后等量代换可知：，由此可得出答案．
9．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用；角的运算；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵B'D平分∠EDC'，
∴∠EDB'=∠C'DB'，
由折叠得∠BDE=∠B'DE，∠CDF=∠C'DF，
∴∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'，
设∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'=x，∠CDF=∠C'DF=y，
则∠EDF=∠B'DE+∠C'DB'+∠C'DF=2x+y=99.5°①，
∠BDE+∠B'DE+∠C'DB'+∠CDF+∠C'DF=3x+2y=180°②，
①×2-②得x=19°，
∴∠EDC'=∠EDB'+∠B'DC'=2x=38°.
故答案为：B.
【分析】由角平分线线定义得∠EDB'=∠C'DB'，由折叠得∠BDE=∠B'DE，∠CDF=∠C'DF，则可得∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'，设∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'=x，∠CDF=∠C'DF=y，根据角的和差可得方程2x+y=99.5°①，3x+2y=180°②，联立两方程求解可得x的值，最后根据∠EDC'=∠EDB'+∠B'DC'可得答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，正方形ABCD的中心为A1，BC、CD分别与A2所在的正方形交于点E、F，连接A1C，A1D，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A1CB=∠A1DA2=45°，A1C=A1D，∠CA1D=90°，
∵∠EA1F=90°，
∴∠EA1C=∠FA1D，
∵∠A1CE=∠A1DF，A1C=A1D，
∴△EA1C≌△FA1D（AAS），
∴，
∴，
同理可得：每个阴影部分的面积都是，
∵2022个正方形照这样重叠，每两个正方形的重叠面积都是，共2021个，
∴ 2022 个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为，
故答案为： A.
【分析】根据正方形的性质求出∠A1CB=∠A1DA2=45°，A1C=A1D，∠CA1D=90°，再利用AAS证明△EA1C≌△FA1D，最后求重叠部分的面积即可.
11．【答案】三边相等的三角形为等边三角形；真
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解： 等边三角形的三边相等的逆命题：三边相等的三角形是等边三角形，它是真命题；
故答案为：三边相等的三角形为等边三角形，真.
【分析】把命题的题设和结论互换，即得逆命题，据此解答即可.
12．【答案】37
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD=AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74°，
∵AD=BD，
∴2∠B=∠ADC=74°，
∴∠B=37°，
故答案为：37°．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，以及三角形外角的性质，由AD=AC，且点E是CD中点，得到∠AEC=90°，求得∠ADC=∠C=74°，再由AD=BD，得到2∠B=∠ADC，即可求解.
13．【答案】2
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G
∵
设AH=2x，CH=x
∴
解得：x=2
∴AH=4，CH=BH=2
∴BC=4
过点D作DE⊥AH于点E，则四边形DEHG是矩形
∴∠EDG=∠DGH=∠DEH=90°
∴∠ADE=∠BDG
在△ADE和△BDG中
∴△ADE≌△BDG
∴AE=BG
∵∠ADB=90°
∴
设DG=x
∴BG=AH=4-x
∵，即
解得x=1或x=3(舍去)
∴DG=1
∴
故答案为：2
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，设AH=2x，CH=x，根据勾股定理可得AC，根据题意建立方程，解方程可得x=2，则AH=4，CH=BH=2，BC=4，过点D作DE⊥AH于点E，则四边形DEHG是矩形，再根据边之间的关系可得∠ADE=∠BDG，由全等三角形判定定理可得△ADE≌△BDG，则AE=BG，设DG=x，则BG=AH=4-x，再根据勾股定理建立方程，解方程可得DG=1，再根据三角形面积即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
由三角形内角和定理得：∠A=40°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=40°，
∴
故答案为：30°．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ACD=70°，再由是三角形内角和定理得到∠A=40°，进而得到∠B=40°，根据三角形外角的性质可得
15．【答案】2
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵CE⊥AB，S△AEH=12，EH=4，
∴S△AEH=AE·EH=AE·4=12，
解得AE=6，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEH=∠CEB=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠BAD=∠BCE，
又∵EH=EB，
∴△HEA≌△BEC(AAS)，
∴AE=EC=6，
又∵EH=EB=4，
∴CH=EC-EH=6-4=2.
