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湖北省部分高中协作体2025—2026学年上学期9月联考
高三数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若f(x)=sin+1,则函数y=|f(x)|-1的零点为( )
A.kπ-(k∈Z) B.(k∈Z)
C.kπ-(k∈Z) D.(k∈Z)
3.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥中与平面α平行的棱有( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
4.某小区对小区内的2 000名居民进行走访调查,各年龄段男、女居民人数如下表。已知在小区的居民中随机抽取1人,抽到20岁~50岁女居民的概率是0.19。现用分层随机抽样的方法在全小区抽取200名居民,则应在50岁以上的居民中抽取的女居民人数为( )
1岁~20岁 20岁~50岁 50岁以上
女居民 370 X Y
男居民 380 370 250
A.75 B.50
C.25 D.20
5.有一根蜡烛点燃6 min后,蜡烛长为17.4 cm,点燃21 min后,蜡烛长为8.4 cm。已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)之间的关系可以用直线方程表示,则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时( )
A.25 min B.35 min
C.40 min D.45 min
6.已知点P(x,y)是椭圆=1上任意一点,则点P到直线l:y=x+5的最大距离为( )
A. B.
C.5 D.5
7.在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取该数列的项:第一次取1;第二次取2个连续的偶数2,4;第三次取3个连续的奇数5,7,9;第四次取4个连续的偶数10,12,14,16;第五次取5个连续的奇数17,19,21,23,25。按此规律取下去,得到一个数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,…,则这个数列中的第2 025个数是( )
A.3 980 B.3 982
C.3 984 D.3 986
8.如图所示,某景观湖内有四个人工小岛,为方便游客登岛观赏美景,现计划设计三座景观桥连通四个小岛,每座桥只能连通两个小岛,且每个小岛最多有两座桥连接,则设计方案的种数最多是( )
A.8 B.12
C.16 D.24
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在平面四边形ABCD中,|=1,,则( )
A.||=1 B.||
C. D.
10.函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则以下命题错误的是( )
A.-3是函数y=f(x)的极值点
B.-1是函数y=f(x)的最小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增
D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零
11.自然环境中,大气压强受到各种因素的影响。如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变,都将导致大气压强发生相应的变化,其中以海拔的影响最为显著,如图是根据一组观测数据得到的海拔6 km~15 km的大气压强散点图,根据一元线性回归模型得到经验回归方程为=-4.0x+68.5,决定系数=0.99;根据非线性回归模型得到非线性经验回归方程为=132.9e-0.163x,决定系数=0.99,则下列说法正确的是( )
A.由散点图可知,大气压强与海拔负相关
B.由方程=-4.0x+68.5可知,海拔每升高1 km,大气压强必定降低4.0 kPa
C.由方程=-4.0x+68.5可知,样本点(11,22.6)的残差为-1.9
D.对比两个回归模型,结合实际情况,方程=132.9e-0.163x的预报效果更好
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y的值为 。
13.已知复数z=,a∈R。若z为纯虚数,则a= 。
14.名参加交流会,在已选出的2名中有1名是男生的条件下,另1名是女生的概率为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设。
(1)求C;
(2)若(+1)a+2b=c,求A。
16.（本小题满分15分）
已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C。
(1)求角C的大小;
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且·()=18,求c。
17.（本小题满分15分）
已知点P(1,2),圆C:x2+y2-6y=0。
(1)若直线l过点P且在两坐标轴上截距之和等于0,求直线l的方程;
(2)设A是圆C上的动点,求(O为坐标原点)的取值范围。
18.（本小题满分16分）
已知函数f(x)=x++b(x≠0),其中a,b∈R。
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在(1,2)上为单调函数,求实数a的取值范围。
19.（本小题满分16分）
