资源简介

3.3 幂函数
1.理解幂函数的概念.
2.会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象，结合图象，理解幂函数的性质.
(1)如果运费是10元/kg，共收到了旧衣物 0.1 w 千克，
那么需要支付的运费????为 元；
(2)若用棱长为a的正方体纸箱对旧衣物进行包装，
则纸箱的占地面积S为 ；且体积V为 ;
(3)若该活动场地是正方形场地，且面积为S，则这个
场地的边长c为 ;
(4)若要将衣物运送到1km 处的停车场，用时t秒，那么运送的平均速度????为
.
?
填一填：李想同学在某次“献爱心，送温暖”活动中担当了志愿者，请你帮他解决以下问题（请用代数式表示）：
????=????
?
????=????2
?
????=????3
?
????=????? 即????=????12
?
????=1????,即????=?????1
?
说一说：观察下列函数解析式，你能找出它们的共同特征吗？
（1）都具有幂的形式；
（2）均是以幂的底为自变量；
（3）幂的指数都是常数；
（4）自变量前的系数为1．
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。
????=????
?
????=????2
?
????=????3
?
????=????? =????12
?
????=1????=?????1
?
一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数。
幂函数的定义
系数是1
自变量
常数
【注意】：①项数只有一项且系数为1，幂的系数为1；
②α是任意常数；
③函数的定义域与α有关；
④中学阶段只研究α=1，2，3，1/2，-1这几种的幂函数.
知识归纳
例1 判断下列函数是否是幂函数：
是
不是
不是
不是
不是
不是
是
是
是
（2）y=2x2
（1）y=a4
（4）y=x0.2
（3）y=-x2
（5）y=1????3
?
（6）y=2x
（8）y=x3+2
（7）y=x-2
（9）y=(2b)4
练一练
变式: 给出下列函数：①y=2x；②y=x2；③y=1????；④y=x2+1；⑤y=3????2；⑥y=????；⑦y=x0；⑧y=1其中是幂函数的是___________.
?
思考1：对于幂函数，我们只研究α=1，2，3，12，?1时的图象与性质，结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？
?
通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题.
画一画1：五个函数中，y＝x，y＝x2，y＝x-1，是我们比较熟悉的函数，请在同一个坐标系中画出它们的图象.
思考2：在研究函数奇偶性时，我们发现可以通过研究函数在（0，+∞）上的性质得到函数在定义域上的性质，我们对y=????12,y=????3的图象性质不了解，可以先通过解析式的特征得到它们的定义域和奇偶性.
?
{93296810-A885-4BE3-A3E7-6D5BEEA58F35}
y=????3
y=????12
定义域
奇偶性
{93296810-A885-4BE3-A3E7-6D5BEEA58F35}
定义域
奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
R
［0,+∞）
画一画2：小组合作用描点法在刚才的坐标纸中画出????=????12、y=????3的图象.
?
填一填：观察函数图象并结合函数解析式，完成下表.
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
R
R
R
{x|x≠0}
［0,+∞）
R
R
{y|y≠0}
［0,+∞）
［0,+∞）
增函数
在(-∞，0)上单调递减
增函数
在(-∞，0]上单调递减
在［0，+∞)上单调递增
在(0，+∞)上单调递减
增函数

y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
图象
定义域
值域
奇偶性
单调性




合作交流：从这些函数的图象可以看出幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，这些差异之间存在着哪些共性和个性呢?请根据表格和图象，尝试解决下列问题。
（1）幂函数 都过哪一个点?（分类讨论）
（2）幂函数的奇偶性与指数????有怎样的关系?
?
（3）在第一象限内，幂函数的单调性与指数????
有怎样的关系?
?
????＞0 时，过定点（1,1）,（0,0）
?
????＜0 时，过定点（1,1）
?
（2）幂函数的奇偶性与指数????有怎样的关系?
?
（3）在第一象限内，幂函数的单调性与指数????有怎样的关系?
?
α<0，在（0，+∞）是减函数
α>0，在（0，+∞）是增函数
C1,C4,C3,C2
例2：如图所示是幂函数y=xα在第一象限内的图象，已知α分别取-1,12,1,2四个值，则相应图象依次为__________.
?
C1:y=x-1
C2:y=x2
C3:y=x
C4:y=????12
?
解：(1)令f(x)=x?，∵f(x)在R上单调递增,
且-1.5<-1.4，∴f(-1.5)(2)令g(x)=1????，∵g(x)在(-∞,0)上单调递减,
且-1.5<-1.4，∴g(-1.5) > g(-1.4),即1?1.5>1?1.4.
?
例3 利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小:
2.比较下列各组数的大小.
练一练
(1)2?72______2.1?72； (2)-(17)89________-(18)89
(3)??????23________?3.14?23；(4)(????2+2)?13_______2?13
?
本节课你学到了哪些知识？

展开更多......

收起↑