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3.3《 垂径定理》（2）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2024九上·杭州月考）下列命题正确的是（　　）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
2．（2023九上·房县期末）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·鄞州月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2024九上·蒙自期中）如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023九上·路桥月考）如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·广州期末）如图，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度为　 　．
7．（2017九上·襄城期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=6，则BE=　 　.
8．（2024九上·珠海期中）如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径．
9．（2024九上·前郭尔罗斯期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．
二、能力提升
10．（2024九上·岳麓月考）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找到圆心，则最少使用的次数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，M，N分别为和的中点，0M，ON分别交AB，AC于点E，F，则∠MON的度数为(　　)
A．110° B．120 C．130° D．100°
13．（2024九上·长沙月考）如图，石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，那么桥拱所在圆的半径OA＝　 　m．
14．（2024九上·自贡期末）一条排水管横截面如图所示，已知排水管半径，水面宽，若管内水面下降，则此时水面宽等于　 　m．
15．已知：如图，在⊙O中，．求证：弦AB∥CD．
16．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，M，N分别为，的中点，MN分别交AB，AC于点E，F．判断△AEF的形状并给予证明．
17．（2023九上·黄梅期中）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点）1米处将竖立支撑杆，求支撑杆的高度．
三、综合拓展
18．（2024九上·惠东期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米．
（1）求该圆的半径．
（2）若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？
19．（2024九上·杭州期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米．
（1）如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式；
（2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
（3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂径定理；真命题与假命题；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意；
B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意；
D、平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
2．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴，
∵的直径为，
∴，
在中，，
∴，
即水的最大深度为，
故答案为：C．
【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂直弦的直径平分弦求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而根据CD=OC-OD得出的长即可．
3．【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【分析】利用垂径定理知第①块可确定半径的大小解题即可．
4．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：是的直径，为弦，于点E，
，，
B、D选项结论成立，不符合题意；
，
，
A选项结论成立，不符合题意；
无法判断，
C选项结论不成立，符合题意，
故答案为：C
【分析】根据垂径定理逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OA，如下图
由题意可知，
∵
∴是直角三角形；
∴由勾股定理可得：，
由垂径定理可知
故答案为：B.
【分析】先根据勾股定理求出AE，再由垂径定理可得AB.
6．【答案】4m
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，，，
∴，
故答案是：．
【分析】先根据题意得到，， 再根据垂径定理结合勾股定理得到，，，从而即可求解。
7．【答案】1
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】连接OC，如图，
∵弦CD⊥AB，
在Rt△OCE中，∵OC=5，CE=3，
故答案为：1.
【分析】根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，可得CE=DE，在Rt△OCE中用勾股定理求解。
8．【答案】解：连接CO，如图：
∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O，
∴EM⊥CD，且．
在Rt△OCM中，令⊙O的半径为r m，EM=6m，
∵OC2＝OM2＋CM2，
∴，
解得：．
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】连接CO，利用垂径定理可得EM⊥CD，且再令⊙O的半径为r m，利用勾股定理建立方程，求解半径即可得到答案.
9．【答案】解：如图，连接，
设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为，
根据题意，得，，
根据勾股定理，得，
解得，
答：该门洞的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】连接，设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为，根据垂径定理得到，再用勾股定理建立方程计算即可求解．
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵是线段的垂直平分线，
∴直线CD经过圆心，设圆心为O，连接OB，如图所示：
中，，
∵，CD=10cm，
∴，
解得：；
故轮子的半径为，
故答案为：C．
【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中利用勾股定理，可得，利用OD=OB－10，即可求出OB的长，答案可得．
11．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，
根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理的推论可得，MN所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心.
12．【答案】C
【知识点】垂径定理的推论
【解析】【解答】解：∵M、N分别为 AB和AC的中点，
∴OF⊥AC，OE⊥AB，
∴∠OFA=∠OEA=90°，
∴∠MON=360°-∠OFA-∠OEA-∠A=360°-90°-90°-50°=130°.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理的推论，得出OM⊥AB，ON⊥AC，在四边形OEAF中利用四边形的内角和定理即可求解.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴OC=AD=8
∴
∴
故答案为：
【分析】根据垂径定理可得AD=8，OD=4，再根据勾股定理即可求出答案.
14．【答案】1.2
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，连接，作于，交于，则，
由垂径定理得，，，
由勾股定理得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
【分析】连接OC，作OF⊥AB于F，交CD于E，根据垂径定理和勾股定理求解。
15．【答案】证明：过点O作OE⊥AB，交⊙O于点E，
∴
∵．
∴，
∴OE⊥CD，
∴AB∥CD．
【知识点】平行线的判定与性质；垂径定理的推论
【解析】【分析】要证两条线平行，一种思路是证明出两条线分别垂直于同一线段（或同一直线）即可. 由于AB、CD均为⊙O的两条弦，因此过点O作OE⊥AB，交⊙O于点E，利用垂径定理的推论，得到OE与CD互相垂直，因此即证明AB∥CD.