中国茶文化博大精深,饮茶深受大众喜爱。茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。某数学建模小组为了获得茶水温度y(单位:℃)关于时间x(单位:min)的回归方程模型,通过实验收集在25 ℃室温,用同一温度的水冲泡的条件下,茶水温度随时间变化的数据,并对数据做初步处理得到如图所示的散点图以及如表所示的数据。
(xi-)(yi-) (xi-)(wi-)
73.5 3.85 -95 -2.24
表中:wi=ln(yi-25),wi。
(1)根据散点图判断:①y=a+bx与②y=dcx+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类型 (给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程;
(3)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳,根据(2)中的经验回归方程,求在相同条件下,刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感。
附:①对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为,;
②参考数据:e-0.08≈0.92,e4.09≈60,ln 7≈1.9,ln 3≈1.1,ln 2≈0.7。
高三数学试题答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C C B A D B
二、选择题：
9.答案：ABD 10.答案：BD 11.答案：ACD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.答案：27 13.答案：1 14.答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
解：(1)因为,所以由正弦定理得,化简得a2+b2-c2=-ab,
所以cos C=。因为C∈(0,π),所以C=。
(2)因为(+1)a+2b=c,所以由正弦定理,得(+1)sin A+2sin B=sin C,
又C=,A+B+C=π,所以(+1)sin A+2sin,即sin。
因为016.（本小题满分15分）
解:(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0所以sin(A+B)=sin C,所以m·n=sin C。又m·n=sin 2C,所以sin 2C=sin C,得cos C=。
又因为C∈(0,π),故C=。
(2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理,得2c=a+b。因为·()=18,所以·=18,即abcos C=18,所以ab=36。由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6。
17.（本小题满分15分）
解：(1)当截距均为0,即直线过原点时,设直线l的方程为y=kx,代入P(1,2),解得k=2,故直线l的方程为2x-y=0;当截距均不为0时,设直线l的方程为=1,代入P(1,2),解得a=-1,故直线l的方程为x-y+1=0。综上所述,所求直线l的方程为2x-y=0或x-y+1=0。
(2)设A(x,y),满足x2+y2-6y=0,设s=·=x+2y。由得5y2-2(2s+3)y+s2=0,Δ=4(2s+3)2-20s2≥0,即s2-12s-9≤0,解得6-3
·的取值范围为[6-3,6+3]。
18.（本小题满分16分）
解　(1)f'(x)=1-。当a≤0时,显然f'(x)>0(x≠0),这时f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当a>0时,f'(x)=,令f'(x)=0,解得x=±,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞, -) - (-, 0) (0, ) (, +∞)
f'(x) + 0 - - 0 +
f(x) 单调 递增 b-2 单调 递减 单调 递减 2+b 单调 递增
所以f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-,0)和(0,)上单调递减。
(2)因为函数f(x)在(1,2)上为单调函数,故若f(x)在(1,2)上单调递增,则f'(x)≥0在x∈(1,2)时恒成立,所以x2-a≥0,即a≤x2在x∈(1,2)时恒成立,所以a≤1。若f(x)在(1,2)上单调递减,则f'(x)≤0在x∈(1,2)时恒成立,所以x2-a≤0,即a≥x2在x∈(1,2)时恒成立,所以a≥4。综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1]∪[4,+∞)。
19.（本小题满分16分）
解　(1)更适宜的回归方程类型为②y=dcx+25。
(2)由y=dcx+25,可得y-25=dcx,对等式两边取自然对数,得ln(y-25)=ln d+xln c,令w=ln(y-25),
则w=ln d+xln c,计算,得xi=3,=28,结合题表中数据,
可得ln c==-0.08,结合参考数据可得c=e-0.08≈0.92,
由ln d=·ln c,得ln d=4.09,结合参考数据可得d=e4.09≈60,所以该茶水温度y关于时间x的经验回归方程为=60×0.92x+25。
(3)因为在25 ℃室温下,茶水温度降至60 ℃口感最佳,所以由60=60×0.92x+25,
得0.92x=,对等式两边取自然对数,得x·ln 0.92=ln=ln 7-2ln 2-ln 3≈-0.6,
则x≈=7.5,所以在相同条件下,刚泡好的茶水大约需要放置7.5 min才能达到最佳饮用口感。

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