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人教版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷五(范围:13.1-15.3)
一、选择题
1．（2024八上·盱眙期中）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·期中）下列各图中，作△ABC边AB上的高，正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
3．（2025八上·衡阳期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·台州期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·朝阳月考）已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（　　）
①作射线；
②在射线和上分别截取，使；
③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
6．（2023八上·荔湾期中）如图，在 中，， 平分 ， 于，，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·长沙期中）如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八上·宁波期末）下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是（　　）
A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm
9．（2024八上·天河期中）如图，在中，，D，E是BC上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确结论的字号是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
10．（2024八上·昆明期中）如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
二、填空题
11．如图，左边是计算器上的数字“5”，若以直线为对称轴，则它的轴对称图形是数字　 　.
12．（2025八上·期中）如图是一种常见的户外健身器材，其支架的三角结构运用的数学原理是　 　
13．（2024八上·杭州期中）若点关于y轴的对称点是点，则　 　．
14．（2023八上·句容月考）如图，点C在上，，，，则的度数是　 　．
15．（2025八上·上海市期末）如图，在中，，平分．若，，则　 　．
16．（2024八上·广州期中）如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为　 　．
三、解答题
17．（2024八上·萧山期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线.
（1）CD　 　AC.（填“<”或“>”）
（2）AC+BC　 　AB（填“<”或“>”）
（3）若点E是线段AB上的一个动点，连结CE，则CD　 　CE.（填“≤”或“>”）
18．（2020八上·达孜期中）对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高.
19．（2024八上·祁阳期中）作图题：已知∠ABC及AB上一点A，
（1）过点A画AE⊥BC，垂足为点E，此时线段的长为点A到直线BC的距离______．
（2）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）在射线BC上，以C为定点，作∠FCD=∠ABC
20．（2023八上·霞山期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知三个顶点的坐标分别为．
（1）先画出关于轴对称的，点，，关于轴的对称点分别是，则点的坐标为 ，点的坐标为_______；
（2）在轴上找到一点，使与之和最短不写作法，保留痕迹，则点的坐标为______．
21．（2024八上·台江期中）如图，是的角平分线，平分，交于点E．
（1）若，求的度数；
（2）直接写出与之间的数量关系．
22．（2024八上·呈贡期末）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，．求证：
（1）；
（2）．
23．（2024八上·萧山期中）如图
[感知]：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°且∠B=90°。求证：DB=DC.
[探究]：如图2，AD平分，求证：.
[应用]：如图3，四边形ABDC中，，求的值。
24．（2024八上·南宁月考）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C.探究AB、BD、AC之间的数量关系；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，得到全等三角形，进而解决问题．
方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，得到等腰三角形，进而解决问题．
（1）试猜想AB、BD、AC之间的数量关系　 　．
（2）根据阅读材料，任选一种方法证明AC=AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法
（3）解决下面的问题；
如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项进行判断即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A 选项中 AD 不是△ABC 边AB 上的高，故A选项不符合题意；
B选项中 AD 是△ABC边BC上的高，故B选项不符合题意；
C选项中 CD不是△ABC边AB上的高，故C 选项不符合题意；
D选项中CD是△ABC边AB上的高，故D 选项符合题意.
故答案为：D
【分析】根据三角形高的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，
由三角形内角和定理得，，
∵两个三角形全等，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠2的度数，再根据全等三角形对应角相等可得答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵直角三角形没被挡住的是两角和夹边，∴画出一个与原三角形全等的三角形，这两个三角形全等的依据为ASA.
故答案选：C．
【分析】两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可判断.
5．【答案】C
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：作法的合理顺序是：
②在射线和上分别截取，使；
③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C．
①作射线；
故选：C．
【分析】
根据尺规作图作角平分线的方法进行排序即可．
6．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： 平分 ， ，，
，
，
故选：B．
【分析】根据角平分线的性质定理角平分线上的点到角的两边距离相等可得，进而可以求出的周长；
7．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，
，
故选：A．
【分析】
直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
8．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
∴长为12cm， 8cm， 5cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 8cm， 6cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 5cm， 6cm的三条线段不能组成三角形，符合题意；
∴长为8cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形， 不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可.
9．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，∠ACB=45°，
，
∴∠B=∠ACF.
