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三角形的基础模型—浙教版数学八年级上册解题模型
一、A字模型（截角模型）
1．（2025·宁波三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．无法比较α和的大小
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ∵∠B+∠C=180°-∠A，∠1+∠2=180°-∠A，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和求出∠B+∠C=180°-∠A，∠1+∠2=180°-∠A，再求出∠B+∠C=∠1+∠2，最后计算求解即可.
2．如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（　　）.
A．∠A=∠1+∠2 B．
C． D．D.
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；补角
【解析】【解答】解：由三角形内角和为180可得：∠B+∠C=∠AED+∠ADE=180°-∠A，
∵∠B+∠C+∠1+∠AED+∠ADE+∠2=360°，
∴化简得
故答案为：B.
【分析】根据在折叠动态变化中不变关系是∠B+∠C=∠AED+∠ADE，即可由三角形内角和为180以及平角和180得到两个等式，代换并化简得到解答即可.
3．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，将四边形ABCD沿直线 EF 折叠，若∠A=130°，∠B=110°，则∠1+∠2的度数为　 　.
【答案】120°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；飞镖模型；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，延长 EA，FB 交于点M，延长 EA'，FB'交于点 M'，
由“风筝”模型得∠1+∠2=∠M+∠M'，
由折叠的性质可知∠M=∠M'，
∴∠1+∠2=2∠M，
∵∠EAB=
∴∠MAB=180°-130°=50°，
∴∠2=2∠M=2×60°=120°.故答案为：120°.
【分析】延长 EA，FB 交于点M，延长 EA'，FB'交于点 M'，根据“风筝”模型得∠1+∠2=∠M+∠M'，求出∠FAB的度数，然后求出∠M的度数，即可解题.
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(0，2)，B(2 ，0)分别在y轴和x轴上，AC 为△ABO 的一个外角的平分线，点 D，E 分别在 AC 和 BC 上，将△CDE 沿直线 DE 折叠使得点 C 的对应点C'落在△ABC 的内部，若∠ABC =90°，则∠ADC'+∠BEC'与∠A 的关系为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；解直角三角形—边角关系；飞镖模型
【解析】【解答】解：
在 Rt△ABO中，
∵A(0，2)，B(2 ，0)，
∴OA=2，OB=
∵ AC 为 △ABO 的一个外角的平分线，
∴∠CDE+∠CED=180°-∠C=180°-30°=150°，
∴∠ADE+∠BED=360°-(∠CDE+∠CED)=210°，
∴ ∠ADC'+∠BEC'=(∠ADE+∠BED)-(∠CDE+∠CED)=210°-150°=60°=∠A，
故答案为：B.
【分析】先根据正切的定义得到∠BAO的度数，然后根据角平分线求出∠CAB的度数，然后根据三角形的内角和和外角解题即可.
二、8字模型
5．一副三角板按如图所示位置放置，其中一块三角板的直角边 EF落在另一块三角板的斜边AC上，边BC与DF交于点 G，与ED交于点 H.则∠BGD 的度数为(　　)
A．105° B．115° C．125° D．135°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；8字模型
【解析】【解答】解：∵∠DGC+∠D=∠C+∠DEC，∴∠DGC+45°=30°+90°，∴ ∠DGC = 75°，∴ ∠BGD = 180°-∠DGC =
故答案为：A.
【分析】根据收纳侥幸的内角和定理得到∠DGC+∠D=∠C+∠DEC，即可求出∠DGC的度数，然后利用邻补角的定义解答即可.
6．如图，五角星的顶点为A，B，C，D，E，连接AC，BD，CE，DA，EB，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数为　 　.
【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理；8字模型
【解析】【解答】解：如解图，连接CD，
设BD 与 CE交于点O，根据“8字”模型可得：∠B+∠E=∠OCD+∠ODC.在△ACD 中，∵∠A+∠ACD+ (三角形内角和)，∴ ∠A+∠ACE +∠OCD +∠ODC +∠ADB = ∠A +∠ACE+∠B+∠E+∠ADB=180°，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E 的度数为180°.
故答案为：180°
【分析】连接CD，设BD 与 CE交于点O，根据三角形的内角和可得∠B+∠E=∠OCD+∠ODC，然后计算 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的和解题即可.
7．（【课前课后快速检测】浙教版数学八年级上册A本第1章单元检测） 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点F在射线AD上，FE⊥BC于点E，∠C=80°，∠B=36°，则∠F=　 　°.
【答案】22
【知识点】三角形内角和定理；8字模型
【解析】【解答】解：∵∠C=80°，∠B=36° ，
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=64°，
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=32°，
∵ FE⊥BC ，
∴∠DEF=90°，
∵∠CAD+∠C+∠ADC=∠DEF+∠EDF+∠F=180°，
又∠ADC=∠EDF，
∴∠CAD+∠C=∠DEF+∠F，
∴∠F=∠CAD+∠C-∠DEF=22°，
故填：22.
【分析】根据三角形内角和定理知∠BAC，根据角平分线定义知∠CAD，再根据三角形“8字模型”得出∠F.
8．如图①，已知线段AB，CD 相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“对顶三角形”.
（1）求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
（2）如图②，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点 P，且与CD，AB 分别相交于点M，N.
①以线段AC 为边的“对顶三角形”有 ▲ 个，以点O为交点的“对顶三角形”有 ▲ 个.
②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P 的度数.
③若角平分线中角的关系改为 试探究∠P 与∠B，∠C 之间存在的数量关系，并证明理由.
【答案】（1）证明：∵∠A+∠C=180°-∠AOC，
∠B+∠D=180°-∠BOD，
∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D.