故答案为：2.
【分析】先根据三角形的面积公式可得AE的长度，再利用AAS证△HEA≌△BEC，可推出EC的长度，进一步即可求出CH的长度.
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：连接DP、DQ，过D作DF⊥OE于F，
∵平分，
∴，
∵OD的垂直平分线交OA、OB分别于点P，Q
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∴的面积，
故答案为：.
【分析】连接DP、DQ，过D作DF⊥OE于F，根据角平分线的定义得∠AOD=15°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得OP=PD，由等边对等角得∠AOD=∠ODP=15°，由三角形外角性质得∠APD=30°，根据含30°角直角三角形的性质得DF=3，根据勾股定理算出PF的长，易得DP=DE，根据等腰三角形的三线合一可得PE的长，进而根据三角形面积计算公式即可算出答案.
17．【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
∴垂直平分，
，
，
∵是边上的高线，是边上的中线，
，
，
∵，
，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
，
故答案为：36°．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，由等腰三角形“等边对等角”性质有，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，从而得，进而结合三角形外角性质有，最后根据三角形内角和定理得到，解方程求出，于是得到的度数．
18．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴∠DEC=90°，
∴，
故答案为：．
【分析】利用证明，于是可得，，再根据等腰三角形的性质可求得△ACD的度数，最后根据直角三角形的性质即可解决问题．
19．【答案】（1）解：如图，△即为所求，
点的对应点的坐标是．
（2）解：△的面积；
（3）2
【知识点】三角形的面积；勾股定理；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3）设AC边上的高为h
∵
∴，得：h=2
故答案为：2
【分析】 （1）根据对称图形的性质作图即可，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案；
（2）根据所求三角面积等于所在边构成的正方形面积减去周围三角形面积即可求出答案；
（3）设AC边上的高为h，根据勾股定理求出AC=5，再根据三角形面积即可求出答案.
20．【答案】（1）解： ∵，
∴ ∠FCA=∠2=58°，
∵，
∴ ∠ACE=90°- ∠FCA=90°- 58°=32°.
（2）证明：∵ 平分 ，
∴ ∠DCE=∠ACE=32°，
又∵，
∴ ∠1=∠DCE，
∴.
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)先根据两直线平行，同位角相等得到∠FCA，再根据垂直得出即可.
(2)先根据角平分线的定义求出∠DCE，再根据内错角相等，两直线平行证出即可.
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：；
理由：如图，连接，，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作角平分线和线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质求出，，即可得到，
（3）根据三角形内角和定理可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可求出答案.
（1）解：如图所示：
（2）；
理由：如图，连接，，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
22．【答案】（1）证明：如图，设交于点G，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）证明：由（1）得，∴，．
由（1）得，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴平分．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】此题考查全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
（1）根据证明与全等，得到，进而解答即可；
（2）首先由，得到，，然后利用等边对等角得到，然后利用等量关系转化求解即可．
（1）证明：如图，设交于点G，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，．
由（1）得，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴平分．
23．【答案】（1）证明：∵和都为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图②，
如果点B、C、E不共线时，由三角形的三边关系得；
当点B、C、E共线时，则
故，
∴线段的最大值为的值，
又∵等腰中，，
而，
∴，
∴线段的最大值为，
又∵，
∴线段的最大值为，
【分析】从问题入手，要证明线段相等，通常考虑证明线段所在的三角形全等；在熟练掌握三角形全等的所有判定定理基础上，根据已知条件和可推导条件，发现两组对应边分别相等，且两组对应边的夹角也相等，符合SAS定理，故可判定对应边DC=BE；
（2）题中以三角形边AB、AC为边向外作的图形由等边三角形变成了等腰直角三角形，但是这个改变不影响SAS定理的成立，CD=BE的结论仍然成立，故求CD的最大值就转化为求BE的最大值，BE和已知的BC和CE在一个三角形内，且因为A是动点，B、C、E三点有可能共线，根据三角形三边关系和共线情况，可判断出最大值为2+a。
24．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
根据点的运动过程可知，，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：根据题意可知，点从点到点所需时间为，
当时，，
当时，，
答：当时，的长为；当时，的长为
（3）解：当时，如图，
有5个等腰三角形：、、、、，
当时，如图，有4个等腰三角形：、、、，
答：当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质证明△APE两个角是60°，然后根据SAS证明△BPE≌△ECQ；
（2）先表示AP＝AE＝t，当E在AC上时，EC＝2 t，当E在射线AC上时，EC＝t 2；
（3）当t＝1和t＝4时，图中等腰三角形的个数大于3，根据图形写出等腰三角形即可．
1 / 1浙教版数学八年级上册期中模拟试卷一(范围:1-2章)
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共 30分）
1．（2025八上·宁波期末）2024年巴黎奥运会中国体育代表团取得了40金27银24铜的优异成绩，下列巴黎运动会体育图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故选项A符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】此题可根据“如果一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行求解.