∵，，
，
，
，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，即，
在与中，
，
，故结论①正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，
，，
，∠DAF=90°，
，
在与中，
，
，
，故结论②正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF，
∴S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，
若，，
，
，故结论③正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵△CEF中，CE+CF>EF，
，故结论④错误，不符合题意．
故正确选项有：①②③.
故答案为：A．
【分析】证明∠B=∠ACF，，即可利用ASA证明△ABD≌△ACF，可判断①；根据全等三角形的性质得，，从而可利用SAS证明△AED≌△AEF，根据全等三角形的性质得，可判断②；若根据全等的性质可得S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，再结合，，等量代换即可求出并判断③；利用△ABD≌△ACF可得BD=CF，在中，根据三角形三边关系得，等量代换即可判断④．
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，，，
以此类推：的边长为，
的边长为：．
故答案为：C．
【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质、三角形外角的性质，熟知等边三角形的性质是解题关键.
根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°以及平行线的性质：内错角相等，两直线平行可得：，以及，得出，，…根据上述规律，可知：的边长为：，由此可得出答案．
11．【答案】2
【知识点】作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】左边是计算器上的数字“5”，若以直线为对称轴，则它的轴对称图形是数字为2，
故答案为2.
【分析】根据轴对称的性质作出图形，然后判断数字即可.
12．【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
13．【答案】0
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴的对称点是点，
，，
，，
，
故答案为：0．
【分析】根据关于轴的两坐标点的性质：横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出的值，最后代入进行计算即可.
14．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：40°．
【分析】先证明，得，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数.
15．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
，，
，
解得，
又平分，，，
．
故答案为：．
【分析】过点作，垂足为，由已知，，可求，再利用角平分线性质证明即可．
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作于，作于，连接，
，，
平分，
即平分，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
当时有最小值，即有最小值，
此时，，
∴，
故答案为：
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质.作于，作于，连接，根据等腰三角形的性质可得：平分， 再根据，，利用角平分线的性质可得：，， 利用角的运算可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，当时有最小值，即有最小值，再根据直角三角形得到，代入数据可求出答案．
17．【答案】（1）＜
（2）＞
（3）≤
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：（1）∵ 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，
∴CD⊥AB，
∴CD＜AC；
故答案为：＜；
（2）由三角形三边关系得AC+BC＞AB；
故答案为：＞；
（3）∵CD⊥AB， 点E是线段AB上的一个动点，
∴当点E与点D重合时，CD=CE，当点E与点D不重合时，CD＜CE，
∴CD≤CE.
故答案为：≤.
【分析】（1）根据垂线段最短可作答；
（2）根据三角形中任意两边之和大于第三边可作答；
（3）由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短即可作答.
18．【答案】解：如图，AD为高线，AE为中线，AF为角平分线：
.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】（1）画中线：作图思路，可先做 的垂直平分线，交 于E，连接 ， 就是所求的中线；
（2）画角平分线.参照角平分线基本的作法：以顶点为圆心，任意长为半径画一个弧（要保证有两个交点，不要太小），再以刚才画出的交点为顶点，以大于第一次的半径为半径画弧（左右各画一个弧），再取两道弧的交点，并连接这个交点的一开始最上面的顶点，这就是角平分线；
（3）画高.基本作法是：用圆规以一顶点为圆心，两条邻边中较短的一边为半径做弧，交对边于一点连接该交点和圆心，得到一等腰三角形然后作此等腰三角形底边的垂直平分线，所得垂直平分线就是三角形的高.
