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3.1.2 表示函数的方法

学习目标
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.理解函数图象的作用.
导入新课
把一个函数的对应关系和定义域交代清楚的办法，就是表示函数的方法.
在初中数学中，我们用数学表达式、函数表或函数图象来表示函数.这是表示函数的三种主要方法，分别叫作解析法、列表法和图象法.
你知道哪些表示方法

数学研究的对象是抽象的.抽象的东西看不见摸不着,把它表示出来才便于研究.因此 , 数学讲究表示.
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知识点1：解析法
解析法就是用解析式来表示函数的方法.
把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式(也叫作函数表达式或函数关系式).
正方形面积????是边长????的函数,用公式????=????2(????∈(0,+∞))来表示,说明了????是????的函数.?
?
解析式
例题解析
例1 某地在山区修建水库大坝，坝高随山势起伏在10?????到 50?????之间变化.已知坝体的横断面为梯形,上底????为30?????,下底????与坝高????之间满
?
足关系式:????=30+4????.为估计修建大坝的土方量,需要把横断面面积表示为坝高的函数????=????(????),试写出该函数的解析式及其定义域,并求出坝高为15?????,20?????,30?????时大坝横断面的面积.
?
解:由题意可得函数????=????(?????)的解析式为
?
????????=????+????????2=
?
该函数的定义域为[10,50].
在实际问题中，函数的定义域受到实际意义的制约.
30+30+4????????2=2????2+30????.
?
简洁明了，便于计算函数值和推导函数的性质
解析法的优点：
例题解析
由函数解析式可求出坝高为15?????,20?????,30?????时大坝横断面的面积分别为????(15)=900?????2,????(20)=1400?????2,????(30)=2700?????2?.
?
解析法的缺点：
不够形象、直观、具体,而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来
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知识点2：列表法
商店里有些营业员为了工作的方便，对一些畅销商品，事先列好一张表备用.例如,某商品每件价格为1.45元,可以列出下表:
数量/件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
金额/元
1.45
2.9
4.35
5.8
7.25
8.7
10.15
11.6
13.05
14.5
这就是最简单的函数表示法——列表法，这里，自变量是商品的件数，而相应的金额就是商品件数的函数.
还比如，某水库的存水量????(104 ??????3?)与水库最深处的水深????(????)的关系如下表所示:
?
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水深 ????/????
5
10
15
20
25
30
35
存水量Q/(104 ??????3?)
20
40
90
160
275
437
650
5
10
15
20
25
30
35
20
40
90
160
275
437
650
从表中可以看到,每一深度????都对应唯一的一个存水量????,这个表就给出了????与????之间的对应关系,也就是函数关系.
?
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列表法的优点：
1.具体易用，不懂数学运算的人也能查表做事；
2.简单明了，对一些特定的自变量值，相应的函数值可以直接从表上查到.
列表法的缺点：
1.不够全面.
2.从表上也很难看出函数的数学性质.
？
数学用表在生活中是?很常见的.例如银行的储蓄利率表,保险公司的汽 车折旧保费表,税务部门 按不同收入的税率表,等 等.你能举出更多的例子吗?
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知识点3：图象法
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
5
10
15
20
T/℃
?
6
12
18
24
????/时
?
上图是自动测温仪测得某地某日从0时到24时的温度曲线.
说一说：你能从图中看出该地下午2—3时的气温吗?能看出这24小时内何时气温最低吗?
为了直观地了解函数的性质，常要作出函数的图象.??
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初中学过画函数图象的方法：_____________________.
列表、描点、连线
列表---先找出一些有代表性的自变量值????,并计算出与这些自变量相对应的函数值????(?????),用表格的形式表示出来；
描点---从表中得到一系列的点(????,????(?????))，在坐标平面上描出这些点；
连线---用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.
?
要作出更精确的图象，常常需要描出更多的点.?
例2 作出函数????=????,(????∈[0,16])的图像.
?
解:选择方便计算的几个数值,列表?
????
0
1
4
1
9
4
4
25
4
9
16
????
0
1
2
1
3
2
2
5
2
3
4
0
1
4
1
9
4
4
25
4
9
16
0
1
2
1
3
2
2
5
2
3
4
例题解析
根据表中数据在平面直角坐标系中描点、连线得下图.
图象法的优点：
能形象、直观地表现函数的变化情况.
不好直接根据自变量的值求函数值.
图象法的缺点：
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函数的三种表示方法,各有长处和不足,在对具体问题的研究中常常将不同的方法结合起来.在数学课程中,我们主要讨论的是解析法和图象法,并且经常把这两种方法结合起来讨论.
表示函数还有其他方法，如汽车司机要知道油箱里有多少油，用把带刻度的尺子放进去一量便知．因为油量是油深的函数，这个函数关系体现在尺子刻度上，这种表示函数的方法称为标尺法.
还如，科学研究中用到的大量函数，现在常用算法或程序来表示，而不是用列表法来表示．
函数还可以用描述法来表示．例如，当????为有理数时，让D(????)=1，否则让D(????)=0，这就定义了函数D(z).它叫作狄利克雷函数.
?
数形结合的思想
课堂练习
1.判断正误：
（1）任何一个函数都可以用列表法表示.（ ）
