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3.2.1 函数的单调性与最值

学习目标
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.
2.会用定义法证明函数的单调性.
3.理解函数单调性和最值的作用和实际意义.
变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质.给定一个函数的解析式或图象,你能不能从中看出这个函数的性质呢?
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函数尽管千变万化,但函数值毕竟是实数,实数变化,无非是变大变小.要问函数的性质,首先在大小上做文章.大,大到什么程度,上面封顶不封顶?小,小到什么程度,下面保底不保底?
概括来说,对函数性质的研究,我们首先关心的是函数值的变化范围(封顶和保底)和变化趋势(走高和下滑).即函数的单调性和最值.
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下图是某报2016年11月刊登的上海证券交易所综合股价指数(简称上证指数)一年多来的走势曲线图.
从图上能得到什么信息？
? 自2015年6月份以来,上证指数从最高点震荡后总体一路下跌,虽中途偶有攀升,但到2016年2月份震荡下跌,几乎到最低点.随后又回升至3000点,呈现平稳的态势.
从图上观察函数的性质,如果只靠眼睛观察得到的认识是否准确呢? 从有界限的图怎能看出函数值是无界限的呢? 描点连线画图的可靠性如何保证呢?
思考

上图是计算机用描点连线的方法画出的同一个函数的两个图象.虚线是取10个点描出的,实线是取50个点描出的,两者明显不同.
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可见,光靠描点作图看图来研究函数的性质还不够.从解析式出发研究函数性质，在数学推理的指导下画图,对函数的性质会了解得更全面、更准确,为此要用更严密的数学语言来描述函数的性质.
想一想：观察上面三个函数的图象，我们发现它们都有最大值，怎么用数学语言来描述函数的最大值呢？
设????是函数????(????)的定义域，????是????的一个非空子集.
(1)函数的最大值
如果有????∈????，使得不等式????(????)≤????(????)对一切????∈????成立，就说????(????)在????=????处取到最大值????=????(????)，称????为????(????)的最大值，????为????(????)的最大值点.
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最小值和最小值点呢？
如果有????∈????，使得不等式????(????)≥????(????)对一切????∈????成立，就说????(????)在????=????处取到最小值????=????(????)，称????为????(????)的最小值，????为????(????)的最小值点.
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最大值和最小值统称为最值.
(1)最大(小)值的几何意义：函数图象最高(低)点的纵坐标.
(2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如????＝????，????∈R.
(3)一个函数至多有一个最大(小)值.
(4)对于定义域内的任意????都满足????(????)≤????(????(????)≥????)，????不一定是函数????(????)的最大(小)值，只有定义域内存在一点????0，使????(????0)＝????时，????才是函数的最大(小)值，否则不是.
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对最值定义的理解
如果对于区间????上任意两个值????1,????2,当????1＜????2时,都有????(????1)＜????(????2), 就称????(????)是区间????上的增函数,也称????(????)在区间????上单调递增.
如果对于区间????上任意两个值????1,????2,当????1＜????2时,都有????(????1)＞????(????2)，
就称????(????)是区间????上的减函数,也称????(????)在区间????上单调递减.
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如果函数????=????(?????)在区间????上是增函数或减函数，那么就说函数????=????(?????)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间????叫作????=????(?????)的单调区间.
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(2)函数的单调性
1.函数的单调性是函数在某个区间上的性质（局部性质）,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,也就是单调区间是定义域的某个非空子集.
2.对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.
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对单调性的理解
例题解析
证明：设????1和????2是任意的两个实数，且????1????(????2)?????(????1)=(3????2+b)?(3????1+????)=3(????2?????1)>0
于是 ????(????2)＞????(????1)
由函数单调性的定义可知，函数????(????)是????上的增函数.
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例1 证明：定义在R上的函数????(????)=3????+????是增函数.
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假如????1＞????2，怎么判断是增是减？
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当????2?????1与 ????(????2)?????(????1)同时为正数时，????(????)是增函数；
当????2?????1与 ????(????2)?????(????1)同时为负数时，????(????)是减函数.
当????2?????1与 ????(????2)?????(????1)同号，????(????)是增函数；
当????2?????1与 ????(????2)?????(????1)异号，????(????)是减函数.
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作 差 法
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实际计算中，也可将 ????(????2)?????(????1)与????2?????1相除，然后根据商????(????2)?????(????1)????2?????1的正负来判别????(????2)?????(????1)与????2?????1是同号还是异号，进而判别????(????)是增函数还是减函数.
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例1用差商法怎么证？
证明：设????1和????2是任意的两个实数，且????1则????(????2)?????(????1)????2?????1 = 3(????2?????1)????2?????1=3＞0
于是 ????(????2)＞????(????1)
由函数单调性的定义可知，函数????(????)是????上的增函数.
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差 商 法
例题解析
例2 证明函数????????=????+1??????????>0?在区间（0，1]上单调递减，在
区间1,+∞?上单调递增，并指出0,+∞的最值点和最值.
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解：①设????1和????2是区间（0，1]上的任意实数，且满足????1＜????2,则
????=????????2?????(????1)????2?????1=????2+1????2?(????1+1????1)????2?????1=1?1????1????2,
由于01???
所以????=1?1????1????2<0
所以函数????????=????+1??????????>0?在区间（0，1]上单调递减.
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②设????1和????2是区间1,+∞上的任意实数，且满足????1????=????????2?????(????1)????2?????1=????2+1????2?(????1+1????1)????2?????1=1?1????1????2,
由于1≤????1＜????2 所以????1????2>1 , 1????1????2＜1 ,所以 ????=1?1????1????2>0
即该函数在区间1,+∞?上单调递增
由①②可知，在0,+∞上，函数在????=1处取得最小值，最小值为????(1)=2,最小值点是1.
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例题解析
方法提炼
证明函数在定义域????的某个区间????上的单调性方法
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作差法：
取值
作差变形
定号
结论
任取????1,????2∈????,设????1?
作差????(????2)?????(????1)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积的形式
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确定????(????2)?????(????1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论
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根据定义得出结论
例题解析
例3 若函数????????=????2+2(?????1)????+2在区间(-∞,4)上单调递减,求实数????的取值范围.
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解:?因为二次函数????????=????2+2(?????1)????+2的图象的对称轴为直线?????=1??????,且开口向上,所以函数????????在区间(-∞,1?????]上单调递减.