2．（2024八上·临海期中）自行车支架一般都会采用如图△ABC的设计，这种方法应用的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．垂线段最短 D．三角形的稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性.
故答案为：D.
【分析】自行车支架方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性.
3． 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，DE⊥AB 于点 E，交AC 于点 F，且DE=AB=4，连接BD，若BD=AC，BC=2，则AE的长为 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵ DE⊥AB，
∴∠DEB=∠ABC=90°，
在Rt△ABC 和 Rt△DEB 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEB(HL)，
∴BC=EB=2，
∴AE=AB-BE=4-2=2.
故答案为：A
【分析】根据全等三角形判定定理可得 Rt△ABC≌Rt△DEB(HL)，则BC=EB=2，再根据边之间的关系即可求出答案.
4．（2024八下·中山期中）下列不能构成直角三角形三边长的是（　　）
A．1、2、3 B．6、8、10 C．3、4、5 D．5、12、13
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，∴长度为1、2、3的三条线段不能围成三角形，则本项符合题意；
B、∵∴长度为6、8、10的三条线段能围成三直角角形，则本项不符合题意；
C、∵∴长度为3、4、5的三条线段能围成三直角角形，则本项不符合题意；
D、∵∴长度为5、12、13的三条线段能围成三直角角形，则本项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形三边关系及勾股定理逆定理逐项分析判断即可求解.
5．（2025八下·潮南期末） 如图，在Rt中，CD是斜边AB中的中线，且，，则CD的长为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=8，AC=6
∴
∵CD是斜边AB的中线
∴
故答案为：A .
【分析】
本题考查勾股定理和直角三角形的中线的性质，熟知勾股定理和直角三角形中线的性质是解题关键.
根据勾股定理可得：在Rt△ABC中，，再根据直角三角形的中线性质：直角三角形斜边的中线=斜边的一半可知：，由此可得出答案.