19．【答案】解：（1）AE
（2）如图所示，∠FCD即为所求．
【知识点】点到直线的距离；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】解：（1）过点A画AE⊥BC，垂足为点E，此时点A到直线BC的距离即为线段AE的长，
故答案为AE；
（2）如图所示，先以B为圆心，任意长为半径画弧，交BA、BD于点M、N，以同样半径长度将C作为圆心画弧，交CD于P，以P点为圆心，MN为半径画弧，两弧相交于F，连接CF，即得∠FCD=∠ABC．
【分析】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握点到直线的距离及作一个角等于已知角的尺规作图
（1）点到直线的距离是指从该点向直线作垂线，垂线段的长度；过点A作AE⊥BC，垂足为E，所以线段AE的长就是点A到直线BC的距离；
（2）用尺规作一个角等于已知角的方法：先以B为圆心，任意长为半径画弧，交BA、BD于点M、N，这是确定了角的两边上的两个点；再以C为圆心，同样半径长度画弧，交CD于P，这是在另一条射线上确定了一个点；然后以P为圆心，MN为半径画弧，两弧相交于F，连接CF，就得到∠FCD=∠ABC，这是利用了全等三角形的原理，保证了所作的角与已知角相等．
20．【答案】（1）解：如图所示，
点的坐标为，点的坐标为
（2）解：如图所示，
；
P点坐标为（0，1）
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（1）由题意作图可得：点的坐标为，点的坐标为
（2）作关于轴的对称点，则B'的坐标为（2，3），连接交轴于点，
点的坐标为，点的坐标为
（2）设C点和B'所在的直线的解析式为y=kx+b，所以
解得，
所以，yB'C=x+1
令x=0，则yB'C=1
所以，P点坐标为（0，1）
【分析】（1）根据轴对称的特点，分别找出点，，关于轴的对称点，然后再连接、和，即可求解；
（2）根据轴对称的特点，作关于轴的对称点，然后再连接交轴于点，然后再根据对称的特点，可得，当C、P和B'三点共线时，PB+PC取得最小值，设C点和B'所在的直线的解析式为y=kx+b，然后将C点和B'的坐标代入，求出yB'C的解析式，最后再令x=0，即可求出P点的坐标。
（1）解：如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：，．
（2）解：如图所示，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则，故答案为：．
21．【答案】（1）∵是的外角，
∴.
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（2），理由如下
∵是的外角，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即．
【分析】（1）根据三角形外角性质可得，再根据角平分线定义可得，再根据边之间的关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据三角形外角性质可得，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）∵是的外角，
∴.
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）．
∵是的外角，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即．
22．【答案】（1）证明：∵是的平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：在与中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得．再根据，得；（2）利用角平分线性质证明，得到，再将线段进行转化．
（1）证明：∵是的平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：在与中，
，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】解：（1）证明：∵ ∠B+∠C=180°且∠B=90° ，
∴∠C=∠B=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ACD与△ABD中，
∵∠C=∠B=90°，∠CAD=∠BAD，AD=AD，
∴△ACD≌△ABD（AAS），
∴BD=CD；
（2）证明：在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ACD与△ABD中，
∵AC=AE，∠CAD=∠BAD，AD=AD，
∴△ACD≌△ABD（SAS），
∴DE=CD，∠C=∠AED，
∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°，
∴∠DEB=∠B，
∴DE=BD，
∴CD=BD；
（3）如图，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F，
∴∠DEB=∠DEA=∠AFD=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BDE=45°，
∴BE=DE，
∵BE2+DE2=BD2，
∴BE=DE=1，
∵∠ACD=135°，
∴∠FCD=180°-∠ACD=45°，
在△CFD与△BED中，
∵∠CFD=∠DEB=90°，∠FCD=∠B=45°，CD=BD，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF=BE=1，DF=DE，
在Rt△AFD与Rt△AED中，
∵DE=DF，AD=AD，
∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），
∴AF=AE，
∴AC=AF-1=AE-1，
∴AB-AC=AB-AE+1=BE+1=2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由已知易得∠C=∠B=90°，由角平分线定义得∠CAD=∠BAD，从而由AAS判断出△ACD≌△ABD，根据全等三角形的对应边相等得BD=CD；
（2）在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，由角平分线定义得∠CAD=∠BAD，从而由SAS判断出△ACD≌△ABD，由全等三角形的性质得DE=CD，∠C=∠AED，由等角的补角相等得∠DEB=∠B，由等角对等边得DE=BD，从而可得结论；
（3）连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F，易得△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BE=DE=1，用AAS判断出△CFD≌△BED，根据全等三角形的对应边相等得CF=BE=1，DF=DE，再由HL判断出Rt△AFD≌Rt△AED，根据全等三角形的对应边相等得AF=AE，则AC=AF-1=AE-1，进而即可求出AB-AC的值.