16．【答案】解：△AEF是等腰三角形．
证明：如图，连结OM，ON，分别交AB，AC于点P，Q．
∵M，N分别为，的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠MPE=∠NQF=90°，
∴∠PEM=90°-∠M，∠QFN=90°-∠N．
∵OM=ON，∴∠M=∠N，
∴∠PEM=∠QFN．
又∵∠AEF=∠PEM，∠AFE=∠QFN，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形．
【知识点】对顶角及其性质；垂径定理的推论
【解析】【分析】从题目中的有限的条件出发，要判断△AEF的形状，就要通过角的关系来判断. 已知M、N为，的中点，则可以连接OM、ON，根据垂径定理的推论，可知∠MPE=∠NQF=90°，那么∠PEM即等于90°-∠M，同理，∠QFN=90°-∠N，而在圆O中，明显可知∠M=∠N，即∠PEM=∠QFN，然后由于∠PEM、∠QFN分别为∠AEF、∠AFE的对顶角，由此可知在△AEF中，有两个角相等，∠AEF=∠AFE，判断为等腰三角形.
17．【答案】（1）解：垂直平分，
圆心在的延长线上．
设的半径为米，则米．
，
（米）．
在中，
由勾股定理得：，
即，
解得．
即该圆弧所在圆的半径为5米.
（2）解：过点作于点，连接，如图所示：
，
．
∵，
∴四边形为矩形，
，
在中，．
，
．
．
即支撑杆的高度为1米．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）设的半径为米，则米，先利用垂径定理求出CA的长，再利用勾股定理可得，即，再求出r的值即可；
（2）过点作于点，连接，先利用矩形的性质求出，，再利用勾股定理求出OH的长，最后利用线段的和差求出即可．
（1）垂直平分，
圆心在的延长线上．
设的半径为米，则米．
，
（米）．
在中，
由勾股定理得：，
即，
解得．
即该圆弧所在圆的半径为5米；
（2）过点作于点，连接．
，
．
∵，
∴四边形为矩形，
，
在中，．
，
．
．
即支撑杆的高度为1米．
18．【答案】（1）解：如图所示，
过作于点，交于点，则，
∴（米）
设圆的半径为r米，则米，（米），
在中，，
即，
解得，
∴该圆的半径为5米；
（2）解：如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，
∴（米），
∵的半径为5米，
∴米
∴在中，（米），
∴（米），
∴水面下盛水桶的最大深度为（米）．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）过作于点，交于点，则，，求出AC，设圆的半径为r米，则米，（米），再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设水面下降至，过点O作于点，交于点，求出A'C'，再根据勾股定理可得OC'，再根据边之间的关秀即可求出答案.
（1）解：如图所示，
过作于点，交于点，则，
∴（米）
设圆的半径为r米，则米，（米），
在中，，
即，
解得，
∴该圆的半径为5米；
（2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，
∴（米），
∵的半径为5米，
∴米
∴在中，（米），
∴（米），
∴水面下盛水桶的最大深度为（米）．
19．【答案】（1）解：根据题意，得，，
，，，
设抛物线的表达式为，
将代入表达式，得，
解得：，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，设圆心为，连接交于点，连接，
，，
，
，
，
在中，有，
，
解得：，
∴该圆弧所在圆的半径为12.5米；
（3）解：①若设计成抛物线型时，当时，，
米米，
货船不能顺利通过该桥；
②若设计成圆弧型时，如图，设，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，
，
在中，有，
，
，
，
，
米米，
货船能顺利通过该桥．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；垂径定理的实际应用；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到点的坐标，然后利用待定系数法进行求解；
（2）设圆心为，连接交于点，连接，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理列方程求出的值即可；
（3）①若设计成抛物线型时，将代入函数解析式得，由米米，可知货船不能顺利通过该桥；
②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，利用勾股定理求出，可得，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥．
（1）解：，
，，
，
，
设抛物线的解析式为，
，
解得，
抛物线的解析式为，
即；
（2）解：设圆心为，连接交于点，连接，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
该圆弧所在圆的半径12.5米；
（3）解：①若设计成抛物线型时，当时，，
米米，
货船不能顺利通过该桥；
②若设计成圆弧型时，
设米，
过点作交弧于点，过点作交于点，连接，
米，
在中，，
，
米，
米，
米，
米米，
货船能顺利通过该桥．
1 / 13.3《 垂径定理》（2）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2024九上·杭州月考）下列命题正确的是（　　）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
【答案】D
【知识点】垂径定理；真命题与假命题；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意；
B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意；
D、平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
2．（2023九上·房县期末）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴，
∵的直径为，
∴，
在中，，
∴，
即水的最大深度为，
故答案为：C．
【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂直弦的直径平分弦求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而根据CD=OC-OD得出的长即可．
3．（2024九上·鄞州月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【分析】利用垂径定理知第①块可确定半径的大小解题即可．
4．（2024九上·蒙自期中）如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：是的直径，为弦，于点E，
，，
B、D选项结论成立，不符合题意；
，
，
A选项结论成立，不符合题意；
无法判断，
C选项结论不成立，符合题意，
故答案为：C
【分析】根据垂径定理逐项进行判断即可求出答案.
