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第二章 函数
2.4.2 简单幂函数的图象和性质
1.了解幂函数的定义.
2.通过作出一些简单幂函数的图象，能根据图象描述出这些简单幂函数的一些基本性质.
情境：“幂”原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果；到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂；清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念.
“幂”
问题1：写出下列 y 关于 x 的函数关系式，并观察有什么共同特征？
（1）购买每千克1元的蔬菜 x 千克，需要支付的钱数 y；
（2）正方形的边长为 x，正方形的面积 y；
（3）正方体的棱长为 x，正方体的体积 y；
（4）正方形的面积为 x，正方形的边长 y；
（5）某人 x 秒内骑车行进了1 km，她骑车的平均速度 y.
共同特征：1. 幂的形式；2. 幂的底数是自变量；3.幂的指数是常数.
幂函数：一般地，形如 y = xα (α为常数) 的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数；
（1）自变量的系数为1；（2）幂的系数为1；（3）函数的定义域与α有关.
分析：由幂函数定义知 y = 2x与 y = 2x 不是幂函数，故选 BC.
B C
（2）已知 y = (2a + b)xa＋b + (a - 2b) 是幂函数，求：a、b 的值.
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y = xα (α为常数)的形式，需满足①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1；
形如y = (3x)α，y = 2xα，y = xα＋5，…形式的函数都不是幂函数；反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.
归纳总结
练一练1：若 f (x) = (m2 - 4m - 4)xm 是幂函数，则 m = _________.
5 或 -1
解：因为f (x)是幂函数，所以m2 - 4m - 4 = 1，即m2 - 4m - 5 = 0，
解得m = 5或m = -1.
问题2：观察下列五个幂函数的图象，说说有什么发现？
1. 在第一象限内，函数 y = x-1 的图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近.
2. 在第一象限内，在 x = 1 右侧，指数越大，幂函数的图象越远离 x 轴.
B
归纳总结
问题3：结合幂函数的性质，填写下表：
R
R
R
[0，+∞)
(-∞，0)∪(0，+∞)
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
增
(-∞，0]，减；
[0，+∞)，增
增
增
(1，1)
(-∞，0)，减；
(0，+∞)，减
注意：对于y = xα，当 α > 0 时，在第一象限为增函数且过点 (0，0) 和 (1，1) ；
当 α < 0 时，在第一象限为减函数，且过点 (1，1).
例3：（2）利用幂函数的性质，比较 (–1.2)3 与 (–1.1)3 的大小.
方法小结：（1）α 相同时，先判断函数的单调性；
（2）然后根据自变量的大小，直接比较函数值的大小.
（2）由 y = x3 的定义域为 R，且在 R 上单调递增，
因为 –1.2 < – 1.1，所以 (– 1.2)3 < (– 1.1)3 .
根据今天所学，回答下列问题：
1. 回顾幂函数的概念，说说什么是幂函数；
2. 结合图象说说幂函数有哪些基本性质.

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