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又已知该函数在区间(-∞,4)上单调递减,则1?????≥4，即????≤-3.
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故实数????的取值范围为(-∞,??3].
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课堂练习
1.求证：函数????????=????+1????在（0,1）上是减函数.
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证明：任取????1，????2∈(0,1)且????1?
????????1?????????2=????1+1????1?????2+1????2=????1?????2+1????1?1????2
=????1?????2+????2?????1????1????2=????1?????21?1????1????2=????1?????2????1????2?1????1????2。
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∵0∴????????1?????????2＞0，即????????1＞????????2，
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∴函数????????=????+1????在（0,1）上是减函数.
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课堂练习
2.画出函数????=?????2+2∣????∣+3的图象，并指出函数的单调区间.
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解：????=?????2+2∣????∣+3=?(?????1)2+4,????≥0?(????+1)2+4,????＜0
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函数图象如图所示
3
4
-1
1
????
?
????
?
函数在（-∞，-1]，[0,1]上是增函数，函数在[-1,0]，[1，+∞)上是减函数.所以函数的单调递增区间是（-∞，-1]和[0,1]，单调递减区间是[-1,0]和[1，+∞).
方法提炼
1.用图象法求函数单调区间的步骤
（1）作图：作出函数的图象.
（2）结论：上升图象对应单调递增区间,下降图象对应单调递减区间.
2.常见函数的单调区间
(1)????=????????+????,????＞0时，单调递增区间为(-∞,+∞)，????＜0时，单调递减区间为(-∞,+∞).
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(2)????=????????,????＞0时，单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞)，????＜0时，单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞).
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课堂练习
3.已知函数????????=????????2?????+????+1在(-∞，2)上单调递减，则????的取值范围是（ ）
A.(0,14] B.[0,14] C.[2,+∞) D.[0,4]
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4.已知函数????????=????2+????????+????在(-∞,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，且????????+2＜????2,则实数????的取值范围是_________________.
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B
(-2,0)
将“????”符号脱掉，转化为具体的不等式求解
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课堂练习
4.已知函数????????=2????+1????+1.
(1)判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.
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解：(1)????????在(-1,+∞)上为增函数，证明如下：
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设?????1,????2∈(?1,+∞),且????1＜????2，则
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????????1?????????2=2????1+1????1+1?2????2+1????2+1=(????1?????2)(????1+1)(????2+1).
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∵-1＜????1＜????2 ∴????1+1＞0,????2+1＞0,????1?????2＜0
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课堂练习
∴????????1?????????2＜0,即????????1＜????????2，
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所以????????在(-1,+∞)上为增函数.
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(2)由（1）可知????????在[2,4]上单调递增，所以
????????的最小值为????2=2×2+12+1=53，
????????的最大值为????4=2×4+14+1=95.
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利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤:
（1）判断函数的单调性；（2）利用单调性求出最值.
方法提炼
利用单调性求最值的常用结论
（1）如果函数????????在区间[????,????]上是增（减）函数，则????????在区间[????,????]的左、右端点处分别取得最小（大）值和最大（小）值.
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（2）如果函数????????在区间(????,????]上是增函数，在区间[????,????)上是减函数，则函数????????在区间（????,????）上有最大值????????.
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（3）如果函数????????在区间(????,????]上是减函数，在区间[????,????)上是增函数，则函数????????在区间（????,????）上有最小值????????.
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课堂练习
5.已知函数????????=????2?????????+1
(1)求????????在[0,1]上的最大值；
(2)当????=1时，求????????在闭区间[????,????+1]（????∈????）上的最小值.
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解：（1）因为函数????????=????2?????????+1的图象开口向上，其对称轴方程为????=????2,所以区间[0,1]的哪个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
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当????2≤12，即????≤1时，????????的最大值为????1=2?????；
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当????2＞12，即????＞1时，????????的最大值为????0=1.
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课堂练习
（2）当????=1时，????????=????2?????+1，其图象的对称轴方程为????=12
?
①当????≥12时，????????在[????,????+1]上是增函数，
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∴????????????????????=????????=????2?????+1；
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②当????+1≤12时，即????≤?12时，????????在[????,????+1]上是减函数，
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∴????????????????????=????????+1=????2+????+1；
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③当????＜12＜????+1，即?12＜????＜12时，函数????????在[????，12]上单调
递减，在[12，????+1]上单调递增，所以????????????????????=????12=34.
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方法提炼
1.含参数的二次函数最值问题的三种类型
（1）区间固定，对称轴变动（含参数），求最值.
（2）对称轴固定，区间变动（含参数），求最值.
（3）区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
2.含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为????=????(????+?)2+????的形式，再依????的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴????=??得出顶点的位置，再根据????的定义区间结合大致图象确定最大值或最小值.
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课堂总结
函数的单调性与最值
函数的
单调性
定义
判断
应用
增函数
减函数
求最值
定义
图象

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