（2）解：①3，4；
②∵∠P+∠CDP=∠C+∠CAP
∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BAP
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC
∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP
∴2∠P=∠B+∠C
∵∠B=100°， ∠C=120°
∴∠P= (∠B+∠C) =110°
③3∠P=∠B+2∠C.理由如下：
设∠CAP=x，∠CDP=y，
∵
∴∠OAP=2x，∠BDP=2y，得 消去x，y，得3∠P=∠B+2∠C.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念；8字模型
【解析】【分析】（1）根据的三角形的内角和定理和对顶角的性质计算即可解答；
（2） ① 根据定义数出三角形的个数即可解答；
②根据（1）的结论得到∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，∠P+∠BAP=∠B+∠BDP利用等式的性质将两个等式相加再利用角平分线的定义计算即可得到2∠P=∠B+∠C，代入已知数据计算即可解答；
③ 设∠CAP=x，∠CDP=y，根据已知条件表示出∠OAP=2x，∠BDP=2y，再利用（1）的结论建立方程组，消去x，y即可解答.
三、飞镖模型
9．（2024七下·桃源期末）如图，已知，于点F，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：过点作，过点作，EG与GH相交于点N，如图所示，
∵，
∴，
∴，，∠AFE+∠FEK=180°，∠KEG=∠MNG.
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，∠EGH+∠GHM+∠HNG=180°，
∴∠HNG=180°－30°－20°=130°.
∴∠KEG=∠MNG=180°－130°=50°.
∵ ，
∴∠AFE=90°，
∴∠FEK=90°.
∴，
故答案为：．
【分析】过点E作EK//AB，过点H作HM//AB，EG与GH相交于点N，于是有，根据平行线的性质可得∠BFH=∠FHM，∠DGH=∠GHM，∠AFE+∠FEK=180°，∠KEG=∠MNG.代入数据计算出∠GHM，利用三角形内角和定理和邻补角定义求出∠KEG=∠MNG的度数，根据垂直的性质求的度数，即可得到答案．
10． 如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE 与 BD 的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变.为了舒适，需调整∠D的大小，使 ，则∠D应　 　(填“调大”或“调小”)　 　度.
【答案】调小；10
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；飞镖模型
【解析】【解答】解：在△ABC 中，∠ACB=180°-55°-60°=65°，∴ ∠ECD =∠ACB = 65°.
∵ ∠DFE=∠D+∠E+∠ECD(“燕尾”模型)，
∴∠D=∠DFE-(∠E+∠ECD)= 110°-(30°
故答案为：减小；10°.
【分析】先根据三角形的内角和得到∠ACB，然后根据∠DFE=∠D+∠E+∠ECD求出∠D的度数，然后比较解题即可.
11． 如图，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点 P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P 的度数为（　　）.
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念；飞镖模型；整体思想
【解析】【解答】解：设∠ABP=∠PBD=x，∠ACP=∠DCP=y，
∵ ∠A=50°，∠D=10°
∴根据飞镖模型得结论易知：∠ABC+∠A+∠D=∠ACD
∴
∴
根据飞镖模型得结论易知：∠PBD+∠P+∠D=∠PCD
∴
∴，
∴∠P=20°.
故答案为：B
【分析】设∠ABP=∠PBD=x，∠ACP=∠DCP=y，根据飞镖模型得结论得到结合已知条件计算即可解答.
12．如图，将含 30°角的直角三角板ABC 的直角∠A放入△DEF的内部，点 E，F恰好为AB，AC 的中点，若∠D =45°，∠DFE=56°，则∠DEA的度数为 (　　)
A．11° B．15° C．19° D．26°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理；飞镖模型
【解析】【解答】解：∵E，F 分别是AB，AC的中点，
∴ EF 为△ABC 的中位线，
∴EF∥BC(三角形的中位线平行于第三边)，
∴ ∠AFE = ∠C = 30°. ∠AEF=∠B=60°，
∵ ∠DFE = ∠DFA+∠AFE=56°，
∴∠DEF=180°-∠D-∠DFE=180°-45°-56°=79°，
∴ ∠DEA = ∠DEF-∠AEF=79°-60°=19°，
故答案为：19°.
【分析】根据中点得到EF∥BC，即可得到∠AFE = ∠C = 30°. ∠AEF=60°，然后根据三角形的呃逆校核求出计算∠DEF的度数，利用角的和差解题即可.
13． 如图，∠ABD，∠ACD的10等分线分别相交于点 G1，G2，…，G9，若∠BDC=125°，∠A=60°，则∠BG6C 的度数为　 　.
【答案】99°
【知识点】三角形内角和定理；飞镖模型
【解析】【解答】解：∵ ∠BDC=∠ABD+∠ACD+∠A，
同理可得∠BDC=∠BG6C+
【分析】根据题意得到 ∠BDC=∠ABD+∠ACD+∠A，利用“燕尾”模型可得规律解题即可.
14． 定义：在四边形中，仅有一个角大于180°，但小于360°，这样的四边形叫做凹四边形(如图①).因为凹四边形ABOC 形似燕尾，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“燕尾”模型.
模型应用
（1）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；(用含α的代数式表示)
（2）如图③，若∠BAC 的平分线与∠BOC 的平分线交于点 D，求证：2∠D=∠C-∠B.
【答案】（1）解：在凹四边形 ABOC 中，∠A+∠B+∠C=∠BOC=∠DOE=α，
在凹四边形 DOEF 中，∠D+∠E+∠F =∠DOE=α，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α；
（2）证明：由题意可知，OD 平分∠BOC，AD平分∠BAC，
∵在凹四边形ABOD中，∠BOD=∠B+∠D+∠BAD(“燕尾”模型)，
∴∠BOC=2∠B+2∠D+∠BAC.
