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人教版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷三(范围:13.1-15.3)
一、选择题
1．（2025八上·慈溪期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形进行判断即可.
2．（2025八上·期中）下列各图中，作△ABC边AB上的高，正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A 选项中 AD 不是△ABC 边AB 上的高，故A选项不符合题意；
B选项中 AD 是△ABC边BC上的高，故B选项不符合题意；
C选项中 CD不是△ABC边AB上的高，故C 选项不符合题意；
D选项中CD是△ABC边AB上的高，故D 选项符合题意.
故答案为：D
【分析】根据三角形高的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．（2023八上·榆阳期末）如图，在中，，，是的外角，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：在中，可得：
又
可化为：
即：
解得：
故答案为：C．
【分析】由已知可得∠C=∠B=∠BAC-15°，从而根据三角形的内角和定理建立方程可求出∠BAC=70°，最后根据邻补角可求出∠DAC的度数.
4．（2023七上·宁阳期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：小明支起的这个点应该是三角形的重心，即三角形三边中线的交点.
故答案为：．
【分析】根据三角形的重点的性质进行判断即可.三角形的重心是三角形三边中线的交点.
5．如图是嘉嘉为参加手工比赛制作燕子风筝的骨架图，已知AC=AD，AB=AE，∠BAD=∠EAC，∠D=35°，则∠C的度数为 (　　)
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵ ∠BAD=∠EAC，
∴ ∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，即∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴∠C=∠D=35°.
故答案为：B
【分析】根据角之间的关系可得∠BAC=∠EAD，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．（2024八上·潮南月考）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此作图是作平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意；
B．此作图是作边的垂直平分线，可直接得出，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
C．此作图是作线段，可直接得出为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
D．此作图是作，可得，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意．
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，等线段，等角逐项进行判断即可求出答案.
7．如图，在△ABC中，BC 的垂直平分线分别交AC，BC 于点 D，E，连接BD，若△ABC 的周长为20，CE=4，则△ABD的周长为 （　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ BC 的垂直平分线分别交AC，BC 于点D，E，CE=4，
∴BC=2CE=8，BD=CD，
∵△ABC的周长为20，
∴8+AB+AC=20，
∴AB+AC=12，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=12.
故答案为：A
【分析】根据垂直平分线性质可得BC=2CE=8，BD=CD，再根据三角形周长即可求出答案.
8．（2024八上·雨花月考）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故答案为：B．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此得到答案.
9．（2025八上·宁海期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，②正确；
，③正确：
∴是等边三角形，④正确．
故答案为：D．
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由此可推出，利用SAS证明，利用全等三角形的性质，可对①进行判断；利用ASA证明，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②③进行判断；由此可证得是等边三角形，可对④进行判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
10．（2024八上·昆明期中）如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，，，
以此类推：的边长为，
的边长为：．
故答案为：C．
【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质、三角形外角的性质，熟知等边三角形的性质是解题关键.
根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°以及平行线的性质：内错角相等，两直线平行可得：，以及，得出，，…根据上述规律，可知：的边长为：，由此可得出答案．
二、填空题
11．（2025八上·苍南期末）已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是　 　.
【答案】6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 由题意知
（1）假设3为底边的长度。等腰三角形的两腰相等，设腰的长度为x。
∴2x + 3 = 15，解得x = 6。
∴三边长度为6、6、3，
6+6=12＞3，因此可以构成等腰三角形。
（2）假设3为腰的长度。设底边的长度为y，
∴3 + 3 + y = 15，解得y = 9
∴三边长度为3、3、9，
∵3+3=6＜9，
∴不满足三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边），因此不能构成三角形。
综上所述，等腰三角形的腰长为6。
故答案为：6.
【分析】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的三边关系。已知等腰三角形的周长和其中一边的长度，但未明确该边是底边还是腰，因此需要分情况讨论。同时，还需要考虑是否能构成三角形，即满足三角形的三边关系。
12．（2024八上·龙湾期中）一副三角板，按如图所示方式叠放在一起，则图中　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，由题意，得：，
∴；
故答案为：．
【分析】
本题是以三角板度数为背景的外角问题，根据图中条件得到，再利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和即可求解．
13．（2024八上·绍兴月考）如图，在△ABC中，，是边上的中线，若的面积为3，则的面积是　 　．
【答案】3
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵是边上的中线，
∴AD=CD，
∴，
故答案为：3．
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分可得答案．
14． 一个三角形的三边为3，5，x，另一个三角形的三边为y，3，6，如果这两个三角形全等，那么x+y=　 　.
