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第十三章 三角形 单元提升卷
时间：90分钟 满分:120分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能为 ( )
A.3 B.6 C.10 D.11
2.下列各组图形中，表示AD是 中BC边上的高的图形为 ( )
3.将一副三角尺按如图方式重叠、则∠1的度数为( )
A.45° B.60°
4.如图,AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为28cm,AB比AC长6cm,则△ACD的周长为 ( )
A.31cm B.25cm C.22cm D.19cm
5.下列条件:①∠A+∠B=∠C,②∠A:∠B:∠C=5:3:2,③∠A=90°-∠B,④∠A=2∠B=3∠C中,能确定 是直角三角形的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.如图,直线EF∥直线GH,在Rt△ABC中,∠C=90°,顶点A在GH上,顶点B在EF上,且BA平分∠DBE.若 ,则∠BAD的度数为 ( )
A.26° B.64° C.30° D.32°
7.下列说法正确的是 ( )
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
A.①② B.③④ C.①②③④ D.①②④
8.小明从一张三角形纸片ABC的边AC上选取一点N、将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A'处后，再将纸片沿着BA'对折一次，使得点C落在BN上的C'处.已知 则原三角形中∠C的度数为 ( )
A.87°
9.小李同学将10cm,12cm,16cm,22cm长的四根木棒首尾相接,组成一个凸四边形.若凸四边形对角线长为整数，则对角线最长为( )
A.25cm B.27cm C.28cm D.31cm
10.当三角形中一个内角β是另外一个内角α的 时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中角α称为“友好角”.如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角”α的度数为 ( )
或 B.108°或
或54°或 D.54°或 或
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
11.如图所示的图形中，所有具有稳定性的图形序号是 .
12.如图， 中， ，直尺的一边与BC平行，则
13.如图,在 中,D是BC边上的一点(不与B,C重合),点E,F是线段AD的三等分点、记 的面积为 的面积为 若 则 的面积为 .
14.已知AH为 的高、若 则 的度数为 .
15.如图,在 中， 和 的平分线交于点 得 和 的平分线交于点 得 和的平分线交于点 则
三、解答题(本大题共6小题，共60分)
16.(8分)已知a,b、c是 的三边.
(1)化简
(2)若a、b满足方程组 且c为偶数，求这个三角形的周长.
17.(8分)(湖北武汉蔡甸期中)如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向是南偏东 在M的南偏东 方向上有一点A，测量员在MN上取一点B、测得BA的方向为南偏东
(1)在B点看BM的走向是西偏北多少度
(2)求从点A处观测M、B两处时的视角. 的大小.
18.(8分)如图，某市有A、B，C、D四个居民小区、为了方便清运垃圾，要修建一个垃圾中转站P，使它到四个居民小区的距离之和PA+PB+PC+PD最小.试问P应建在何处，并说明理由.
19.(12分)如图，在 中,AD,AE分别是 的高和角平分线.
(1)若 求 的度数；
(2)写出. 与 的数量关系，并证明你的结论.
20.(12分)(1)探究:如图1,求证:
(2)应用:如图2,. 求 的度数.
21.(12分)已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB.
(1)如图1,求证:
(2)如图2, 和 的平分线DE和BE相交于点E.并且与AB、CD分别相交于点M、N、 求 的度数；
(3)如图3, 和 的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M,N, 试探究 三者之间存在的数量关系，并说明理由.
第十三章提升卷
答案速查
1—6 BDCCC 6—10DBABD 11.①②
12.75° 13.9 14.34°或74°
1. B 2. D 3. C 4. C
5. C 解析:①∵∠A+∠B=∠C,∴2∠C=180°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形;②∵∠A:∠B:∠C=5:3:2,设∠A=5x,则∠B=3x,∠C=2x,∴5x+2x+3x=180°,解得x=18°,∴∠A=90°,∴△ABC是直角三角形;③∵∠A=90°-∠B;∴∠A+∠B=90°.∴∠C=180°-90°=90°,∴△ABC是直角三角形;④∵∠A=2∠B=3∠C、 ( )°。∴△ABC为钝角三角形.综上所述，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③.共3个.
6. D
7. B解析：等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，故①错误；三角形按边可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形、故②错误；③④正确：
8. A 解析:如图,由题意得∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠2=∠3,∴∠ABC=3∠3.∵在△BCM中,∠3+∠C+∠CMB=180°,∴∠3+∠C=180°-∠CMB=180°-68°=112°. ∵在△ABC 中、∠A+∠ABC+∠G=180°,∴18°+2∠3+(∠3+∠C)=180°,∴ 18°+2∠3+112°=180°,∴∠3=25°,∴∠C=112°-
9. B 解析:如图,设AD=10cm,AB=12 em. BC=16 cm、CD=22 cm,连接AC、BD.由△ABC和△ACD,可知AC<12+16=28(cm).,AC<10+22=32(cm).∴AC<28 cm..由△ABD和△BCD,可知BD<12+10=22(cm),BD<16+22=38(cm),∴BD<22 cm.∵四边形对角线长为整数，∴对角线最长为27cm.