又∵在凹四边形ABOC中，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC(“燕尾”模型)，
∴∠B+∠C+∠BAC=2∠B+2∠D+∠BAC，
∴2∠D=∠C-∠B.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；飞镖模型
【解析】【分析】（1）根据“燕尾”模型解答即可；
（2）根据角平分线得到，然后根据“燕尾”模型得到∠BOC=2∠B+2∠D+∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，然后整理解题即可.
四、双内角平分线模型
15．（2024八上·海曙期末）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线在中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：过点分别作于，于，于，如图所示：
∵直线，
∴，
∴点为三个内角平分线的交点，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点分别作于，于，于，得到点为三个内角平分线的交点，即可求解．
16．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，若∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC的度数为 (　　)
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：∵ BO，CO 分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=，∠OCB=，
∴∠O=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线得到∠OBC=，∠OCB=，然后利用收纳侥幸的内角和定理解题即可.
17．（2024七下·东平期末）如图①、②中，，，，则的度数为（　　）
A．111 B．174 C．153 D．132
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：①②中，∠A=42°，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵图①中：∠A+∠ABC+∠BCA=180°，∠A=42°
∴∠ABC+∠BAC=180°-42°=138°
∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴，
故∠O1=180° 69°=111°；
∵图②中，∠A=∠ACD-∠ABC，∠A=42°
∴ ∠ACD-∠ABC=42°
∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴ ∠4 ∠2=(∠ACD-∠ABC)=21°
故∠O2=∠4 ∠2=21°；
∴∠O1+∠O2=111°+21°=132°，
故答案为：D．
【分析】
图①中，根据三角形的内角和得∠ABC+∠BAC=138°、结合∠1=∠2，∠3=∠4可得，即可求出∠O1的度数；图②中利用外角性质得∠ACD-∠ABC=42° 结合∠1=∠2，∠3=∠4可得∠4 ∠2；即可导出∠O2的度数，再相加即可得答案．
18． 如图，在△ABC中， 若∠AED=35°，则∠C 的度数为　 　.
【答案】75°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：∵∠AED=35°，
∴∠AEB=180°-
，
即 解得∠C=75°.
故答案为：75°.
【分析】根据三等分角可得 ，然后根据三角形的内角和得到，解题即可.
19．（2024八上·平塘期中）问题情境：
如图1，在中，和的平分线交于点．
（1）探索发现：
若，则的度数为________；若，则的度数为________．
（2）猜想证明：
猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）拓展应用：
如图2，在中，和的平分线交于点，和的平分线交于点，直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1），
（2），理由如下：
分别平分，
，
，，
，
；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】（1）解：∵，
，
的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
，
∵，
，
的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：，；
（3）平分平分，
，
，
同理可得，，
∴．
【分析】（1）根据三角形内角和及角平分线定义即可求出答案.
（2）根据三角形内角和及角平分线定义即可求出答案.
（3）根据三角形内角和及角平分线定义即可求出答案.
（1）解：∵，
，
的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
，
∵，
，
的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：，；
（2），理由如下：
分别平分，
，
，，
，
；
（3）平分平分，
，
，
同理可得，，
∴．
五、内外角平分线模型
20． 如图，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点 E 在BC 的延长线上，∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点 D，连接AD.下列结论不正确的是（　　）.
A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：
A、∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50° 60°=70° ，故A正确；
B、∵BD平分∠ABC，∠ABC=50°，
∴∠CBO=∠ABC= X50°=25°， 根据三角形外角的性质得：
∠DOC=∠CBO+∠ACB=25°+60°=85°，故B错误；
C、∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD= X (180°-60°)=60° ，
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=120° ，
∴∠BDC=180°-25°-120°=35°， 故C正确；
D、 ∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAC=X (180°-70°)=55°， 故D正确.
故答案为B：.
【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°；再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC；逐一判断即可解答.
21．（【课前课后快速检测】浙教版数学八年级上册A本阶段测 定义、命题与证明(1.1~1.3)）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点E，EC的延长线交∠ABC的外角平分线于点D.若∠D-∠E=10°，则∠A的度数为　 　°.
【答案】80
【知识点】三角形外角的概念及性质；8字模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=，
∵CE平分∠ACG，BD平分∠CBF，
∴∠ACE=∠GCE=，∠DBF=∠DBC=，
∵∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠DBC+∠CBE=+=90°，
∴∠D+∠E=90°，
又 ∠D-∠E=10°，
∴∠D=50°，∠E=40°，
又∠A+∠ABE=∠ACE+∠E（8字模型），∠ACG=∠A+∠ABC（外角定理），
∴∠A-∠E=∠ACE-∠ABE=-=（∠ACG-∠ABC），∠A=∠ACG-∠ABC
∴∠A-∠E=∠A，
∴∠A=2∠E=80°，
故答案为：80°.
【分析】根据角平分线的定义及邻补角定义知∠EBD=90°，从而得∠D+∠E=90°，根据 ∠D-∠E=10° 知∠D=50°，∠E=40°，再根据外角定理及“8字模型”知∠A=2∠E，从而求∠A的大小.
22．（2024八上·东莞期中）如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为　 　
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】　【解答】解：∵平分，平分，
，
∵是的外角，
∴即，
∵是的外角，
∴，
.
故答案为：．
【分析】先根据角平分线性质得，在根据是的外角得，又根据是的外角得，综合计算，推理可得答案．
23． 如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点. 的平分线与 的平分线交于点 得 的平分线与 的平分线交于点 则 　 　.