6．（2023七下·丰顺月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE＝AC＝CD，CE＝4，则BD的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，如图所示，
则∠AGC=∠CFD=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BDF=∠BAG=45°，
∴DF=BF，AG=BG，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠CAD-∠BAG=∠CDA-∠ABC，
即∠CAG=∠DCF，
在△CAG和△DCF中，
∴△CAG≌△DCF（AAS），
∴CG=DF，
∵CA=EA，AG⊥CE，
∴CG=CE=2，
∴DF=BF=CG=2，
Rt△BDF中，BD=，故A正确．
故答案为：A．
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，易证△CAG≌△DCF（AAS）可得CG=DF，再根据等腰直角三角形的性质可得CG=2，最后根据勾股定理进行计算即可得到BD的长．
7．（2024七下·宁河期中）将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如下图方式叠放，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理；内错角的概念
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知，是等腰直角三角形，，
∴，
又∵由题意可知，，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质及内角和求出，再利用平行线的性质可得，最后利用角的运算求出即可．
8．（2025八下·兴宁期中）如图，在中，，． 通过观察尺规作图的痕迹，可以求得的度数为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题可得∶直线DF是线段AB的垂直平分线，AE为∠DAC的平分线，
∴AD=BD，∠DAE=∠CAE
∴∠B=∠BAD=40°，
∵∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=50°
∴．
故答案为：B．
【分析】
由题意可知：直线DF是线段AB的垂直平分线，AE为∠DAC的平分线，根据线段垂直平分线的性质可知：AD=BD，由角平分线的定义可知：∠DAE=∠CAE，再根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠B=∠BAD，再根据三角形内角和定理可知：∠BAC=180°-∠B-∠C=90°，由角的和差运算可知：∠DAC=∠BAC-∠BAD=50°，最后等量代换可知：，由此可得出答案．
9．（2024七上·宝安期末）如图，三角形纸片中，点D、E、F分别在边，，上，连接，，将、分别沿、对折，使点B、C落在点、处，若恰好平分，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用；角的运算；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵B'D平分∠EDC'，
∴∠EDB'=∠C'DB'，
由折叠得∠BDE=∠B'DE，∠CDF=∠C'DF，
∴∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'，
设∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'=x，∠CDF=∠C'DF=y，
则∠EDF=∠B'DE+∠C'DB'+∠C'DF=2x+y=99.5°①，
∠BDE+∠B'DE+∠C'DB'+∠CDF+∠C'DF=3x+2y=180°②，
①×2-②得x=19°，
∴∠EDC'=∠EDB'+∠B'DC'=2x=38°.
故答案为：B.
【分析】由角平分线线定义得∠EDB'=∠C'DB'，由折叠得∠BDE=∠B'DE，∠CDF=∠C'DF，则可得∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'，设∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'=x，∠CDF=∠C'DF=y，根据角的和差可得方程2x+y=99.5°①，3x+2y=180°②，联立两方程求解可得x的值，最后根据∠EDC'=∠EDB'+∠B'DC'可得答案.
10．（2025七下·普宁期末） 将 n 个边长都为 1 的正方形按如图所示的方法摆放，点 ，···， 分别是正方形对角线的交点，则 2022 个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为（　　）
A． B． C．1 D．2020
【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，正方形ABCD的中心为A1，BC、CD分别与A2所在的正方形交于点E、F，连接A1C，A1D，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A1CB=∠A1DA2=45°，A1C=A1D，∠CA1D=90°，
∵∠EA1F=90°，
∴∠EA1C=∠FA1D，
∵∠A1CE=∠A1DF，A1C=A1D，
∴△EA1C≌△FA1D（AAS），
∴，
∴，
同理可得：每个阴影部分的面积都是，
∵2022个正方形照这样重叠，每两个正方形的重叠面积都是，共2021个，
∴ 2022 个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为，
故答案为： A.
【分析】根据正方形的性质求出∠A1CB=∠A1DA2=45°，A1C=A1D，∠CA1D=90°，再利用AAS证明△EA1C≌△FA1D，最后求重叠部分的面积即可.
二、填空题（本题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2023八下·息县期末）命题“等边三角形的三边相等”的逆命题是　 　，它是　 　命题填“真”或“假”．
【答案】三边相等的三角形为等边三角形；真
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解： 等边三角形的三边相等的逆命题：三边相等的三角形是等边三角形，它是真命题；
故答案为：三边相等的三角形为等边三角形，真.
【分析】把命题的题设和结论互换，即得逆命题，据此解答即可.
12．（2023八上·西安开学考）如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为　 　度．
【答案】37
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD=AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74°，
∵AD=BD，
∴2∠B=∠ADC=74°，
∴∠B=37°，
故答案为：37°．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，以及三角形外角的性质，由AD=AC，且点E是CD中点，得到∠AEC=90°，求得∠ADC=∠C=74°，再由AD=BD，得到2∠B=∠ADC，即可求解.
13．如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=BD，∠ADB=90°，连接CD，若AB=2，则S△BCD=　 　.
