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(共21张PPT)
12.1　命题、定义、定理与证明
第2课时　定义、定理与证明
第12章　全等三角形
学习目标
1.正确理解公理和定理的含义以及它们与命题之间的相互联系与区别.
2.会区分公理和定理的题设和结论，把一个命题写成“如果......那么......”的形式.
3.体会命题证明的必要性，了解证明的步骤和格式.
问题1：什么是命题？命题的结构是什么？
定义：判断一件事情的语句.
构成：每个命题都是由题设、结论两部分组成.
命题常写成“如果……那么……”的形式.
问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
真命题和假命题.
举反例.
复习回顾
判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明：
(1)两个锐角的和等于直角；
(2)两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
解：(1)假命题，例：50°和20°是两锐角，
但50°＋20°＝70°≠90°.
(2)假命题，例：如图，直线AB、CD被EF所截，
但AB不平行于CD，此时，∠EMB≠∠END.
复习回顾
讲授新课
我们已经学过线段、角、平行线等许多名词，我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义，例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义，这样的语句叫做这些名词的定义.
想想看，你还学过哪些定义
(1)两点确定一条直线；
(2)两点之间，线段最短；
(3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
回忆一下，我们学过哪些真命题？
这些都是公认的真命题，我们把它视为基本事实.
讲授新课
基本事实：
公认的真命题视为基本事实.
它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点.
定理：
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
讲授新课
基本事实、定理、真命题之间的联系与区别：
命题
真命题
定理
从基本事实或其他真命题出发
可以作为进一步判断其他命题真假的依据
基本事实与定理的联系与区别：
定理与基本事实都是真命题，都是我们解决问题的依据，
它们的区别是：基本事实是公认的真命题，不需要推理论证；
定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的.
讲授新课
1.下列关于基本事实和定理的联系的说法，不正确的是(　　)
A.基本事实和定理都是真命题
B.基本事实就是定理，定理就是基本事实
C.基本事实和定理都可以作为推理的依据
D.基本事实的正确性不需要证明，定理的正确性需要证明
B
小牛试刀
2.下列命题可以作为定理的有(　　)
①两直线平行，同旁内角互补
②相等的角是对顶角
③等角的补角相等
④垂线段最短
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
小牛试刀
思考：(1)一位同学在钻研数学题时发现：
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数.他的结论正确吗？
2+1=3，
2×3+1=7，
2×3×5+1=31，
2×3×5×7+1=211.
计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？
讲授新课
思考：(2)如图所示，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？
讲授新课
思考：(3)我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于(n-2)×180°.这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
上面几个例子说明：通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
讲授新课
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.
证明：
证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等量代换、等式的性质、不等式的性质等.
证明的依据：
讲授新课
典例精析
例.已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证：∠1+∠2=180°.
1
2
b
c
3
a
证明：∵a∥b(已知)，
∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等).
∵∠1+∠3=180°(平角的定义)，
∴∠1+∠2=180°(等量代换).
证明的一般步骤是：
①审清题意，找出命题中的条件和结论；
②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形；
③用数学语言写出“已知”“求证”；
④找出证明思路；
⑤写出证明过程，每一步都要有理有据；
⑥检查表达过程是否正确、完整.
讲授新课
3.如图，已知AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为点E、F，直线PQ分别交AB、CD于点S、T.求证：∠AST=∠STD.
对于上述问题，请将下列证明过程补充完整.
证明：∵AB⊥MN，CD⊥MN(已知)，
∴AB∥CD(在同一平面内，
垂直于同一条直线的两条直线平行)，
_____________________________
_________________________________________
∵AB和CD被PQ所截，
∴∠AST＝∠STD(两直线平行，内错角相等).
小牛试刀
把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它们的条件和结论，并用演绎推理证明题所示的定理：
(1)同旁内角互补，两直线平行；
当堂检测
解：如果同旁内角互补，那么两条直线平行.
条件是“同旁内角互补”，结论是“两条直线平行”.
已知：如图，直线AB、CD和直线EF交于点G、H，
∠BGH＋∠GHD＝180°，求证：AB∥CD.
证明：∵∠BGH＋∠GHD＝180°，∠1＋∠BGH＝180°，
∴∠1＝∠GHD(等角的补角相等)，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它们的条件和结论，并用演绎推理证明题所示的定理：
(2)三角形的外角和等于360°.
当堂检测
已知：如图，△ABC中，∠DAC，∠EBA，∠BCF为△ABC的外角.
求证：∠DAC＋∠EBA＋∠BCF＝360°.
证明：由题意，可得∠BAC＋∠CAD＝180°，
∠ABC＋∠EBA＝180°，∠BCA＋∠BCF＝180°，
∴∠BAC＋∠CAD＋∠ABC＋∠EBA＋∠BCA＋∠BCF＝540°.
由三角形内角和定理知∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠DAC＋∠EBA＋∠FCB＝540°－180°＝360°.即三角形外角和等于360°.
定义、定理与证明
基本事实
定理
定义.
常见的几条基本事实.
证明
定义.
与基本事实的区别.
定义.
证明的一般步骤.
课堂小结
再见！

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