※10. D 解析:①若54°角是α,则“友好角”度数为54°;②若54°角是β,则 所以“友好角”α=108°;③若54°角既不是α也不是β,则α+β+54°=180°,所以 解得α=84°.综上所述, “友好角”α的度数为54°或84°或108°.
11.①(2) 12.75°
※13.9 解析:∵点E,F是线段AD的三等分点.
同理、
核心素养本题·由三角形的中线的性质，推导出边的三等分点把三角形分成面积相等的三个小三角形，考查了几何直观和推理能力.
※14.34°或74°解析:如图1,当△ABC是钝角三角形时,∵∠B=36°,∠ACH=70°,∠ACH=∠BAC+∠B,∴∠BAC=70°-36°=34°;如图2,当△ABC是锐角三角形时,∵∠B=36°,∠ACH=70°,∠BAC+∠ACH+∠B=180°,∴∠BAC=180°-70°-36°=74°.
考虑问题不周全，容易漏掉△ABC是钝角三角形的情况.
※ 解析:∵BA 平分∠ABC、CA 平分∠ACD.
同理可得，
以此类推、
16.解:(1)∵a,b,c是△ABC的三边,
∴a+c>b,b+c>a,∴a-b+c>0、a-b-c<0,
∴|a-b+c|+|a-b-c|=(a-b+c)-(a-b-c)=a-b+c-a+b+c=2c.
(2)由 解得
根据三角形的三边关系,得5-2当c=4时,三角形的三边长为2.5,4,2+4>5,能构成三角形;当c=6时,三角形的三边长为2、5,6.2+5>6，能构成三角形、.
∴这个三角形的周长为2+5+4=11或2+5+6=13.
17.解:(1)如图.
由题意可知,∠CMN=∠DBN=30°,
∴∠GBM=90°-∠CMN=90°-30°=60°,
即在B点看BM的走向是西偏北60°.
(2)∵∠GMA=56°,∠CMN=30°,
∴∠BMA=56°-30°=26°.
∵∠DBA=80°,∠DBN=30°,∴∠NBA=80°-30°=50°.
∴∠MAB=∠NBA-∠BMA=50°-26°=24°.
解题关键点：确定视角，利用平行线的性质、三角形内角和定理及其推论进行转化。
18.解：应建在AC，BD连线的交点P处.理由如下：若不建在P.处，建在P 处，如图，由三角形两边之和大于第三边，可知 P D>BD、即 P D>AC+BD=PA+PB+PC+ PD.故应建在P处.
19.解:(1)∵∠ABC=30°,∠ACB=60°,
∵AE是△ABC的角平分线,
∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°.
∵∠ACB=60°,
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=45°-30°=15°.
证明如下：
由(1)知, ∠C,
解题关键点：在三角形中求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含条件，
20.(1)证明:如图、作射线AO.
∵∠3是△ABO的外角,
∴∠1+∠B=∠3.①
∵∠4是△AOC的外角.
∴∠2+∠C=∠4.②
①+②、得∠1+∠B+∠2+∠C=∠3+∠4.即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.
(2)解:如图,连接AD.
同(1)可得、
∠F+∠2+∠3=∠DEF.③
∠I+∠4+∠C=∠ABC.④
③+④,得∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C=∠DEF+
即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=230°.
②21.(1)证明:∵△A+∠D+∠AOD=∠B+∠C+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC,∴∠A+∠D=∠B+∠C.
(2)解:∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E,∴∠ADE=∠CDE,∠ABE=∠CBE.由(1),得∠A+∠ADE=∠E+∠ABE,∠C+∠CBE=∠E+∠CDE,∵∠A+∠C=2∠E. ∵∠A=28°,∠C=32°,∴∠E=30°.
(3)解:∠A+2∠C=3∠E.理由如下:
∴∠ADE=2∠CDE、∠ABE=2∠CBE.由(1)、得∠A+∠ADE=∠E+∠ABE,∠C+∠CBE=∠E+∠CDE,
∴2∠C+2∠CBE=2∠E+2∠CDE,
∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE=3∠E+∠ABE+2∠CDE,
∴∠A+2∠C=3∠E.

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