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(共23张PPT)
3.1.3 简单的分段函数
学习目标
1.通过具体实例,了解简单的分段函数.
2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.
3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.
导入新课
上节课，我们在介绍其它方法表示函数时，知道了狄利克雷函数：当为有理数时，,否则.像这种自变量取不同范围，有不同解析式的函数，是什么函数呢？
你还见过哪些这种函数？
例题解析
例1 为推进生态优先、节约集约 、绿色低碳发展,推动形成绿色低碳的生产方式和生活方式,某地采用分段计费的方法计算用户的电费:每月用电量不超过100kwh,按0.57元/(kwh)计费；每月用电量超过100kwh,其中100kwh仍按原标准收费,超过部分按1.5元/(kwh)计费.
(1)设月用电kwh,应交电费元,写出关于的函数解析式.
(2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表:

月 份 1 2 3 合 计
计费金额/元 114 75 45.6 234.6
问:小赵家第一季度共用电多少
分几部分计算？
例题解析
解：（1）当0≤≤100时,月电费=月用电量×标准电价,可得；
当>100时,月电费=100kWh的电费+超过100kWh部分的电费，可得
所以
（2）由（1）可知,当电费不超过57元时,说明月用电量不超过100kWh；当电费超过57元时，说明月用电量超过100kWh.因此,用电量应使用函数的不同关系式来计算．
因为1月份、2月份电费超过57元,所以按第二个函数关系式计算,即,,分别计算出1月份用电138kwh,2月份用电112kwh；而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算，有0.57=45.6,算出3月份用电80kwh.因此,小赵家第一季度共用电330kwh.
例题解析
新课学习
一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数.
思考
1.分段函数是几个函数？
2.分段函数怎么求函数值？
（1）分段函数是一个函数而不是几个函数.解决分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.
新课学习
（3）分段函数在书写时要用“{”把各段函数合并写成一个函数的形式，并且指明各段函数自变量的取值范围.
（2）作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象.
例2 画出函数的图象,并求的值.
例题解析
解：因为
=3，
怎么去绝对值
，
0
所以函数的图象为过原点且平分第一、第二象限的一条折线，如图所示
先画后裁再组合
例题解析
解:为了去掉绝对值符号，需分段讨论：
当时，
当-1≤≤2时，；
当＞2时，
例3 画出函数的图象.
怎么去绝对值
-1
2
-1≤≤2
＞2
分类讨论的思想
∴=
分段画出的图象.
3
-1
2
先画后裁再组合
作分段函数的图象，一段一段地按表达式画是基本方法．本例可更简单：因为和不论在哪一段中,去掉绝对值符号后所得的都是一次函数，其和(或差)是一次函数或常数函数,图象都是直线,每段都是线段或射线,要作出其图象,只要在每段上取两个点就够了,为了简单,尽可能取分段点.绝对值函数的分段点,就是绝对值符号中的量为0的点,所以的分段点在和之处.为了画出第一段和第三段的射线,再取和这样,即使不去掉绝对值符号,也能画图.
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
方法提炼
分段函数图象的画法
课堂练习
1.判断正误：
（1）分段函数由几个函数构成.（ ）
（2）分段函数有多个定义域.（ ）
（3）函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( )
（4）函数可以用分段函数表示.( )
×
×
×
√
2.函数的定义域为_________________________, 值域为________________________.
(-∞,0)∪(0,+∞)
{-2}∪(0,+∞)
课堂练习
3.已知函数=,
(1)求，，的值；
解：(1)由-5(-∞,-2]，(-2,2)，,
知
∴==
.
∵=,且-2＜＜2.
思考
自变量属于哪个区间？代入哪个解析式？
(2)若求实数的值；
课堂练习
在哪个区间？
分类讨论
要不重不漏
解：①当≤-2时，+1=3，即=2＞-2，不合题意，舍去；
②当-2＜＜-2时，，即=1或=-3.1(-2,2)
∴=1符合题意.
③当≥2时，1=3，即=2符合题意.
综上可得：当时，=1或=2.
(3)若＞2,求的取值范围.
课堂练习
①当≤-2时,＞2可化为＞2,即＜1，所以≤-2；
②当-2＜＜2时，＞2可化为＞2,即，
所以-2＜＜0，或0＜＜2；
③当≥2时,＞2可化为＞2,则
综上可得，的取值是(-∞，0)∪(0,2).
(1)分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求得．
(2)含有多层“”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处理．
(3)已知函数值求相应的自变量值时,应在各段中分别求解．
1.分段函数求值
方法提炼
2.解分段函数不等式
要注意分类讨论，分类标准是分段函数的分段区间．先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，最后取并集即可．
课堂练习
4.已知函数的图象如图所示,求的解析式.
解：由题图可知，图象由两条线段组成，
线段
①当-1≤＜0时，设,
将（-1,0）,（0,1）代入解析式,则
∴
②当0≤≤1时,设，将（1，-1）代入，则=-1.
∴
方法提炼
由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
定类型
设函数式
列方程(组)
下结论
根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型
设出函数解析式
根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式
最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围
课堂练习
5.某市有A,B两家羽毛球俱乐部,两家俱乐部的设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元,某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时.
(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动小时的收费为元(12≤≤30),在B俱乐部租一块场地开展活动小时的收费为g()元(12≤≤30),试求与g()的解析式；
(2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
课堂练习
解：（1）由题意得
（2）①当时，令=90，解得=15.
即当＜15时，＜；当=15时，
当≤20时，＞.
②当≤30时，＞.
综上，当12＜15时，选A俱乐部划算；当=15时，两家俱乐部一样合算；当≤20时，选B俱乐部合算.
课堂总结
分段函数
定义域
值域
图象
实际应用
每段上自变量取值范围的并集
每段因变量取值范围的并集
先画后裁再组合
求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理
在前面，我们介绍了f(x）=|x|是一个分段函数（|x|也写作abs（x），在数学里，还有几个很常用的分段函数，例如，常用[x]表示不大于x的最大整数，如[4]一4，[4.1]=4，[-3.14]=-4等，[x]叫作整数部分函数．对应地，{x}=x-[x]叫作小数部分函数，例如{4}=0，{4.1}=0.1，{一3.14}=0.86等.还有一个符号函数sgn(x)，当x>0时，sgn(x)=l；当x=0时，sgn(x)=0；当x<0时，sgn(x)=-1.
多知道一点
常用的分段函数

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