5．（2023九上·路桥月考）如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OA，如下图
由题意可知，
∵
∴是直角三角形；
∴由勾股定理可得：，
由垂径定理可知
故答案为：B.
【分析】先根据勾股定理求出AE，再由垂径定理可得AB.
6．（2024九上·广州期末）如图，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度为　 　．
【答案】4m
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，，，
∴，
故答案是：．
【分析】先根据题意得到，， 再根据垂径定理结合勾股定理得到，，，从而即可求解。
7．（2017九上·襄城期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=6，则BE=　 　.
【答案】1
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】连接OC，如图，
∵弦CD⊥AB，
在Rt△OCE中，∵OC=5，CE=3，
故答案为：1.
【分析】根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，可得CE=DE，在Rt△OCE中用勾股定理求解。
8．（2024九上·珠海期中）如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径．
【答案】解：连接CO，如图：
∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O，
∴EM⊥CD，且．
在Rt△OCM中，令⊙O的半径为r m，EM=6m，
∵OC2＝OM2＋CM2，
∴，
解得：．
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】连接CO，利用垂径定理可得EM⊥CD，且再令⊙O的半径为r m，利用勾股定理建立方程，求解半径即可得到答案.
9．（2024九上·前郭尔罗斯期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．
【答案】解：如图，连接，
设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为，
根据题意，得，，
根据勾股定理，得，
解得，
答：该门洞的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】连接，设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为，根据垂径定理得到，再用勾股定理建立方程计算即可求解．
二、能力提升
10．（2024九上·岳麓月考）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵是线段的垂直平分线，
∴直线CD经过圆心，设圆心为O，连接OB，如图所示：
中，，
∵，CD=10cm，
∴，
解得：；
故轮子的半径为，
故答案为：C．
【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中利用勾股定理，可得，利用OD=OB－10，即可求出OB的长，答案可得．
11．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找到圆心，则最少使用的次数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，
根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理的推论可得，MN所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心.
12．如图，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，M，N分别为和的中点，0M，ON分别交AB，AC于点E，F，则∠MON的度数为(　　)
A．110° B．120 C．130° D．100°
【答案】C
【知识点】垂径定理的推论
【解析】【解答】解：∵M、N分别为 AB和AC的中点，
∴OF⊥AC，OE⊥AB，
∴∠OFA=∠OEA=90°，
∴∠MON=360°-∠OFA-∠OEA-∠A=360°-90°-90°-50°=130°.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理的推论，得出OM⊥AB，ON⊥AC，在四边形OEAF中利用四边形的内角和定理即可求解.
13．（2024九上·长沙月考）如图，石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，那么桥拱所在圆的半径OA＝　 　m．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴OC=AD=8
∴
∴
故答案为：
【分析】根据垂径定理可得AD=8，OD=4，再根据勾股定理即可求出答案.
14．（2024九上·自贡期末）一条排水管横截面如图所示，已知排水管半径，水面宽，若管内水面下降，则此时水面宽等于　 　m．
【答案】1.2
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，连接，作于，交于，则，
由垂径定理得，，，
由勾股定理得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
【分析】连接OC，作OF⊥AB于F，交CD于E，根据垂径定理和勾股定理求解。
15．已知：如图，在⊙O中，．求证：弦AB∥CD．
【答案】证明：过点O作OE⊥AB，交⊙O于点E，
∴
∵．
∴，
∴OE⊥CD，
∴AB∥CD．
【知识点】平行线的判定与性质；垂径定理的推论
【解析】【分析】要证两条线平行，一种思路是证明出两条线分别垂直于同一线段（或同一直线）即可. 由于AB、CD均为⊙O的两条弦，因此过点O作OE⊥AB，交⊙O于点E，利用垂径定理的推论，得到OE与CD互相垂直，因此即证明AB∥CD.