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵BA1，CA1分别平分∠ABC，∠ACD，
∴∠A1CD=，∠A1BD=，
∴∠A1= ，
同理可得，
，
由此可得，
故答案为：.
【分析】根据角平分新的定义得到∠A1CD=，∠A1BD=，然后根据三角形的外角得到∠A1=，依此类推，得到规律，求出即可解题.
24．（2024八上·富裕期中）如图，的角平分线交于点，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：如图所示，延长交于点，设交于点，
∵的角平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴①②得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点，设交于点，先利用角的运算求出，，再求出，最后将代入求出即可.
25．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，的角平分线、交于点．延长至，与的延长线相交于点，且，，若的面积为6，，则线段的长度为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；邻补角；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：设，，
平分，，
，，，
，，
，
平分，
，
；
，
，
，
，
，
．
故答案为：
【分析】
由三角形的外角性质及角平分线的定义可得平分，又平分，则由平角的概念可得，则，由于，则只需求出的面积即可，此时由于与同高共底，则两三角形的面积比等于底边的比，即利用的面积及求得的面积即可．
26．（2023七下·雁峰期中）如图
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点D，BD与∠ACB的外角平分线相交于点E．
①若∠A＝80°，求∠BDC的度数；
②写出∠A与∠E之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线相交于点A2022，得∠A2022，直接写出∠A2022的度数 　 　（用含x的代数式表示）．
【答案】（1）解：①解：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝130°；
②证明：∵∠A+∠ABC＝∠ACF，∠E+∠CBE＝∠ECF，
∴∠A＝∠ACF﹣∠ABC，∠E＝∠ECF﹣∠CBE，
∵CE平分∠ACF，BE平分∠ABC，
∴∠ECF＝∠ACF，∠CBE＝∠ABC，
∴∠E＝∠ECF﹣∠CBE＝∠ACF﹣∠ABC＝（∠ACF﹣∠ABC），
∴∠E＝∠A；
（2）
【知识点】三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：（2）由（1）②可知，∠E=2∠A，
∴
同理可得，
.......
∴
【分析】（1）①由内角和及角平分线推导角度关系，不熟练的情况可以设元表示更直观得出∠A与∠BDC的关系；
②同理利用内角和推论，即外角的性质推导角度关系更为便捷，同理不熟练设元表示更为直观；
（2）在②的基础上同理推导发现角度变化规律得出结论.
六、双外角平分线模型
27．（2024八上·凉州期中）如图，的外角和的平分线交于点E，和的平分线交于点M，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴.
∵和的平分线交于点E，
∴，
∴.
∵和的平分线交于点M，
∴，
∴，
在中，，
即：.
故答案为：C．
【分析】先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换求出，最后利用三角形的内角和求出∠M的度数即可.
28． 如图，BH是∠ABC 的平分线，BD 和CD 是△ABC两个外角的平分线，延长DC 与 BH交于点 H，若∠D =60°，∠ACB = 65°，则∠HBC的度数为 (　　)
A．27.5° B．30° C．32.5° D．35°
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵ ∠D =60°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-∠D=120°，
又∵ BD 和CD 是△ABC两个外角的平分线，
∴∠CBE=2∠DBC，∠BCF=2∠BCD，
∴∠CBE+∠BCF=2(∠DBC+∠BCD)=240°，
∴∠ABC+∠ACB=360°-(∠CBE+∠BCF)=120°，
又∵ ∠ACB = 65°，
∴∠ABC=55°，
∵ BH 是∠ABC 的平分线，
∴ ∠HBC=
故答案为：A.
【分析】先根据三角形的内角和求出∠DBC+∠DCB=120°，然后根据角平分线得到∠CBE+∠BCF=240°，利用邻补角求出∠ABC+∠ACB=120°，即可求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义解答即可.
29．（2023七下·泌阳期末）在中，，的平分线交于点O，外角平分线所在的直线的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是　 　．（填写所有正确结论的序号）
①；②；③；④．
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵，的平分线交于点O，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∵平分，
∴，
∵，
∴；故②正确，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴．故④正确，
综上正确的有：①②④．
【分析】因为CD是的角平分线，BD是的角平分线，所以，根据三角形内角和定理，可得，故①正确；由角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④．据此即可求解
30．（2024八上·越秀期末）如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和BC的延长线于点E和F．给出以下结论：①ED＝DF；②AE+CF＝EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB+∠CDF＝90°．其中正确的是 　 　．
【答案】②③④
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线 ，交点是D，∴BD平分∠ABC ，
∵EF∥AC ，∴∠CAD=∠EDA，并且∠EAD=∠EDA，∴∠CAD=∠EDA=∠EAD，即EA=ED，
同理可得CF=DF，因此AE+CF=DE+DF＝EF；
由于∠ABD = ∠CBD，所以∠ADB = ∠EAD - ∠ABD。
由于∠ACD + ∠FCD = ∠ABC + ∠BAC，∴2∠FCD = 2∠ABD + 180° - 2∠EAD，
因此∠CDF = ∠ABD + 90° - ∠EAD。
∴∠ADB + ∠CDF = ∠EAD - ∠ABD + ∠ABD + 90° - ∠EAD = 90°。
综上只有②③④正确。
故答案为：②③④．
【分析】本题可以利用三角形外角平分线的性质以及平行线的性质特点，可以优先得出②③结论的正确，然后利用这两个结论并且配合角度推导，可以得出④也是正确的。结论①无法通过一直条件得出。
1 / 1三角形的基础模型—浙教版数学八年级上册解题模型
一、A字模型（截角模型）
1．（2025·宁波三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．无法比较α和的大小
2．如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（　　）.