24．【答案】（1）AC＝AB+BD
（2）证明：方法一：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△BAD和△EAD中
，
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，
∵∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∴BD＝EC，
∴AC＝AB+BD；
方法二：∵
∴∠BED＝∠BDE
∵∠ABC＝∠BED+∠BDE，且∠ABC＝2∠C
∴∠BED＝∠ABC=∠C
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
在△AED和△ACD中，
∴△AED≌△ACD（AAS）
∴AE=AC
∵AE=AB+BE=AB+BD
∴AC=AB+BD
（3）解：DC、CE、BE之间的数量关系是BE＝DC+CE，
证明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴2∠DAE＝180°﹣∠AED，
∵∠DAE+∠B＝90°，
∴2∠DAE+2∠B＝180°，
∴∠AED＝2∠B＝∠C，
∵∠BED＝∠CDE+∠C=∠AEB+∠AED，
∴∠AEB＝∠CDE，
在△AEF和△EDC中，
∴△AEF≌△EDC（SAS），
∴EC＝AF，∠AFE＝∠C＝2∠B，
∵∠AFE＝∠B+∠BAF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴BF＝AF，
∴BF＝CE，
∴BE＝DC+CE．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义得到∠BAD＝∠CAD，然后利用"SAS"证明△ABD≌△AED得到：BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，再结合三角形外角的性质及等角对等边得到BD＝EC，进而即可求证；
（2）方法一：根据角平分线定义得到∠BAD＝∠CAD，然后利用"SAS"证明△ABD≌△AED得到：BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，再结合三角形外角的性质及等角对等边得到BD＝EC，进而即可求证；
方法二：由等边对等角得∠BED＝∠BDE，再结合三角形外角的性质和角平分线的定义得∠BAD＝∠CAD即可利用"AAS"证明△AED≌△ACD，由全等三角形的性质得AE=AC，最后根据线段间的数量关系即可求解；
（3）在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，等边对等角及三角形内角和定理得∠AED＝2∠B＝∠C，再结合三角形外角的性质得∠AEB＝∠CDE，利用"SAS"证明△AEF≌△EDC，由全等三角形的性质可得EC＝AF，∠AFE＝∠C＝2∠B，进而由等角对等边可得到BF＝CE，进而即可求解.
1 / 1人教版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷五(范围:13.1-15.3)
一、选择题
1．（2024八上·盱眙期中）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项进行判断即可得出答案。
2．（2025八上·期中）下列各图中，作△ABC边AB上的高，正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A 选项中 AD 不是△ABC 边AB 上的高，故A选项不符合题意；
B选项中 AD 是△ABC边BC上的高，故B选项不符合题意；
C选项中 CD不是△ABC边AB上的高，故C 选项不符合题意；
D选项中CD是△ABC边AB上的高，故D 选项符合题意.
故答案为：D
【分析】根据三角形高的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025八上·衡阳期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，
由三角形内角和定理得，，
∵两个三角形全等，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠2的度数，再根据全等三角形对应角相等可得答案.
4．（2025八上·台州期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵直角三角形没被挡住的是两角和夹边，∴画出一个与原三角形全等的三角形，这两个三角形全等的依据为ASA.
故答案选：C．
【分析】两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可判断.
5．（2024八上·朝阳月考）已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（　　）
①作射线；
②在射线和上分别截取，使；
③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
【答案】C
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：作法的合理顺序是：
②在射线和上分别截取，使；
③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C．
①作射线；
故选：C．
【分析】
根据尺规作图作角平分线的方法进行排序即可．
6．（2023八上·荔湾期中）如图，在 中，， 平分 ， 于，，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： 平分 ， ，，
，
，
故选：B．
【分析】根据角平分线的性质定理角平分线上的点到角的两边距离相等可得，进而可以求出的周长；
7．（2024八上·长沙期中）如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，
，
故选：A．
【分析】
直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
8．（2025八上·宁波期末）下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是（　　）
A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
∴长为12cm， 8cm， 5cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 8cm， 6cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 5cm， 6cm的三条线段不能组成三角形，符合题意；
∴长为8cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形， 不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可.
9．（2024八上·天河期中）如图，在中，，D，E是BC上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确结论的字号是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，∠ACB=45°，
，
∴∠B=∠ACF.
