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第二章 函数
2.3 函数的单调性与最值
1.理解函数单调性的定义及相关概念，理解函数最大(小)值的定义.
2.能用单调性的定义证明函数的单调性．
3.会利用函数的单调性求函数的最大(小)值．
如图，是某地一天中温度的变化曲线，
试着描述该曲线的趋势.
一天中的温度在4时与14时分别达到最低温度-2℃和最高温度9℃，4时与14时之间，温度一直呈上升趋势，14时之后温度总体呈下降趋势.
问题1：观察函数的图象，回答下列问题：
（1）当时，的值随着的增大而______；
当时，的值随着的增大而______；
（2）试着描述该曲线的趋势.
减小
增大
当时，曲线呈下降趋势，在，即最小值；当时，曲线呈上升趋势.
思考：经过刚才的分析，你发现了什么规律？
若一个函数在某个区间内图象呈上升趋势，则函数值随自变量的增大而增大；
若一个函数在某个区间内图象呈下降趋势，则函数值随自变量的增大而减小.
函数的单调性
如果对于上的任意两个值，当时，都有，就称是区间上的增函数，也称在区间上单调递增，如图1所示；
如果对于上的任意两个值，当时，都有，就称是区间上的减函数，也称在区间上单调递减，如图2所示.
由此，我们可以得到函数单调性的定义：
如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有严格的单调性，区间叫做函数的单调区间.
在一个函数图象中，往往会发生单调性的变化，即在某个区间内是增函数，在另外区间内是减函数，这一变化就会使得函数出现最大值或最小值.
函数的最值定义如下：
如果有成立，就说在处取到最大值，称为的最大值，为的最大值点.
如果有成立，就说在处取到最小值，称为的最小值，为的最小值点.
最大值与最小值统称为最值.
问题2：试证明定义在R上的函数 f (x) = 3x+b 是增函数.
证明：设 x1 和 x2 是任意两个实数，且 x1 < x2，则
f (x2) - f (x1) = (3x2 + b) - (3x1 + b) = 3(x2 - x1) > 0，
∴ f (x2) > f (x1)，由函数单调性的定义可知，函数f（x）是R上的增函数.
1.函数单调性的变化是求最值和值域的主要依据，求出单调区间后再判断增减性，是求最值和值域的前提；
2.判断函数单调性的方法：
（1）定义法；
（2）两个增(减)函数的和仍为增(减)函数，一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
（3）如果 f (x) 在区间D上是增(减)函数，那么 f (x) 在D的任一子区间上也是增(减)函数；
（4）如果 y = f (u) 和 u = g(x) 单调性相同，那么y = f (g(x))是增函数， 如果y = f (u)和 u = g(x) 单调性相反，那么y = f (g(x))是减函数.
例1：利用图象求函数的单调区间
已知函数 f (x) = x2 - 4|x| + 3，x∈R.
(1)将函数写成分段函数的形式；(2)画出函数的图象；
(3)根据图象写出它的单调区间．
解：(1) f(x) = x2-4|x| + 3 =
(2)如图：
(3) 由图象可知单调递增区间为[-2，0)，
[2，+∞)；单调递减区间为(-∞，-2)，[0，2)．
方法归纳：(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间．
(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．
例2：函数的单调性判断与证明
用定义证明函数 f (x) = x + (k > 0) 在 (0，+∞) 上的单调性．
证明：设x1，x2∈(0，+∞)，且x1 < x2，
则f(x1) - f(x2) = = (x1-x2) + = (x1-x2) + k·
= (x1-x2) - k· = (x1-x2)·，因为 0 < x1 < x2，所以 x1 - x2 < 0，x1x2 > 0.
当x1，x2∈(0，]时，x1x2 - k < 0 f (x1) - f (x2) > 0，此时函数 f (x) 为减函数；
当x1，x2∈(，+∞)时，x1x2-k > 0 f (x1) - f (x2) < 0，此时函数 f (x) 为增函数．
综上，函数f(x) = x + (k > 0) 在(0，]上为减函数，在(，+∞)上为增函数．
方法归纳：利用定义证明函数单调性的步骤
1．(多选)如图是定义在区间[-5，5]上的函数 y = f (x) 的图象，则下列关于函数 f (x) 的说法正确的是(　　 )
A．函数在区间[-5，-3]上单调递增
B．函数在区间[1，4]上单调递增
C．函数在区间[-3，1]∪(4，5)上单调递减
D．函数在区间[-5，5]上没有单调性
ABD
分析：若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不能用“∪”连接；故选ABD.
2．函数 y = 的单调减区间是 (　　)
A.(-∞，1)，(1，+∞) B. (-∞，1)
C.{x∈R | x ≠ 1} D. R
分析：单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选A.
A
1.函数最大(小)值
2.增函数与减函数的定义
3.单调性与单调区间

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