A．∠A=∠1+∠2 B．
C． D．D.
3．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，将四边形ABCD沿直线 EF 折叠，若∠A=130°，∠B=110°，则∠1+∠2的度数为　 　.
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(0，2)，B(2 ，0)分别在y轴和x轴上，AC 为△ABO 的一个外角的平分线，点 D，E 分别在 AC 和 BC 上，将△CDE 沿直线 DE 折叠使得点 C 的对应点C'落在△ABC 的内部，若∠ABC =90°，则∠ADC'+∠BEC'与∠A 的关系为 (　　)
A． B．
C． D．
二、8字模型
5．一副三角板按如图所示位置放置，其中一块三角板的直角边 EF落在另一块三角板的斜边AC上，边BC与DF交于点 G，与ED交于点 H.则∠BGD 的度数为(　　)
A．105° B．115° C．125° D．135°
6．如图，五角星的顶点为A，B，C，D，E，连接AC，BD，CE，DA，EB，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数为　 　.
7．（【课前课后快速检测】浙教版数学八年级上册A本第1章单元检测） 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点F在射线AD上，FE⊥BC于点E，∠C=80°，∠B=36°，则∠F=　 　°.
8．如图①，已知线段AB，CD 相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“对顶三角形”.
（1）求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
（2）如图②，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点 P，且与CD，AB 分别相交于点M，N.
①以线段AC 为边的“对顶三角形”有 ▲ 个，以点O为交点的“对顶三角形”有 ▲ 个.
②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P 的度数.
③若角平分线中角的关系改为 试探究∠P 与∠B，∠C 之间存在的数量关系，并证明理由.
三、飞镖模型
9．（2024七下·桃源期末）如图，已知，于点F，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10． 如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE 与 BD 的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变.为了舒适，需调整∠D的大小，使 ，则∠D应　 　(填“调大”或“调小”)　 　度.
11． 如图，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点 P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P 的度数为（　　）.
A．15° B．20° C．25° D．30°
12．如图，将含 30°角的直角三角板ABC 的直角∠A放入△DEF的内部，点 E，F恰好为AB，AC 的中点，若∠D =45°，∠DFE=56°，则∠DEA的度数为 (　　)
A．11° B．15° C．19° D．26°
13． 如图，∠ABD，∠ACD的10等分线分别相交于点 G1，G2，…，G9，若∠BDC=125°，∠A=60°，则∠BG6C 的度数为　 　.
14． 定义：在四边形中，仅有一个角大于180°，但小于360°，这样的四边形叫做凹四边形(如图①).因为凹四边形ABOC 形似燕尾，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“燕尾”模型.
模型应用
（1）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；(用含α的代数式表示)
（2）如图③，若∠BAC 的平分线与∠BOC 的平分线交于点 D，求证：2∠D=∠C-∠B.
四、双内角平分线模型
15．（2024八上·海曙期末）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线在中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
16．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，若∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC的度数为 (　　)
A．100° B．110° C．120° D．130°
17．（2024七下·东平期末）如图①、②中，，，，则的度数为（　　）
A．111 B．174 C．153 D．132
18． 如图，在△ABC中， 若∠AED=35°，则∠C 的度数为　 　.
19．（2024八上·平塘期中）问题情境：
如图1，在中，和的平分线交于点．
（1）探索发现：
若，则的度数为________；若，则的度数为________．
（2）猜想证明：
猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）拓展应用：
如图2，在中，和的平分线交于点，和的平分线交于点，直接写出与之间的数量关系．
五、内外角平分线模型
20． 如图，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点 E 在BC 的延长线上，∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点 D，连接AD.下列结论不正确的是（　　）.
A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．
21．（【课前课后快速检测】浙教版数学八年级上册A本阶段测 定义、命题与证明(1.1~1.3)）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点E，EC的延长线交∠ABC的外角平分线于点D.若∠D-∠E=10°，则∠A的度数为　 　°.
22．（2024八上·东莞期中）如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为　 　
23． 如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点. 的平分线与 的平分线交于点 得 的平分线与 的平分线交于点 则 　 　.
24．（2024八上·富裕期中）如图，的角平分线交于点，若，则的度数为　 　．
25．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，的角平分线、交于点．延长至，与的延长线相交于点，且，，若的面积为6，，则线段的长度为　 　．
26．（2023七下·雁峰期中）如图
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点D，BD与∠ACB的外角平分线相交于点E．
①若∠A＝80°，求∠BDC的度数；
②写出∠A与∠E之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线相交于点A2022，得∠A2022，直接写出∠A2022的度数 　 　（用含x的代数式表示）．
六、双外角平分线模型
27．（2024八上·凉州期中）如图，的外角和的平分线交于点E，和的平分线交于点M，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
28． 如图，BH是∠ABC 的平分线，BD 和CD 是△ABC两个外角的平分线，延长DC 与 BH交于点 H，若∠D =60°，∠ACB = 65°，则∠HBC的度数为 (　　)
A．27.5° B．30° C．32.5° D．35°
29．（2023七下·泌阳期末）在中，，的平分线交于点O，外角平分线所在的直线的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是　 　．（填写所有正确结论的序号）
①；②；③；④．
30．（2024八上·越秀期末）如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和BC的延长线于点E和F．给出以下结论：①ED＝DF；②AE+CF＝EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB+∠CDF＝90°．其中正确的是 　 　．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ∵∠B+∠C=180°-∠A，∠1+∠2=180°-∠A，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和求出∠B+∠C=180°-∠A，∠1+∠2=180°-∠A，再求出∠B+∠C=∠1+∠2，最后计算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；补角
【解析】【解答】解：由三角形内角和为180可得：∠B+∠C=∠AED+∠ADE=180°-∠A，
∵∠B+∠C+∠1+∠AED+∠ADE+∠2=360°，
∴化简得
故答案为：B.