【答案】2
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G
∵
设AH=2x，CH=x
∴
解得：x=2
∴AH=4，CH=BH=2
∴BC=4
过点D作DE⊥AH于点E，则四边形DEHG是矩形
∴∠EDG=∠DGH=∠DEH=90°
∴∠ADE=∠BDG
在△ADE和△BDG中
∴△ADE≌△BDG
∴AE=BG
∵∠ADB=90°
∴
设DG=x
∴BG=AH=4-x
∵，即
解得x=1或x=3(舍去)
∴DG=1
∴
故答案为：2
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，设AH=2x，CH=x，根据勾股定理可得AC，根据题意建立方程，解方程可得x=2，则AH=4，CH=BH=2，BC=4，过点D作DE⊥AH于点E，则四边形DEHG是矩形，再根据边之间的关系可得∠ADE=∠BDG，由全等三角形判定定理可得△ADE≌△BDG，则AE=BG，设DG=x，则BG=AH=4-x，再根据勾股定理建立方程，解方程可得DG=1，再根据三角形面积即可求出答案.
14．（2023八上·哈尔滨月考）如图，在中，，，则　 　.
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
由三角形内角和定理得：∠A=40°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=40°，
∴
故答案为：30°．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ACD=70°，再由是三角形内角和定理得到∠A=40°，进而得到∠B=40°，根据三角形外角的性质可得
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，已知EH=EB=4，S△AEH=12，则CH的长为　 　.
【答案】2
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵CE⊥AB，S△AEH=12，EH=4，
∴S△AEH=AE·EH=AE·4=12，
解得AE=6，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEH=∠CEB=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠BAD=∠BCE，
又∵EH=EB，
∴△HEA≌△BEC(AAS)，
∴AE=EC=6，
又∵EH=EB=4，
∴CH=EC-EH=6-4=2.
故答案为：2.
【分析】先根据三角形的面积公式可得AE的长度，再利用AAS证△HEA≌△BEC，可推出EC的长度，进一步即可求出CH的长度.
16．（2023八上·江北期末）如图，∠AOB=30°，点D为∠AOB平分线OC上一点，OD的垂直平分线交OA、OB分别于点P，Q，点E是OA上异于点P的一点，且DE=OP=6，则△ODE的面积为　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：连接DP、DQ，过D作DF⊥OE于F，
∵平分，
∴，
∵OD的垂直平分线交OA、OB分别于点P，Q
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∴的面积，
故答案为：.
【分析】连接DP、DQ，过D作DF⊥OE于F，根据角平分线的定义得∠AOD=15°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得OP=PD，由等边对等角得∠AOD=∠ODP=15°，由三角形外角性质得∠APD=30°，根据含30°角直角三角形的性质得DF=3，根据勾股定理算出PF的长，易得DP=DE，根据等腰三角形的三线合一可得PE的长，进而根据三角形面积计算公式即可算出答案.
17．（2024八上·拱墅期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是　 　．
【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
∴垂直平分，
，
，
∵是边上的高线，是边上的中线，
，
，
∵，
，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
，
故答案为：36°．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，由等腰三角形“等边对等角”性质有，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，从而得，进而结合三角形外角性质有，最后根据三角形内角和定理得到，解方程求出，于是得到的度数．
18．（2024八上·路桥期中）如图，四边形中，，平分，，，垂足为E，且，则的度数是 　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴∠DEC=90°，
∴，
故答案为：．
【分析】利用证明，于是可得，，再根据等腰三角形的性质可求得△ACD的度数，最后根据直角三角形的性质即可解决问题．
三、解答题（本题有5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024八上·青羊期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
（1）在图中画出关于轴对称的图形△；点的对应点的坐标是 ▲ ；
（2）求△的面积；
（3）在中，边上的高为 　 　．
【答案】（1）解：如图，△即为所求，
点的对应点的坐标是．
（2）解：△的面积；
（3）2
【知识点】三角形的面积；勾股定理；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3）设AC边上的高为h
∵
∴，得：h=2
故答案为：2
【分析】 （1）根据对称图形的性质作图即可，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案；
（2）根据所求三角面积等于所在边构成的正方形面积减去周围三角形面积即可求出答案；
（3）设AC边上的高为h，根据勾股定理求出AC=5，再根据三角形面积即可求出答案.
