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3.2.2 函数的奇偶性

学习目标
1.结合具体函数了解奇函数、偶函数的概念.
2.会判断函数的奇偶性.
3.根据奇偶性求函数值或解析式.
导入新课
图（1）中的两个函数图象都是我们熟悉的,它们有什么共同点?
（1）
（2）
图（2）中的两个函数图象都是我们熟悉的,它们有什么共同点?
轴对称
图形，
对称轴
是????轴
?
中心对称图形，对称中心为原点
新课学习
如果????(?????)的图象是以????轴为对称轴的轴对称图形,就称????(?????)是偶函数.
如果????(?????)的图象是以原点为中心的中心对称图形,就称????(?????)是奇函数.
?
怎样用数学符号语言来描述函数的奇偶性呢?
直线AB平行于????轴，????(?????)=????(????)
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思考
如果对一切使????(????)有定义的????,????(?????)也有定义,并且????(?????)=????(????).则称????(?????)为偶函数.
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????
?
????
?
????(????,????(????))
?
????(-????,????(?????))
?
????
?
-????
?
新课学习
????(????,????(????))
?
????(-????,?????(????))
?
A,B关于原点对称，????(?????)=?????(????)
?
? 如果对一切使????(????)有定义的????，????(?????)也有定义，并且????(?????)=?????(????),?则称????(????)为奇函数.
?
(1)定义域????具有对称性,即?????∈????，－????∈????,也就是说奇、偶函数的定义域要关于原点对称,定义域不关于原点对称时,????(????)是非奇非偶函数.
(2)当????(????)的定义域关于原点对称时,要看????(????)与????(－????)的关系：
①????(－????)＝????(????)?????(????)是偶函数；
②????(－????)＝－????(????)?????(????)是奇函数；
③????(－????)≠±????(????)?????(????)是非奇非偶函数；
④????(－????)＝±????(????)?????(????)既是奇函数又是偶函数.
这样的函数只有一类，即????(????)＝0，????∈????，且????关于原点对称.
?
新课学习
对奇偶性的理解
？
想一想: 函数????(????)=????????2+????????+???? 在什么条件下是偶函数?在什么条件下是奇函数? 在什么条下是非奇非偶的函数? 在什么条件下既是奇函数又是偶函数?
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偶函数：当且仅当????=0
?
????(????)=????????2+????????+???? 的定义域是R
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奇函数：当且仅当????=0且????=0
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非奇非偶函数：当????≠0且不满足????=0且????=0
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既是奇函数又是偶函数：当且仅当????=0，????=0，????=0
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例题解析
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1）????(????)=????2+∣????∣ (2)g(????)=????+????????；（3）?(????)=????3(????∈[-2,5]).
?
解：（1）函数????(????)的定义域为R.因为对?????∈????,均有?????∈????,且
????(?????)=(?????)2+∣?????∣=????2+∣????∣=????(????)，所以????(????)为偶函数.
?
（2）函数g(????)的定义域为{????∣????≠0}.因为对?????∈{????∣????≠0},均有?????∈{????∣????≠0},且g(?????)=?????+????(?????)=?(????+????????)=?g(????),所以g(????)为奇函数.
?
（3）因为?(????)的定义域关于原点不对称，所以?(????)既不是奇函数也不是偶函数.
?
例题解析
例2 设g(????)是定义于[-5，5]上的函数，且????(????)=g(????)+g(?????)讨论????(????)的奇偶性；如果在[0，5]上????(????)=1?2????,试求????(????)在[-5 ,0]上的表达式.