【答案】11
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：因为两个三角形全等， 所以 x=6，y=5，则 x+y= 11。
故答案为：11
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得 x=6，y=5，则 x+y= 11。
15．（2024八上·杭州月考）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则　 　度；
（2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为　 　．
【答案】90；或
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：，，，在和中，，；，∵，，
故填：90；
（2）解：①点D在线段上，如图：
，，，
在和中，，；，
在中，，
∴，
∴，
∵，∴；
②当点D在的延长线上时，如图：
，，，
在和中，，，，
在中，，
∴，∴，
∵，∴；
③当点D在的延长线上时，如图：
同理可得，
∴，在中，，
∴，∴．
∵，∴；
综上所述α，β之间的数量关系为：或．
故答案为：
【分析】（1）根据等量代换原则，可得；根据三角形全等的判定（SAS）和性质可得；最后由进而可得；
（2）分①点D在线段上，②点D在延长线上，③点D在的延长线上，分别加以讨论，根据三角形全等的判定（SAS）和性质以及三角形内角和定理分别计算即可．
16．（2019八上·鄞州期末）如图， 中， ， ， ，点 是 上一动点，以 为边在 的右侧作等边 ， 是 的中点，连结 ，则 的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】延长BE，与AC的延长线交于点M，在BM上截取BN=BC， 如图：
根据等边三角形的性质，
得到
则 ，
是 的中点，
则
则 ≌ ，
，当点A，F，N三点在同一条直线上时， 的最小，
故答案为： .
【分析】延长BE，与AC的延长线交于点M，在BM上截取BN=BC， 如图，利用等边三角形的性质可得BD=BE，从而可得 ，根据“SAS”可证△CDF≌△NEF，可得FC=FN.当点A，F，N三点在同一条直线上时， 的最小，即是AN的长，先求出NH、AH的长，然后利用勾股定理求出AN的长即可.
三、解答题
17．在如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上．
⑴画出△ABC中BC边上的高线AD．
⑵画出△ABC中AC边，上的中线BE．
⑶△ABE的面积为 ▲
【答案】解：解：（1）（2）如图所示，
（3）4.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：（3）如图，AD=4，BC=4，
∴，
∵BE是中线，
∴.
故答案为：4.
【分析】（1）过点A作直线BC的垂线交BC延长线于点D；
（2）找AC的中点E，连接BE；
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
18．（2019八上·秀洲月考）如图：△ABC中，AC＞AB．
（1）作AB边的垂直平分线交BC于点P，作AC边的垂直平分线交BC于点Q，连接AP，AQ．(尺规作图，保留作图痕迹，不需要写作法)
（2）在(1)的条件下，若BC＝14，求△APQ的周长．
【答案】（1）解：作AB边的垂直平分线交BC于点P，作AC边的垂直平分线交BC于点Q，连接AP，AQ .
（2）解：∵AB边的垂直平分线交BC于点P，AC边的垂直平分线交BC于点Q，
∴AP=BP，AQ=CQ；
∵△APQ的周长为AP+PQ+QA=BP+PQ+CQ=BC=14.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图分别作出线段AB和线段AC的垂直平分线，连接AP，AQ即可。
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得AP=BP，AQ=CQ，再证明△APQ的周长为AP+PQ+QA=BC，代入即可求解。
19． 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=CD。完成下面说明∠B=∠C的理由的过程(填空)。
解：由AD⊥BC(已知)，
得∠ADB=　 　=Rt∠(垂直的定义)。
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC　 　。
由BD=CD (　 　)，
可知点B与点　 　重合，
所以△ABD与△ACD　 　，
即△ABD　 　△ACD(全等三角形的定义)，
所以∠B=∠C (　 　)。
【答案】∠ADC；重合；已知；C；重合；≌；全等三角形对应角相等
【知识点】三角形全等及其性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB＝∠ADC＝Rt∠（垂线的定义），
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC重合，
∵BD＝CD (已知)，
∴点B与点C重合，
∴△ABD与△ACD重合，
∴△ABD≌△ACD（全等三角形的定义），
∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：∠ADC，重合，已知，C，重合，≌，全等三角形对应角相等．
【分析】根据折叠的性质及全等三角形的性质即可解决问题．
20．（2024八上·义乌月考）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：在△ABC中，∠B=51°，∠C=63°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-51°-63°=66°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=×66°=33°.
（2）解：由（1）可知，∠BAE=33°，
∵在△ABC中，AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-51°-90°=39°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=39°-33°=6°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得∠BAC=66°，然后根据角平分线的定义可进行求解；
（2）由（1）可知，∠BAE=33°，再根据三角形的内角和定理求得∠BAD=39°，即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴．
21．（2025八上·淳安期末）如图，在中，，于点，，点在上，．
（1）求证：平分；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵平分，∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（）根据，，可以得到，然后利用AAS得到，即可得到，然后根据角平分线的判定定理解题即可；
（）先得到，即可得到，进而得到，再得到，解题即可.