∵，，
，
，
，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，即，
在与中，
，
，故结论①正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，
，，
，∠DAF=90°，
，
在与中，
，
，
，故结论②正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF，
∴S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，
若，，
，
，故结论③正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵△CEF中，CE+CF>EF，
，故结论④错误，不符合题意．
故正确选项有：①②③.
故答案为：A．
【分析】证明∠B=∠ACF，，即可利用ASA证明△ABD≌△ACF，可判断①；根据全等三角形的性质得，，从而可利用SAS证明△AED≌△AEF，根据全等三角形的性质得，可判断②；若根据全等的性质可得S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，再结合，，等量代换即可求出并判断③；利用△ABD≌△ACF可得BD=CF，在中，根据三角形三边关系得，等量代换即可判断④．
10．（2024八上·昆明期中）如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，，，
以此类推：的边长为，
的边长为：．
故答案为：C．
【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质、三角形外角的性质，熟知等边三角形的性质是解题关键.
根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°以及平行线的性质：内错角相等，两直线平行可得：，以及，得出，，…根据上述规律，可知：的边长为：，由此可得出答案．
二、填空题
11．如图，左边是计算器上的数字“5”，若以直线为对称轴，则它的轴对称图形是数字　 　.
【答案】2
【知识点】作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】左边是计算器上的数字“5”，若以直线为对称轴，则它的轴对称图形是数字为2，
故答案为2.
【分析】根据轴对称的性质作出图形，然后判断数字即可.
12．（2025八上·期中）如图是一种常见的户外健身器材，其支架的三角结构运用的数学原理是　 　
【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
13．（2024八上·杭州期中）若点关于y轴的对称点是点，则　 　．
【答案】0
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴的对称点是点，
，，
，，
，
故答案为：0．
【分析】根据关于轴的两坐标点的性质：横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出的值，最后代入进行计算即可.
14．（2023八上·句容月考）如图，点C在上，，，，则的度数是　 　．
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：40°．
【分析】先证明，得，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数.
15．（2025八上·上海市期末）如图，在中，，平分．若，，则　 　．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
，，
，
解得，
又平分，，，
．
故答案为：．
【分析】过点作，垂足为，由已知，，可求，再利用角平分线性质证明即可．
16．（2024八上·广州期中）如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作于，作于，连接，
，，
平分，
即平分，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
当时有最小值，即有最小值，
此时，，
∴，
故答案为：
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质.作于，作于，连接，根据等腰三角形的性质可得：平分， 再根据，，利用角平分线的性质可得：，， 利用角的运算可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，当时有最小值，即有最小值，再根据直角三角形得到，代入数据可求出答案．
三、解答题
17．（2024八上·萧山期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线.
（1）CD　 　AC.（填“<”或“>”）
（2）AC+BC　 　AB（填“<”或“>”）
（3）若点E是线段AB上的一个动点，连结CE，则CD　 　CE.（填“≤”或“>”）
【答案】（1）＜
（2）＞
（3）≤
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：（1）∵ 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，
∴CD⊥AB，
∴CD＜AC；
故答案为：＜；
（2）由三角形三边关系得AC+BC＞AB；
故答案为：＞；
（3）∵CD⊥AB， 点E是线段AB上的一个动点，
∴当点E与点D重合时，CD=CE，当点E与点D不重合时，CD＜CE，
∴CD≤CE.
故答案为：≤.
【分析】（1）根据垂线段最短可作答；
（2）根据三角形中任意两边之和大于第三边可作答；
（3）由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短即可作答.
18．（2020八上·达孜期中）对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高.
【答案】解：如图，AD为高线，AE为中线，AF为角平分线：
.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】（1）画中线：作图思路，可先做 的垂直平分线，交 于E，连接 ， 就是所求的中线；
（2）画角平分线.参照角平分线基本的作法：以顶点为圆心，任意长为半径画一个弧（要保证有两个交点，不要太小），再以刚才画出的交点为顶点，以大于第一次的半径为半径画弧（左右各画一个弧），再取两道弧的交点，并连接这个交点的一开始最上面的顶点，这就是角平分线；
（3）画高.基本作法是：用圆规以一顶点为圆心，两条邻边中较短的一边为半径做弧，交对边于一点连接该交点和圆心，得到一等腰三角形然后作此等腰三角形底边的垂直平分线，所得垂直平分线就是三角形的高.
