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第二章 函数
2.4.1 函数的奇偶性
1.理解奇偶性的概念；
2.会用定义判断简单函数的奇偶性.
平面直角坐标系
中心对称：
轴 对 称：
生活中的对称图形
x … -2 -1 0 1 2 …
… …
… …
问题1：完成下列表格，回答问题.
4
4
1
0
1
1
0
1
（1）对定义域中的每一个 x，-x 是否也在定义域内？
（2）f (x) 与 f (-x) 的值有什么关系？
函数的图象
关于y轴对称
1. 对定义域中的每一个x，
-x是也在定义域内；
2. 都有 f (x) = f (-x).
x … -2 -1 0 1 2 …
… …
… …
2
-2
1
0
-1
-1
0
1
-
（1）对定义域中的每一个 x，-x 是否也在定义域内？
（2）f (x) 与 f (-x) 的值有什么关系？
问题2：完成下列表格，回答问题.
函数的图象
关于原点对称
1. 对定义域中的每一个x，
-x是也在定义域内；
2. 都有-f(x)=f(-x)
-3
O
x
y
1
2
3
-1
-2
-1
1
2
3
-2
-3
-3
O
x
y
1
2
3
-1
-2
-1
1
2
3
-2
-3
1. 偶函数的定义：
已知某函数 f (x) 的定义域为A，如果对任意x∈A，都有f (-x) = f (x)，那么称函数 y = f (x) 是偶函数；
2.奇函数的定义：
已知某函数 f (x) 的定义域为A，如果对任意x∈A，都有 f (-x) = -f (x)，那么称函数 y = f(x) 是奇函数；
3.奇偶性：
如果一个函数 f (x) 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f (x) 具有奇偶性.
判定函数奇偶性基本方法:
① 定义法：先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x) 与 f (x)的关系；
② 图象法：看图象是否关于原点或 y 轴对称.
1.函数可划分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数；
2.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：
①若 f (x) 为奇函数，则 f (-x) = -f (x)也成立；
②若 f (x) 为偶函数，则 f (-x) = f (x) 也成立；
3.奇、偶函数性质：
①偶函数的定义域关于原点对称图象关于 y 轴对称；
②奇函数的定义域关于原点对称图象关于原点对称.
例1：判断下列函数是否具有奇偶性：
； ；
；
解：（1） f (-x) = (-x) + (-x)3 + (-x)5 = -(x + x3 + x5) = -f (x)；奇函数；
（2）非奇非偶函数；f (-x) 与 f (x) 即不相等也不为相反数；
（3）非奇非偶函数；f (-x) 与 f (x) 即不相等也不为相反数；
（4）非奇非偶函数 (定义域不对称)
例2：已知奇函数 f (x) 的定义域为 D，且0∈D，求证：f (0) = 0.
解：是奇函数，，即.
注意：若奇函数在 x = 0 处有定义，则该函数一定过原点.
1. 判断下列函数的奇偶性：
（1）y = -2x2 + 1，x∈R； （2）f (x) = -x|x|； （3）y = -3x + 1；
（4）f (x) = x2，x∈{-3，-2，-1，0，1，2}； （5）y = 0，x∈[-1，1].
（1）偶函数
（2）奇函数
（3）非奇非偶函数
（4）非奇非偶函数
（5）既是奇函数也是偶函数
2. 已知函数 f (x) 满足 f (-3) > f (-1) ，分别在下列条件下比较 f (3) 与 f (1).（1）f (x) 是偶函数； （2）f (x) 是奇函数.
解：（1）是偶函数，；
，；
（2）是奇函数，；
，，.
1. 定义：
已知函数 f (x) 的定义域为 A，如果对任意的 x∈A，都有 f (-x) = f (x)，那么称函数 y = f (x)是偶函数；
已知函数 f (x) 的定义域为 A，如果对任意的 x∈A，都有 f (-x) = -f (x)，那么称函数 y = f(x)是奇函数；
2.性质：① 偶函数的定义域关于原点对称图象关于 y 轴对称；
② 奇函数的定义域关于原点对称图象关于原点对称.
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