（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（2025八上·宁海期中）如图，四边形中，度，E是上一点，且，
（1）与全等吗？请说明理由；
（2）求证：．
【答案】（1）．
理由如下：∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）证明：∵，∴，
∵，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用等角对等边可证得，再利用可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得，根据AB=AE+BC，代入可证得结论.
（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
23．（2024八上·拱墅期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由．
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程．
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）解：；理由如下：
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在，，且，
，
，
，
；
（2）证明：延长到，使得，连结，，如图所示：
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在中，，
；
（3）解：．理由如下：
延长到，使得，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长到，使得，连接，．利用SAS证明△BDE≌△CDH，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明，即可解决问题．
24．（2024八上·嘉兴期末）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内．
（1）如图1，若，求点C的坐标．
（2）如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．
（3）如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的2倍时，求的长．
【答案】（1）解：如图：过点C作轴于点D，
∵B（2，0），A（0，4），
∴OA=4，OB=2，
，
，
又∵，
，
在和中，
，，
∴
，.
，
∴点C的坐标为(6，2)；
（2）解：点C，D之间的距离是为定值，理由如下：
如图：
连结CD，
∵∠OBA+∠ABD=90°，∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠OBA=∠DBC.
在△OAB和△DCB中，
∴△OAB≌△DCB（SAS）.
∴DC=AO=4；
（3）解：如图：
过点C作轴于点F，由（1）可知，，
∴，.
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴.
∵，
．
∴，
．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，可利用AAS证明△AOB和△BDC全等，从而得AO=BD，OB=CD，结合OD=OB+BD即可得点C坐标；
（2）连接CD，用SAS证明△OAB和△DCB全等，即可得DC=AO=4为定值；
（3）由△AOB和△BFC全等得到BO=CF，BF=AO=4，又由BD=BO，得CF=BD，可用AAS证△CFE和△DBE全等，于是BE=EF=2，最后由△ABD的面积是△BEC的面积的2倍得到BO=BD=2BE=4，问题解决.
1 / 1人教版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷三(范围:13.1-15.3)
一、选择题
1．（2025八上·慈溪期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
2．（2025八上·期中）下列各图中，作△ABC边AB上的高，正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
3．（2023八上·榆阳期末）如图，在中，，，是的外角，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023七上·宁阳期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边高的交点 D．三边垂直平分线的交点
5．如图是嘉嘉为参加手工比赛制作燕子风筝的骨架图，已知AC=AD，AB=AE，∠BAD=∠EAC，∠D=35°，则∠C的度数为 (　　)
A．30° B．35° C．40° D．45°
6．（2024八上·潮南月考）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中，BC 的垂直平分线分别交AC，BC 于点 D，E，连接BD，若△ABC 的周长为20，CE=4，则△ABD的周长为 （　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
8．（2024八上·雨花月考）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·宁海期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024八上·昆明期中）如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
二、填空题
11．（2025八上·苍南期末）已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是　 　.
12．（2024八上·龙湾期中）一副三角板，按如图所示方式叠放在一起，则图中　 　．
13．（2024八上·绍兴月考）如图，在△ABC中，，是边上的中线，若的面积为3，则的面积是　 　．
14． 一个三角形的三边为3，5，x，另一个三角形的三边为y，3，6，如果这两个三角形全等，那么x+y=　 　.
15．（2024八上·杭州月考）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则　 　度；
（2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为　 　．
16．（2019八上·鄞州期末）如图， 中， ， ， ，点 是 上一动点，以 为边在 的右侧作等边 ， 是 的中点，连结 ，则 的最小值是　 　.