19．（2024八上·祁阳期中）作图题：已知∠ABC及AB上一点A，
（1）过点A画AE⊥BC，垂足为点E，此时线段的长为点A到直线BC的距离______．
（2）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）在射线BC上，以C为定点，作∠FCD=∠ABC
【答案】解：（1）AE
（2）如图所示，∠FCD即为所求．
【知识点】点到直线的距离；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】解：（1）过点A画AE⊥BC，垂足为点E，此时点A到直线BC的距离即为线段AE的长，
故答案为AE；
（2）如图所示，先以B为圆心，任意长为半径画弧，交BA、BD于点M、N，以同样半径长度将C作为圆心画弧，交CD于P，以P点为圆心，MN为半径画弧，两弧相交于F，连接CF，即得∠FCD=∠ABC．
【分析】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握点到直线的距离及作一个角等于已知角的尺规作图
（1）点到直线的距离是指从该点向直线作垂线，垂线段的长度；过点A作AE⊥BC，垂足为E，所以线段AE的长就是点A到直线BC的距离；
（2）用尺规作一个角等于已知角的方法：先以B为圆心，任意长为半径画弧，交BA、BD于点M、N，这是确定了角的两边上的两个点；再以C为圆心，同样半径长度画弧，交CD于P，这是在另一条射线上确定了一个点；然后以P为圆心，MN为半径画弧，两弧相交于F，连接CF，就得到∠FCD=∠ABC，这是利用了全等三角形的原理，保证了所作的角与已知角相等．
20．（2023八上·霞山期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知三个顶点的坐标分别为．
（1）先画出关于轴对称的，点，，关于轴的对称点分别是，则点的坐标为 ，点的坐标为_______；
（2）在轴上找到一点，使与之和最短不写作法，保留痕迹，则点的坐标为______．
【答案】（1）解：如图所示，
点的坐标为，点的坐标为
（2）解：如图所示，
；
P点坐标为（0，1）
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（1）由题意作图可得：点的坐标为，点的坐标为
（2）作关于轴的对称点，则B'的坐标为（2，3），连接交轴于点，
点的坐标为，点的坐标为
（2）设C点和B'所在的直线的解析式为y=kx+b，所以
解得，
所以，yB'C=x+1
令x=0，则yB'C=1
所以，P点坐标为（0，1）
【分析】（1）根据轴对称的特点，分别找出点，，关于轴的对称点，然后再连接、和，即可求解；
（2）根据轴对称的特点，作关于轴的对称点，然后再连接交轴于点，然后再根据对称的特点，可得，当C、P和B'三点共线时，PB+PC取得最小值，设C点和B'所在的直线的解析式为y=kx+b，然后将C点和B'的坐标代入，求出yB'C的解析式，最后再令x=0，即可求出P点的坐标。
（1）解：如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：，．
（2）解：如图所示，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则，故答案为：．
21．（2024八上·台江期中）如图，是的角平分线，平分，交于点E．
（1）若，求的度数；
（2）直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）∵是的外角，
∴.
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（2），理由如下
∵是的外角，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即．
【分析】（1）根据三角形外角性质可得，再根据角平分线定义可得，再根据边之间的关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据三角形外角性质可得，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）∵是的外角，
∴.
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）．
∵是的外角，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即．
22．（2024八上·呈贡期末）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：∵是的平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：在与中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得．再根据，得；（2）利用角平分线性质证明，得到，再将线段进行转化．
（1）证明：∵是的平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：在与中，
，
∴，
∴，
∴．
23．（2024八上·萧山期中）如图
[感知]：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°且∠B=90°。求证：DB=DC.
[探究]：如图2，AD平分，求证：.