【分析】根据在折叠动态变化中不变关系是∠B+∠C=∠AED+∠ADE，即可由三角形内角和为180以及平角和180得到两个等式，代换并化简得到解答即可.
3．【答案】120°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；飞镖模型；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，延长 EA，FB 交于点M，延长 EA'，FB'交于点 M'，
由“风筝”模型得∠1+∠2=∠M+∠M'，
由折叠的性质可知∠M=∠M'，
∴∠1+∠2=2∠M，
∵∠EAB=
∴∠MAB=180°-130°=50°，
∴∠2=2∠M=2×60°=120°.故答案为：120°.
【分析】延长 EA，FB 交于点M，延长 EA'，FB'交于点 M'，根据“风筝”模型得∠1+∠2=∠M+∠M'，求出∠FAB的度数，然后求出∠M的度数，即可解题.
4．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；解直角三角形—边角关系；飞镖模型
【解析】【解答】解：
在 Rt△ABO中，
∵A(0，2)，B(2 ，0)，
∴OA=2，OB=
∵ AC 为 △ABO 的一个外角的平分线，
∴∠CDE+∠CED=180°-∠C=180°-30°=150°，
∴∠ADE+∠BED=360°-(∠CDE+∠CED)=210°，
∴ ∠ADC'+∠BEC'=(∠ADE+∠BED)-(∠CDE+∠CED)=210°-150°=60°=∠A，
故答案为：B.
【分析】先根据正切的定义得到∠BAO的度数，然后根据角平分线求出∠CAB的度数，然后根据三角形的内角和和外角解题即可.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；8字模型
【解析】【解答】解：∵∠DGC+∠D=∠C+∠DEC，∴∠DGC+45°=30°+90°，∴ ∠DGC = 75°，∴ ∠BGD = 180°-∠DGC =
故答案为：A.
【分析】根据收纳侥幸的内角和定理得到∠DGC+∠D=∠C+∠DEC，即可求出∠DGC的度数，然后利用邻补角的定义解答即可.
6．【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理；8字模型
【解析】【解答】解：如解图，连接CD，
设BD 与 CE交于点O，根据“8字”模型可得：∠B+∠E=∠OCD+∠ODC.在△ACD 中，∵∠A+∠ACD+ (三角形内角和)，∴ ∠A+∠ACE +∠OCD +∠ODC +∠ADB = ∠A +∠ACE+∠B+∠E+∠ADB=180°，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E 的度数为180°.
故答案为：180°
【分析】连接CD，设BD 与 CE交于点O，根据三角形的内角和可得∠B+∠E=∠OCD+∠ODC，然后计算 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的和解题即可.
7．【答案】22
【知识点】三角形内角和定理；8字模型
【解析】【解答】解：∵∠C=80°，∠B=36° ，
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=64°，
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=32°，
∵ FE⊥BC ，
∴∠DEF=90°，
∵∠CAD+∠C+∠ADC=∠DEF+∠EDF+∠F=180°，
又∠ADC=∠EDF，
∴∠CAD+∠C=∠DEF+∠F，
∴∠F=∠CAD+∠C-∠DEF=22°，
故填：22.
【分析】根据三角形内角和定理知∠BAC，根据角平分线定义知∠CAD，再根据三角形“8字模型”得出∠F.
8．【答案】（1）证明：∵∠A+∠C=180°-∠AOC，
∠B+∠D=180°-∠BOD，
∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D.
（2）解：①3，4；
②∵∠P+∠CDP=∠C+∠CAP
∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BAP
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC
∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP
∴2∠P=∠B+∠C
∵∠B=100°， ∠C=120°
∴∠P= (∠B+∠C) =110°
③3∠P=∠B+2∠C.理由如下：
设∠CAP=x，∠CDP=y，
∵
∴∠OAP=2x，∠BDP=2y，得 消去x，y，得3∠P=∠B+2∠C.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念；8字模型
【解析】【分析】（1）根据的三角形的内角和定理和对顶角的性质计算即可解答；
（2） ① 根据定义数出三角形的个数即可解答；
②根据（1）的结论得到∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，∠P+∠BAP=∠B+∠BDP利用等式的性质将两个等式相加再利用角平分线的定义计算即可得到2∠P=∠B+∠C，代入已知数据计算即可解答；
③ 设∠CAP=x，∠CDP=y，根据已知条件表示出∠OAP=2x，∠BDP=2y，再利用（1）的结论建立方程组，消去x，y即可解答.
9．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：过点作，过点作，EG与GH相交于点N，如图所示，
∵，
∴，
∴，，∠AFE+∠FEK=180°，∠KEG=∠MNG.
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，∠EGH+∠GHM+∠HNG=180°，
∴∠HNG=180°－30°－20°=130°.
∴∠KEG=∠MNG=180°－130°=50°.
∵ ，
∴∠AFE=90°，
∴∠FEK=90°.
∴，
故答案为：．
【分析】过点E作EK//AB，过点H作HM//AB，EG与GH相交于点N，于是有，根据平行线的性质可得∠BFH=∠FHM，∠DGH=∠GHM，∠AFE+∠FEK=180°，∠KEG=∠MNG.代入数据计算出∠GHM，利用三角形内角和定理和邻补角定义求出∠KEG=∠MNG的度数，根据垂直的性质求的度数，即可得到答案．
10．【答案】调小；10
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；飞镖模型
【解析】【解答】解：在△ABC 中，∠ACB=180°-55°-60°=65°，∴ ∠ECD =∠ACB = 65°.