20． 如图， 已知 是直线 上的一点， 平分 ， 射线 ， ．
（1） 求 的度数．
（2） 若 ， 说明： ．
【答案】（1）解： ∵，
∴ ∠FCA=∠2=58°，
∵，
∴ ∠ACE=90°- ∠FCA=90°- 58°=32°.
（2）证明：∵ 平分 ，
∴ ∠DCE=∠ACE=32°，
又∵，
∴ ∠1=∠DCE，
∴.
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)先根据两直线平行，同位角相等得到∠FCA，再根据垂直得出即可.
(2)先根据角平分线的定义求出∠DCE，再根据内错角相等，两直线平行证出即可.
21．（2023八上·建始期中）如图，在中，．
（1）用尺规作图：作的角平分线，交于点D，作的垂直平分线，交于点P（保留痕迹，不写作法）；
（2）连接，，试判断，，间的数量关系，并说明理由；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：；
理由：如图，连接，，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作角平分线和线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质求出，，即可得到，
（3）根据三角形内角和定理可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可求出答案.
（1）解：如图所示：
（2）；
理由：如图，连接，，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
22．（2024八上·湖北期中）在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．
（1）求证：；
（2）当时，求证：平分．
【答案】（1）证明：如图，设交于点G，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）证明：由（1）得，∴，．
由（1）得，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴平分．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】此题考查全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
（1）根据证明与全等，得到，进而解答即可；
（2）首先由，得到，，然后利用等边对等角得到，然后利用等量关系转化求解即可．
（1）证明：如图，设交于点G，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，．
由（1）得，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴平分．
23．（2023八上·印江期中）感知：如图①所示，分别以的边，为边向外作等边、等边，连接，．易证：（不需要证明）．
探究：如图②所示，点是线段上方的一个动点，分别以的边，为直角边向外作等腰直角、等腰直角，且均以点为直角顶点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，则线段的最大值是　 　．（直接填答案，不需要过程）
【答案】（1）证明：∵和都为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图②，
如果点B、C、E不共线时，由三角形的三边关系得；
当点B、C、E共线时，则
故，
∴线段的最大值为的值，
又∵等腰中，，
而，
∴，
∴线段的最大值为，
又∵，
∴线段的最大值为，
【分析】从问题入手，要证明线段相等，通常考虑证明线段所在的三角形全等；在熟练掌握三角形全等的所有判定定理基础上，根据已知条件和可推导条件，发现两组对应边分别相等，且两组对应边的夹角也相等，符合SAS定理，故可判定对应边DC=BE；
（2）题中以三角形边AB、AC为边向外作的图形由等边三角形变成了等腰直角三角形，但是这个改变不影响SAS定理的成立，CD=BE的结论仍然成立，故求CD的最大值就转化为求BE的最大值，BE和已知的BC和CE在一个三角形内，且因为A是动点，B、C、E三点有可能共线，根据三角形三边关系和共线情况，可判断出最大值为2+a。
24．如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为．
（1）当点P在边上，且不与点、重合时，求证：；
（2）直接写出的长（用含t的代数式表示）；
（3）在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性）
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
根据点的运动过程可知，，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：根据题意可知，点从点到点所需时间为，
当时，，
当时，，
答：当时，的长为；当时，的长为
（3）解：当时，如图，
有5个等腰三角形：、、、、，
当时，如图，有4个等腰三角形：、、、，
答：当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质证明△APE两个角是60°，然后根据SAS证明△BPE≌△ECQ；
（2）先表示AP＝AE＝t，当E在AC上时，EC＝2 t，当E在射线AC上时，EC＝t 2；
（3）当t＝1和t＝4时，图中等腰三角形的个数大于3，根据图形写出等腰三角形即可．
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