（2）任何一个函数都可以用解析法表示.（ ）
（3）函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.（ ）
×
×
×
2.函数????(????)=3?????1,????∈[1,5]的图象是（ ）
A.直线 B.射线 C.线段 D.离散的点
?
C
3.已知函数????(????)的图象如图所示，其中点A,B的坐标分别是(0,3)，(3,0)，则????(????(0))=____.
?
0
0
3
3
A
B
????
?
????
?
课堂练习
4.某商场新进了10台彩电，每台售价3000元,试求售出台数????
(????为正整数)与收款数????之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
?
解：①列表法：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
????/元
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
②图象法：
③解析法：
????=3000????,????∈{1,2,3,…,10}.
?
课堂练习
5.函数????(????)与g(????)的定义域均为[????,????] ,它们的图象如下图所
示,则不等式????(????)＞g(????)的解集是( ?).
A?[????, ?????)U(?????,??????)??????B (?????, ?????)U(?????, ?????]
C [????, ?????]U(?????,??????) ?? ??D (?????,??????)U(?????,??????)
?
A
6.已知函数????(????)，g(????)分别由下表给出:
?
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
1
2
3
????(????)
1
3
1
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
1
2
3
1
3
1
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
1
2
3
g(????)
3
2
1
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
1
2
3
3
2
1
则????(g(1))的值为___.满足????(g(????))＞g(????(????))的????的值是????????????.
?
1
2
课堂练习
7.(1)已知函数????(????)对任意????∈????满足等式????(1?????)=1+????2,求????(????).
?
解：∵????(1?????)=1+????2
?
∴设1?????=????，则????=1?????,
∴????(????)=1+(1?????)2=????2?2????+2,????∈????.
?
(2)已知函数????(????)是二次函数，且????(0)=1，????(????+1)?????(????)=2????,求????(????).
?
解：设????(????)=????????2+????????+????(????≠0)
?
∵????(0)=1,∴c=1.又∵????(????+1)?????(????)=2????
?
∴????(????+1)2+????(????+1)+1?(????????2+????????+1)=2????
?
换元法
待定系数法
课堂练习
整理，得2????????+(????+????)=2????.
?
由恒等式的性质，知2????=2????+????=0,解得????=1????=?1
?
∴????(????)=????2?????+1.
?
(3)已知函数????(????)对于任意的????都有????(????)?2????(?????)=1+2????,求????(????).
?
解：∵????(????)?2????(?????)=1+2????中，以?????代????可得，
?
????(?????)?2????(????)=1?2????，
?
联立可得????(????)?2????(?????)=1+2????????(?????)?2????(????)=1?2????，消去????(?????)得
?
????(????)=23?????1.
?
成对出现
方法提炼
求函数解析式的四种常用方法
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}配凑法
由已知条件????(g(????))=????(????)，可将????(????)改写成关于g(????)的表达式，然后以????替代g(????)，便得????(????)的表达式；
待定系数法
若已知函数类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法
换元法
已知复合函数????(g(????))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
解方程组法
已知关于????(????)与????(1????)（或????(?????)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出????(????)
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}配凑法
待定系数法
若已知函数类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法
换元法
解方程组法
课堂练习
8.作出下列函数的图象并求出其值域：
（1）????=2????+1,????∈[0,2]; （2）????=2???? ,????∈[2,+∞);
?
解：（1）当????∈[0,2]时，图象是直线????=2????+1的一部分，图象如下
?
IIIIIII
0
????
?
????
?
2
5
值域为[1，5]
解：(1)列表
????
2
3
4
5
…
????
1
23
12
25
…
2
3
4
5
…
1
…
????
?
????
?
IIIIIII
0
2
1
值域为(0，1]
方法提炼
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
用描点法作函数图象的三个关注点
课堂总结
表示函数的方法
解析法
列表法
其他表示法
图象法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
列出表格表示两个变量之间的对应关系
用图象表示两个变量之间的对应关系
标尺法、用算法或程序来表示、描述法

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