∵ ∠DFE=∠D+∠E+∠ECD(“燕尾”模型)，
∴∠D=∠DFE-(∠E+∠ECD)= 110°-(30°
故答案为：减小；10°.
【分析】先根据三角形的内角和得到∠ACB，然后根据∠DFE=∠D+∠E+∠ECD求出∠D的度数，然后比较解题即可.
11．【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念；飞镖模型；整体思想
【解析】【解答】解：设∠ABP=∠PBD=x，∠ACP=∠DCP=y，
∵ ∠A=50°，∠D=10°
∴根据飞镖模型得结论易知：∠ABC+∠A+∠D=∠ACD
∴
∴
根据飞镖模型得结论易知：∠PBD+∠P+∠D=∠PCD
∴
∴，
∴∠P=20°.
故答案为：B
【分析】设∠ABP=∠PBD=x，∠ACP=∠DCP=y，根据飞镖模型得结论得到结合已知条件计算即可解答.
12．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理；飞镖模型
【解析】【解答】解：∵E，F 分别是AB，AC的中点，
∴ EF 为△ABC 的中位线，
∴EF∥BC(三角形的中位线平行于第三边)，
∴ ∠AFE = ∠C = 30°. ∠AEF=∠B=60°，
∵ ∠DFE = ∠DFA+∠AFE=56°，
∴∠DEF=180°-∠D-∠DFE=180°-45°-56°=79°，
∴ ∠DEA = ∠DEF-∠AEF=79°-60°=19°，
故答案为：19°.
【分析】根据中点得到EF∥BC，即可得到∠AFE = ∠C = 30°. ∠AEF=60°，然后根据三角形的呃逆校核求出计算∠DEF的度数，利用角的和差解题即可.
13．【答案】99°
【知识点】三角形内角和定理；飞镖模型
【解析】【解答】解：∵ ∠BDC=∠ABD+∠ACD+∠A，
同理可得∠BDC=∠BG6C+
【分析】根据题意得到 ∠BDC=∠ABD+∠ACD+∠A，利用“燕尾”模型可得规律解题即可.
14．【答案】（1）解：在凹四边形 ABOC 中，∠A+∠B+∠C=∠BOC=∠DOE=α，
在凹四边形 DOEF 中，∠D+∠E+∠F =∠DOE=α，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α；
（2）证明：由题意可知，OD 平分∠BOC，AD平分∠BAC，
∵在凹四边形ABOD中，∠BOD=∠B+∠D+∠BAD(“燕尾”模型)，
∴∠BOC=2∠B+2∠D+∠BAC.
又∵在凹四边形ABOC中，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC(“燕尾”模型)，
∴∠B+∠C+∠BAC=2∠B+2∠D+∠BAC，
∴2∠D=∠C-∠B.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；飞镖模型
【解析】【分析】（1）根据“燕尾”模型解答即可；
（2）根据角平分线得到，然后根据“燕尾”模型得到∠BOC=2∠B+2∠D+∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，然后整理解题即可.
15．【答案】C
【知识点】三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：过点分别作于，于，于，如图所示：
∵直线，
∴，
∴点为三个内角平分线的交点，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点分别作于，于，于，得到点为三个内角平分线的交点，即可求解．
16．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：∵ BO，CO 分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=，∠OCB=，
∴∠O=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线得到∠OBC=，∠OCB=，然后利用收纳侥幸的内角和定理解题即可.
17．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：①②中，∠A=42°，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵图①中：∠A+∠ABC+∠BCA=180°，∠A=42°
∴∠ABC+∠BAC=180°-42°=138°
∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴，
故∠O1=180° 69°=111°；
∵图②中，∠A=∠ACD-∠ABC，∠A=42°
∴ ∠ACD-∠ABC=42°
∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴ ∠4 ∠2=(∠ACD-∠ABC)=21°
故∠O2=∠4 ∠2=21°；
∴∠O1+∠O2=111°+21°=132°，
故答案为：D．
【分析】
图①中，根据三角形的内角和得∠ABC+∠BAC=138°、结合∠1=∠2，∠3=∠4可得，即可求出∠O1的度数；图②中利用外角性质得∠ACD-∠ABC=42° 结合∠1=∠2，∠3=∠4可得∠4 ∠2；即可导出∠O2的度数，再相加即可得答案．
18．【答案】75°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：∵∠AED=35°，
∴∠AEB=180°-
，
即 解得∠C=75°.
故答案为：75°.
【分析】根据三等分角可得 ，然后根据三角形的内角和得到，解题即可.
19．【答案】（1），
（2），理由如下：
分别平分，
，
，，
，
；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】（1）解：∵，
，
的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
，
∵，
，
的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：，；
（3）平分平分，
，
，
同理可得，，
∴．
【分析】（1）根据三角形内角和及角平分线定义即可求出答案.
（2）根据三角形内角和及角平分线定义即可求出答案.
（3）根据三角形内角和及角平分线定义即可求出答案.
（1）解：∵，
，
的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
，
∵，
，
的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：，；
（2），理由如下：
分别平分，
，
，，
，
；
（3）平分平分，
，
，
同理可得，，
∴．
20．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：
A、∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50° 60°=70° ，故A正确；
B、∵BD平分∠ABC，∠ABC=50°，
∴∠CBO=∠ABC= X50°=25°， 根据三角形外角的性质得：
∠DOC=∠CBO+∠ACB=25°+60°=85°，故B错误；
C、∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD= X (180°-60°)=60° ，
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=120° ，
∴∠BDC=180°-25°-120°=35°， 故C正确；
D、 ∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAC=X (180°-70°)=55°， 故D正确.
