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第三章 指数运算与指数函数
3.3.1 指数函数的概念
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义
2.理解指数函数的概念
3.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用
问题1：随着中国经济高速增长,人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式,由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格,而B地则取消了景区门票.右表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量.
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
为了有利于观察规律，根据表格，分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象
观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律.
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
...
x年后，游客人次是2001年的1.11x倍.
从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可得：
结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数.像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，B地景区的游客人次近似于指数增长.
…………
如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么
这是一个函数，其中指数x是自变量.
显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律以近似描述为：
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.
死亡年数
1年
2年
3年
······
5730年
年
碳14含量
Q1:该情境中有何变量关系？
Q2:将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格.
······
死亡年数
1年
2年
3年
······
5730年
年
碳14含量
Q3:若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，那么试写出死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式.
······
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.
我们把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，经过5730年衰减为原来的一半，即，那么
则.
死亡年数
1年
2年
3年
······
5730年
年
碳14含量
······
生物体内碳14的含量每年都以的衰减率衰减。像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称之为指数衰减.
思考1:请同学类比于幂函数概念，说出这两个式子有什么特征？你能否用一个式子反映这些特征？
（指数为自变量，底数为常数）
Q1:在中，对有要求吗？
Q2:那对有要求吗？
若，则时，无意义；若，则等时，无意义；
若，则无研究的必要.
因此我们规定：且
（指数为自变量，底数为常数）


0
1
a
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，
定义域是
注：
(1)指数函数的定义域是实数集；
(2)自变量是指数，且指数位置只能有这一项；
(3)底数只能有一项，且其系数必须为1；
(4)底数的范围是且.
例1.给出下列函数：①②③④；⑤.其中，指数函数的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
变1.若函数是指数函数，则=___________ .
2
B
例2.已知指数函数且，且，求，，的值.
解：∵且
∴
∴，即.
∴.
例3.（1）问题1中，如果平均每位出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票为150元，比较这15年间A、B两地旅游收入变化情况.
解：（1）设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f（x）
和g（x），
利用计算工具可得，
当x=0时，f（0）－g（0）＝412000．
当x≈10.22时，f（10.22）≈g（10.22）．
结合图可知：
当x＜10.22时，f（x）＞g（x），
当x＞10.22时，f（x）＜g（x）．
当x＝14时，f（14）－g（14）≈347303．
则f（x）＝1150×（10x+600），g（x）=1000×278×1.11x．
这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x），
这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给B地带来的收入超过了A地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了．
解：设生物体死亡x年后，它体内碳14的含量为h(x)
如果把刚死亡的生物体内碳14的含量看成1个单位，那么
h(x), （x∈[0，＋∞））．
当生物体死亡10000年后，利用计算工具求得h(10000)=
所以，生物体死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的30%
（2）问题2中，生物体死亡10000年后，体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
实际应用问题中指数函数模型的类型
（1）指数增长模型
设原有量为，每次的增长率为，则经过次增长，该量增长到，则：
.
（2）指数减少模型
设原有量为，每次的减少率为，则经过次减少，该量减少到，则：
.
（3）指数型函数
把形如的函数称为指数型函数.
1.指数函数的概念：
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是
2.指数函数需要注意的几个点：
①指数函数的定义域是实数集；
②自变量是指数，且指数位置只能有这一项；
③底数只能有一项，且其系数必须为1；
④底数的范围是且.
3.幂函数与指数函数的区别

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