16．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，M，N分别为，的中点，MN分别交AB，AC于点E，F．判断△AEF的形状并给予证明．
【答案】解：△AEF是等腰三角形．
证明：如图，连结OM，ON，分别交AB，AC于点P，Q．
∵M，N分别为，的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠MPE=∠NQF=90°，
∴∠PEM=90°-∠M，∠QFN=90°-∠N．
∵OM=ON，∴∠M=∠N，
∴∠PEM=∠QFN．
又∵∠AEF=∠PEM，∠AFE=∠QFN，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形．
【知识点】对顶角及其性质；垂径定理的推论
【解析】【分析】从题目中的有限的条件出发，要判断△AEF的形状，就要通过角的关系来判断. 已知M、N为，的中点，则可以连接OM、ON，根据垂径定理的推论，可知∠MPE=∠NQF=90°，那么∠PEM即等于90°-∠M，同理，∠QFN=90°-∠N，而在圆O中，明显可知∠M=∠N，即∠PEM=∠QFN，然后由于∠PEM、∠QFN分别为∠AEF、∠AFE的对顶角，由此可知在△AEF中，有两个角相等，∠AEF=∠AFE，判断为等腰三角形.
17．（2023九上·黄梅期中）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点）1米处将竖立支撑杆，求支撑杆的高度．
【答案】（1）解：垂直平分，
圆心在的延长线上．
设的半径为米，则米．
，
（米）．
在中，
由勾股定理得：，
即，
解得．
即该圆弧所在圆的半径为5米.
（2）解：过点作于点，连接，如图所示：
，
．
∵，
∴四边形为矩形，
，
在中，．
，
．
．
即支撑杆的高度为1米．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）设的半径为米，则米，先利用垂径定理求出CA的长，再利用勾股定理可得，即，再求出r的值即可；
（2）过点作于点，连接，先利用矩形的性质求出，，再利用勾股定理求出OH的长，最后利用线段的和差求出即可．
（1）垂直平分，
圆心在的延长线上．
设的半径为米，则米．
，
（米）．
在中，
由勾股定理得：，
即，
解得．
即该圆弧所在圆的半径为5米；
（2）过点作于点，连接．
，
．
∵，
∴四边形为矩形，
，
在中，．
，
．
．
即支撑杆的高度为1米．
三、综合拓展
18．（2024九上·惠东期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米．
（1）求该圆的半径．
（2）若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？
【答案】（1）解：如图所示，
过作于点，交于点，则，
∴（米）
设圆的半径为r米，则米，（米），
在中，，
即，
解得，
∴该圆的半径为5米；
（2）解：如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，
∴（米），
∵的半径为5米，
∴米
∴在中，（米），
∴（米），
∴水面下盛水桶的最大深度为（米）．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）过作于点，交于点，则，，求出AC，设圆的半径为r米，则米，（米），再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设水面下降至，过点O作于点，交于点，求出A'C'，再根据勾股定理可得OC'，再根据边之间的关秀即可求出答案.
（1）解：如图所示，
过作于点，交于点，则，
∴（米）
设圆的半径为r米，则米，（米），
在中，，
即，
解得，
∴该圆的半径为5米；
（2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，
∴（米），
∵的半径为5米，
∴米
∴在中，（米），
∴（米），
∴水面下盛水桶的最大深度为（米）．
19．（2024九上·杭州期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米．
（1）如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式；
（2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
（3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，得，，
，，，
设抛物线的表达式为，
将代入表达式，得，
解得：，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，设圆心为，连接交于点，连接，
，，
，
，
，
在中，有，
，
解得：，
∴该圆弧所在圆的半径为12.5米；
（3）解：①若设计成抛物线型时，当时，，
米米，
货船不能顺利通过该桥；
②若设计成圆弧型时，如图，设，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，
，
在中，有，
，
，
，
，
米米，
货船能顺利通过该桥．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；垂径定理的实际应用；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到点的坐标，然后利用待定系数法进行求解；
（2）设圆心为，连接交于点，连接，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理列方程求出的值即可；
（3）①若设计成抛物线型时，将代入函数解析式得，由米米，可知货船不能顺利通过该桥；
②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，利用勾股定理求出，可得，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥．
（1）解：，
，，
，
，
设抛物线的解析式为，
，
解得，
抛物线的解析式为，
即；
（2）解：设圆心为，连接交于点，连接，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
该圆弧所在圆的半径12.5米；
（3）解：①若设计成抛物线型时，当时，，
米米，
货船不能顺利通过该桥；
②若设计成圆弧型时，
设米，
过点作交弧于点，过点作交于点，连接，
米，
在中，，
，
米，
米，
米，
米米，
货船能顺利通过该桥．
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