故答案为B：.
【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°；再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC；逐一判断即可解答.
21．【答案】80
【知识点】三角形外角的概念及性质；8字模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=，
∵CE平分∠ACG，BD平分∠CBF，
∴∠ACE=∠GCE=，∠DBF=∠DBC=，
∵∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠DBC+∠CBE=+=90°，
∴∠D+∠E=90°，
又 ∠D-∠E=10°，
∴∠D=50°，∠E=40°，
又∠A+∠ABE=∠ACE+∠E（8字模型），∠ACG=∠A+∠ABC（外角定理），
∴∠A-∠E=∠ACE-∠ABE=-=（∠ACG-∠ABC），∠A=∠ACG-∠ABC
∴∠A-∠E=∠A，
∴∠A=2∠E=80°，
故答案为：80°.
【分析】根据角平分线的定义及邻补角定义知∠EBD=90°，从而得∠D+∠E=90°，根据 ∠D-∠E=10° 知∠D=50°，∠E=40°，再根据外角定理及“8字模型”知∠A=2∠E，从而求∠A的大小.
22．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】　【解答】解：∵平分，平分，
，
∵是的外角，
∴即，
∵是的外角，
∴，
.
故答案为：．
【分析】先根据角平分线性质得，在根据是的外角得，又根据是的外角得，综合计算，推理可得答案．
23．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵BA1，CA1分别平分∠ABC，∠ACD，
∴∠A1CD=，∠A1BD=，
∴∠A1= ，
同理可得，
，
由此可得，
故答案为：.
【分析】根据角平分新的定义得到∠A1CD=，∠A1BD=，然后根据三角形的外角得到∠A1=，依此类推，得到规律，求出即可解题.
24．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：如图所示，延长交于点，设交于点，
∵的角平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴①②得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点，设交于点，先利用角的运算求出，，再求出，最后将代入求出即可.
25．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；邻补角；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：设，，
平分，，
，，，
，，
，
平分，
，
；
，
，
，
，
，
．
故答案为：
【分析】
由三角形的外角性质及角平分线的定义可得平分，又平分，则由平角的概念可得，则，由于，则只需求出的面积即可，此时由于与同高共底，则两三角形的面积比等于底边的比，即利用的面积及求得的面积即可．
26．【答案】（1）解：①解：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝130°；
②证明：∵∠A+∠ABC＝∠ACF，∠E+∠CBE＝∠ECF，
∴∠A＝∠ACF﹣∠ABC，∠E＝∠ECF﹣∠CBE，
∵CE平分∠ACF，BE平分∠ABC，
∴∠ECF＝∠ACF，∠CBE＝∠ABC，
∴∠E＝∠ECF﹣∠CBE＝∠ACF﹣∠ABC＝（∠ACF﹣∠ABC），
∴∠E＝∠A；
（2）
【知识点】三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：（2）由（1）②可知，∠E=2∠A，
∴
同理可得，
.......
∴
【分析】（1）①由内角和及角平分线推导角度关系，不熟练的情况可以设元表示更直观得出∠A与∠BDC的关系；
②同理利用内角和推论，即外角的性质推导角度关系更为便捷，同理不熟练设元表示更为直观；
（2）在②的基础上同理推导发现角度变化规律得出结论.
27．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴.
∵和的平分线交于点E，
∴，
∴.
∵和的平分线交于点M，
∴，
∴，
在中，，
即：.
故答案为：C．
【分析】先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换求出，最后利用三角形的内角和求出∠M的度数即可.
28．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵ ∠D =60°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-∠D=120°，
又∵ BD 和CD 是△ABC两个外角的平分线，
∴∠CBE=2∠DBC，∠BCF=2∠BCD，
∴∠CBE+∠BCF=2(∠DBC+∠BCD)=240°，
∴∠ABC+∠ACB=360°-(∠CBE+∠BCF)=120°，
又∵ ∠ACB = 65°，
∴∠ABC=55°，
∵ BH 是∠ABC 的平分线，
∴ ∠HBC=
故答案为：A.
【分析】先根据三角形的内角和求出∠DBC+∠DCB=120°，然后根据角平分线得到∠CBE+∠BCF=240°，利用邻补角求出∠ABC+∠ACB=120°，即可求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义解答即可.
29．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵，的平分线交于点O，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∵平分，
∴，
∵，
∴；故②正确，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴．故④正确，
综上正确的有：①②④．
【分析】因为CD是的角平分线，BD是的角平分线，所以，根据三角形内角和定理，可得，故①正确；由角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④．据此即可求解
30．【答案】②③④
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线 ，交点是D，∴BD平分∠ABC ，
∵EF∥AC ，∴∠CAD=∠EDA，并且∠EAD=∠EDA，∴∠CAD=∠EDA=∠EAD，即EA=ED，
同理可得CF=DF，因此AE+CF=DE+DF＝EF；
由于∠ABD = ∠CBD，所以∠ADB = ∠EAD - ∠ABD。
由于∠ACD + ∠FCD = ∠ABC + ∠BAC，∴2∠FCD = 2∠ABD + 180° - 2∠EAD，
因此∠CDF = ∠ABD + 90° - ∠EAD。
∴∠ADB + ∠CDF = ∠EAD - ∠ABD + ∠ABD + 90° - ∠EAD = 90°。
综上只有②③④正确。
故答案为：②③④．
【分析】本题可以利用三角形外角平分线的性质以及平行线的性质特点，可以优先得出②③结论的正确，然后利用这两个结论并且配合角度推导，可以得出④也是正确的。结论①无法通过一直条件得出。
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