[应用]：如图3，四边形ABDC中，，求的值。
【答案】解：（1）证明：∵ ∠B+∠C=180°且∠B=90° ，
∴∠C=∠B=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ACD与△ABD中，
∵∠C=∠B=90°，∠CAD=∠BAD，AD=AD，
∴△ACD≌△ABD（AAS），
∴BD=CD；
（2）证明：在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ACD与△ABD中，
∵AC=AE，∠CAD=∠BAD，AD=AD，
∴△ACD≌△ABD（SAS），
∴DE=CD，∠C=∠AED，
∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°，
∴∠DEB=∠B，
∴DE=BD，
∴CD=BD；
（3）如图，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F，
∴∠DEB=∠DEA=∠AFD=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BDE=45°，
∴BE=DE，
∵BE2+DE2=BD2，
∴BE=DE=1，
∵∠ACD=135°，
∴∠FCD=180°-∠ACD=45°，
在△CFD与△BED中，
∵∠CFD=∠DEB=90°，∠FCD=∠B=45°，CD=BD，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF=BE=1，DF=DE，
在Rt△AFD与Rt△AED中，
∵DE=DF，AD=AD，
∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），
∴AF=AE，
∴AC=AF-1=AE-1，
∴AB-AC=AB-AE+1=BE+1=2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由已知易得∠C=∠B=90°，由角平分线定义得∠CAD=∠BAD，从而由AAS判断出△ACD≌△ABD，根据全等三角形的对应边相等得BD=CD；
（2）在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，由角平分线定义得∠CAD=∠BAD，从而由SAS判断出△ACD≌△ABD，由全等三角形的性质得DE=CD，∠C=∠AED，由等角的补角相等得∠DEB=∠B，由等角对等边得DE=BD，从而可得结论；
（3）连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F，易得△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BE=DE=1，用AAS判断出△CFD≌△BED，根据全等三角形的对应边相等得CF=BE=1，DF=DE，再由HL判断出Rt△AFD≌Rt△AED，根据全等三角形的对应边相等得AF=AE，则AC=AF-1=AE-1，进而即可求出AB-AC的值.
24．（2024八上·南宁月考）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C.探究AB、BD、AC之间的数量关系；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，得到全等三角形，进而解决问题．
方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，得到等腰三角形，进而解决问题．
（1）试猜想AB、BD、AC之间的数量关系　 　．
（2）根据阅读材料，任选一种方法证明AC=AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法
（3）解决下面的问题；
如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）AC＝AB+BD
（2）证明：方法一：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△BAD和△EAD中
，
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，
∵∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∴BD＝EC，
∴AC＝AB+BD；
方法二：∵
∴∠BED＝∠BDE
∵∠ABC＝∠BED+∠BDE，且∠ABC＝2∠C
∴∠BED＝∠ABC=∠C
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
在△AED和△ACD中，
∴△AED≌△ACD（AAS）
∴AE=AC
∵AE=AB+BE=AB+BD
∴AC=AB+BD
（3）解：DC、CE、BE之间的数量关系是BE＝DC+CE，
证明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴2∠DAE＝180°﹣∠AED，
∵∠DAE+∠B＝90°，
∴2∠DAE+2∠B＝180°，
∴∠AED＝2∠B＝∠C，
∵∠BED＝∠CDE+∠C=∠AEB+∠AED，
∴∠AEB＝∠CDE，
在△AEF和△EDC中，
∴△AEF≌△EDC（SAS），
∴EC＝AF，∠AFE＝∠C＝2∠B，
∵∠AFE＝∠B+∠BAF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴BF＝AF，
∴BF＝CE，
∴BE＝DC+CE．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义得到∠BAD＝∠CAD，然后利用"SAS"证明△ABD≌△AED得到：BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，再结合三角形外角的性质及等角对等边得到BD＝EC，进而即可求证；
（2）方法一：根据角平分线定义得到∠BAD＝∠CAD，然后利用"SAS"证明△ABD≌△AED得到：BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，再结合三角形外角的性质及等角对等边得到BD＝EC，进而即可求证；
方法二：由等边对等角得∠BED＝∠BDE，再结合三角形外角的性质和角平分线的定义得∠BAD＝∠CAD即可利用"AAS"证明△AED≌△ACD，由全等三角形的性质得AE=AC，最后根据线段间的数量关系即可求解；
（3）在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，等边对等角及三角形内角和定理得∠AED＝2∠B＝∠C，再结合三角形外角的性质得∠AEB＝∠CDE，利用"SAS"证明△AEF≌△EDC，由全等三角形的性质可得EC＝AF，∠AFE＝∠C＝2∠B，进而由等角对等边可得到BF＝CE，进而即可求解.
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