三、解答题
17．在如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上．
⑴画出△ABC中BC边上的高线AD．
⑵画出△ABC中AC边，上的中线BE．
⑶△ABE的面积为 ▲
18．（2019八上·秀洲月考）如图：△ABC中，AC＞AB．
（1）作AB边的垂直平分线交BC于点P，作AC边的垂直平分线交BC于点Q，连接AP，AQ．(尺规作图，保留作图痕迹，不需要写作法)
（2）在(1)的条件下，若BC＝14，求△APQ的周长．
19． 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=CD。完成下面说明∠B=∠C的理由的过程(填空)。
解：由AD⊥BC(已知)，
得∠ADB=　 　=Rt∠(垂直的定义)。
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC　 　。
由BD=CD (　 　)，
可知点B与点　 　重合，
所以△ABD与△ACD　 　，
即△ABD　 　△ACD(全等三角形的定义)，
所以∠B=∠C (　 　)。
20．（2024八上·义乌月考）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
21．（2025八上·淳安期末）如图，在中，，于点，，点在上，．
（1）求证：平分；
（2）求证：．
22．（2025八上·宁海期中）如图，四边形中，度，E是上一点，且，
（1）与全等吗？请说明理由；
（2）求证：．
23．（2024八上·拱墅期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由．
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程．
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
24．（2024八上·嘉兴期末）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内．
（1）如图1，若，求点C的坐标．
（2）如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．
（3）如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的2倍时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A 选项中 AD 不是△ABC 边AB 上的高，故A选项不符合题意；
B选项中 AD 是△ABC边BC上的高，故B选项不符合题意；
C选项中 CD不是△ABC边AB上的高，故C 选项不符合题意；
D选项中CD是△ABC边AB上的高，故D 选项符合题意.
故答案为：D
【分析】根据三角形高的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：在中，可得：
又
可化为：
即：
解得：
故答案为：C．
【分析】由已知可得∠C=∠B=∠BAC-15°，从而根据三角形的内角和定理建立方程可求出∠BAC=70°，最后根据邻补角可求出∠DAC的度数.
4．【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：小明支起的这个点应该是三角形的重心，即三角形三边中线的交点.
故答案为：．
【分析】根据三角形的重点的性质进行判断即可.三角形的重心是三角形三边中线的交点.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵ ∠BAD=∠EAC，
∴ ∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，即∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴∠C=∠D=35°.
故答案为：B
【分析】根据角之间的关系可得∠BAC=∠EAD，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此作图是作平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意；
B．此作图是作边的垂直平分线，可直接得出，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
C．此作图是作线段，可直接得出为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
D．此作图是作，可得，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意．
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，等线段，等角逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ BC 的垂直平分线分别交AC，BC 于点D，E，CE=4，
∴BC=2CE=8，BD=CD，
∵△ABC的周长为20，
∴8+AB+AC=20，
∴AB+AC=12，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=12.
故答案为：A
【分析】根据垂直平分线性质可得BC=2CE=8，BD=CD，再根据三角形周长即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故答案为：B．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此得到答案.
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，②正确；
，③正确：
∴是等边三角形，④正确．
故答案为：D．
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由此可推出，利用SAS证明，利用全等三角形的性质，可对①进行判断；利用ASA证明，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②③进行判断；由此可证得是等边三角形，可对④进行判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，，，
以此类推：的边长为，
的边长为：．
故答案为：C．
【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质、三角形外角的性质，熟知等边三角形的性质是解题关键.
根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°以及平行线的性质：内错角相等，两直线平行可得：，以及，得出，，…根据上述规律，可知：的边长为：，由此可得出答案．
11．【答案】6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 由题意知
（1）假设3为底边的长度。等腰三角形的两腰相等，设腰的长度为x。
∴2x + 3 = 15，解得x = 6。
∴三边长度为6、6、3，
6+6=12＞3，因此可以构成等腰三角形。
（2）假设3为腰的长度。设底边的长度为y，
∴3 + 3 + y = 15，解得y = 9
∴三边长度为3、3、9，
∵3+3=6＜9，
∴不满足三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边），因此不能构成三角形。
综上所述，等腰三角形的腰长为6。
故答案为：6.
【分析】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的三边关系。已知等腰三角形的周长和其中一边的长度，但未明确该边是底边还是腰，因此需要分情况讨论。同时，还需要考虑是否能构成三角形，即满足三角形的三边关系。
12．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，由题意，得：，
∴；
故答案为：．
【分析】
本题是以三角板度数为背景的外角问题，根据图中条件得到，再利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和即可求解．
13．【答案】3
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵是边上的中线，
∴AD=CD，
∴，
故答案为：3．
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分可得答案．
14．【答案】11
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：因为两个三角形全等， 所以 x=6，y=5，则 x+y= 11。
故答案为：11
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得 x=6，y=5，则 x+y= 11。
15．【答案】90；或
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：，，，在和中，，；，∵，，
故填：90；
（2）解：①点D在线段上，如图：
，，，
在和中，，；，
在中，，
∴，
∴，
∵，∴；
②当点D在的延长线上时，如图：
，，，
在和中，，，，
在中，，
∴，∴，
∵，∴；
③当点D在的延长线上时，如图：
同理可得，
∴，在中，，
∴，∴．
∵，∴；
综上所述α，β之间的数量关系为：或．
故答案为：
【分析】（1）根据等量代换原则，可得；根据三角形全等的判定（SAS）和性质可得；最后由进而可得；
（2）分①点D在线段上，②点D在延长线上，③点D在的延长线上，分别加以讨论，根据三角形全等的判定（SAS）和性质以及三角形内角和定理分别计算即可．
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】延长BE，与AC的延长线交于点M，在BM上截取BN=BC， 如图：
根据等边三角形的性质，
得到
则 ，
是 的中点，
则
则 ≌ ，
，当点A，F，N三点在同一条直线上时， 的最小，
故答案为： .