?
解:因为g(????)的定义域为[?5,5],
所以????(????)=g(????)+g(?????)的定义域也为[?5,5].
又????(?????)=g(?????)+g(?(?????))=g(?????)+g(????)=????(????),?
所以????(????)为偶函数.
当????∈[—5,0]时,?????∈[0,5] ,
由偶函数的性质得????(????)=????(?????)=1?2(?????)=1+2????.
?
课堂练习
1.判断下列函数的奇偶性：
（1）????(????)=2?∣????∣； （2）????(????)=????2?1+1?????2；
（3）????(????)=?????????1; （4）????(????)=????+1,????>0?????+1,????<0.
?
解：(1)因为????(????)的定义域是R,关于原点对称，又
????(?????)=2?∣?????∣=2?∣????∣=????(????),所以????(????)为偶函数.
?
(2)∵????(????)的定义域为{-1,1},关于原点对称，且????(????)=0，
又∵????(?????)=?????(????),????(?????)=????(????)，
∴????(????)既是奇函数又是偶函数.
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课堂练习
（3）∵????(????)的定义域为{????∣????≠1}，不关于原点对称，
?
∴????(????)是非奇非偶函数.
?
（4）∵????(????)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称.
?
当????>0时，?????<0，????(?????)=1?(?????)=1+????=????(????);
?
当????<0时，?????>0，????(?????)=1+(?????)=1?????=????(????);
?
综上可知，对于????∈(-∞,0)∪(0,+∞)，都有????(?????)=????(????)，
故????(????)为偶函数.
?
①求函数的定义域.若定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，则
②求?????????.看????????与????(?????)之间的关系；
③判断：若?????????=????(????)，则????(????)为偶函数；
若?????????=?????(????)，则????(????)为奇函数；
?
方法提炼
函数奇偶性的判断方法
（1）定义法：
（2）图象法：
????????的图象
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关于原点对称
关于????轴对称
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????(????)为奇函数
?
????(????)为偶函数
?
课堂练习
2.已知奇函数????(????)的定义域为[-5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象；
(2)写出使????(????)＜0的????的取值集合.
?
IIIIIIIIIII
????
?
????
?
0
2
5
-5
-2
解：（1）∵函数????(????)是奇函数，所以????=????(????)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由????=????(????)在[0,5]上的图象可知它在[-5,0]上的图象，如图所示.
?
（2）由图象知，使????(????)＜0的????的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
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方法提炼
巧用奇函数、偶函数的图象求解问题
（1）依据：奇函数?图象关于原点对称，偶函数?图象关于????轴对称.
?
（2）求解：根据奇函数、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇函数、偶函数图象的问题.
课堂练习
3.若函数????(????)=????????2+????????+3????+????是偶函数，定义域为[????-1,2????]，则????=__________,????=______________.
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4.已知????(????)是R上的奇函数，且当????∈(0,+∞)时，????(????)=????(1+????),求????(????)的解析式.
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0
解：∵????∈(?∞,0)时，?????∈(0,+∞)，
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∴????(?????)=?????[1+(?????)]=????(?????1)
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∵????(????)是R上的奇函数,∴????(????)=-????(?????)=-????(?????1),????∈(?∞,0)
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又????(0)=0，所以????(????)=????(1+????)，????≥0?????(?????1),????<0.
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13
?
方法提炼
利用函数奇偶性求函数解析式的三个步骤
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式.????就
应在哪个区间上设.
（2）转化到已知区间上,代入已知的解析式.
（3）利用????(????)的奇偶性写出?????(????)或????(?????)，从
而解出????(????).
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课堂练习
5.若对于任意实数????,总有????(?????)=????(????),且????(????)在区间(?∞,?1]上是增函数，则（ ）
A.????(?32)＜????(?1)＜????(2)
B.????(2)＜????(?32)＜????(?1)
C.????(2)＜????(?1)＜????(?32)
D.????(?1)＜????(?32)＜????(2)
?
B
课堂练习
6.已知定义在[-2,2]上的奇函数????(????)在区间[0,2]上是减函数，若????(1?????)?
解：因为????(????)在区间[-2,2]上为奇函数，且在区间[0,2]上是
减函数，所以????(????)在区间[-2,2]上为减函数.
?
又????(1?????)????,即?1≤????≤3?2≤????≤2????<12
?
解得-1≤????<12.故实数????的取值范围是[-1，12).
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课堂总结
函数的奇偶性
定义
图象
定义域关于原点对称
偶函数?????????=????(????)
奇函数?????????=?????(????)
?
关于原点对称
奇函数
偶函数
关于????轴对称

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