【分析】延长BE，与AC的延长线交于点M，在BM上截取BN=BC， 如图，利用等边三角形的性质可得BD=BE，从而可得 ，根据“SAS”可证△CDF≌△NEF，可得FC=FN.当点A，F，N三点在同一条直线上时， 的最小，即是AN的长，先求出NH、AH的长，然后利用勾股定理求出AN的长即可.
17．【答案】解：解：（1）（2）如图所示，
（3）4.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：（3）如图，AD=4，BC=4，
∴，
∵BE是中线，
∴.
故答案为：4.
【分析】（1）过点A作直线BC的垂线交BC延长线于点D；
（2）找AC的中点E，连接BE；
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
18．【答案】（1）解：作AB边的垂直平分线交BC于点P，作AC边的垂直平分线交BC于点Q，连接AP，AQ .
（2）解：∵AB边的垂直平分线交BC于点P，AC边的垂直平分线交BC于点Q，
∴AP=BP，AQ=CQ；
∵△APQ的周长为AP+PQ+QA=BP+PQ+CQ=BC=14.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图分别作出线段AB和线段AC的垂直平分线，连接AP，AQ即可。
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得AP=BP，AQ=CQ，再证明△APQ的周长为AP+PQ+QA=BC，代入即可求解。
19．【答案】∠ADC；重合；已知；C；重合；≌；全等三角形对应角相等
【知识点】三角形全等及其性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB＝∠ADC＝Rt∠（垂线的定义），
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC重合，
∵BD＝CD (已知)，
∴点B与点C重合，
∴△ABD与△ACD重合，
∴△ABD≌△ACD（全等三角形的定义），
∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：∠ADC，重合，已知，C，重合，≌，全等三角形对应角相等．
【分析】根据折叠的性质及全等三角形的性质即可解决问题．
20．【答案】（1）解：在△ABC中，∠B=51°，∠C=63°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-51°-63°=66°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=×66°=33°.
（2）解：由（1）可知，∠BAE=33°，
∵在△ABC中，AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-51°-90°=39°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=39°-33°=6°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得∠BAC=66°，然后根据角平分线的定义可进行求解；
（2）由（1）可知，∠BAE=33°，再根据三角形的内角和定理求得∠BAD=39°，即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵平分，∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（）根据，，可以得到，然后利用AAS得到，即可得到，然后根据角平分线的判定定理解题即可；
（）先得到，即可得到，进而得到，再得到，解题即可.
（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）．
理由如下：∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）证明：∵，∴，
∵，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用等角对等边可证得，再利用可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得，根据AB=AE+BC，代入可证得结论.
（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
23．【答案】（1）解：；理由如下：
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在，，且，
，
，
，
；
（2）证明：延长到，使得，连结，，如图所示：
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在中，，
；
（3）解：．理由如下：
延长到，使得，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长到，使得，连接，．利用SAS证明△BDE≌△CDH，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明，即可解决问题．
24．【答案】（1）解：如图：过点C作轴于点D，
∵B（2，0），A（0，4），
∴OA=4，OB=2，
，
，
又∵，
，
在和中，
，，
∴
，.
，
∴点C的坐标为(6，2)；
（2）解：点C，D之间的距离是为定值，理由如下：
如图：
连结CD，
∵∠OBA+∠ABD=90°，∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠OBA=∠DBC.
在△OAB和△DCB中，
∴△OAB≌△DCB（SAS）.
∴DC=AO=4；
（3）解：如图：
过点C作轴于点F，由（1）可知，，
∴，.
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴.
∵，
．
∴，
．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，可利用AAS证明△AOB和△BDC全等，从而得AO=BD，OB=CD，结合OD=OB+BD即可得点C坐标；
（2）连接CD，用SAS证明△OAB和△DCB全等，即可得DC=AO=4为定值；
（3）由△AOB和△BFC全等得到BO=CF，BF=AO=4，又由BD=BO，得CF=BD，可用AAS证△CFE和△DBE全等，于是BE=EF=2，最后由△ABD的面积是△BEC的面积的2倍得到BO=BD=2BE=4，问题解决.
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