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(共23张PPT)
12.3　等腰三角形
第2课时　等腰三角形的判定
第12章　全等三角形
1.会做辅助线证明等腰三角形的判定定理.(重点)
2.会应用等腰三角形判定定理证明等边三角形判定定理.(重点)
3.能综合应用等腰三角形性质与判定定理、等边三角形的性质
定理与判定定理解决有关问题.(难点)
学习目标
小鹿在做作业时，不小心将墨水滴到了一个三角形上，只
留下一条底边BC和一个底角∠C，已知在△ABC中，AB=AC，
请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
A
新课引入
知识点一　等腰三角形的判定
探索：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
画画看，你发现了什么？
讲授新课
思考：证明两条线段相等常用什么方法？
有哪些构造全等三角形的方法？
C
A
B
2
1
D
(
(
已知：在△ABC中，∠B=∠C(如图).求证：AB=AC.
讲授新课
在△ABD与△ACD中，
∠1=∠2(角平分线的定义)，
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∠B=∠C(已知)，
AD=AD(公共边)，
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)，
∴△ABC是等腰三角形.
证明：画∠BAC的平分线交BC于点D.
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？
讲授新课
C
A
B
2
1
D
(
(
已知：在△ABC中，∠B=∠C(如图).求证：AB=AC.
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形，即有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简写成“等角对等边”.
等角对等边
等边对等角
归纳总结
∴AC=AB(等角对等边).
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C(已知)，
在△ABC中，
应用格式：
B
C
A
(
(
归纳总结
例1.如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°.
求证：AB=AC.
A
B
C
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，
∠A=40°，∠B=70°(已知)，
∴∠C=180°-∠A-∠B(等式的性质)，
=180°-40°-70°=70°，
∴∠C=∠B(等量代换)，
∴AB=AC.
典例精析
例2.如图，AB∥CD，∠1=∠2，求证：AB=AC.
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠1(等量代换).
∴AB=AC(等角对等边).
1
2
A
B
C
D
(
(
典例精析
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是
等腰三角形的是(　　)
A.∠A＝50°，∠B＝70°
B.∠A＝70°，∠B＝40°
C.∠A＝30°，∠B＝90°
D.∠A＝80°，∠B＝60°
B
当堂检测
2.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有___________________________.
36°
72°
△ABC、
△DBA、
△BCD
A
B
C
D
(
(
1
2
当堂检测
3.如图，在△ABC中，∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，过点
P作DE∥AB，分别交BC，AC于点D，E.
求证：DE＝BD＋AE.
当堂检测
证明：∵DE∥AB，
∴∠ABP＝∠DPB，∠BAP＝∠EPA.
∵∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，∴∠ABP＝∠DBP，
∠BAP＝∠EAP，∴∠DBP＝∠DPB，∠EAP＝∠EPA，
∴DP＝DB，EP＝EA，∴DP＋EP＝DB＋EA，即DE＝BD＋AE.
知识点二　等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件就是等边三角形
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；
2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些定理吗？
A
C
B
讲授新课
A
B
C
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A=∠B=∠C.
求证：AB=AC=BC.
证明：∵∠A=∠B，
∴AC=BC.
∵∠B=∠C，
∴AB=AC.
∴AB=AC=BC.
讲授新课
判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
A
B
C
已知：若AB=AC，∠A=60°.
求证：AB=AC=BC.
证明：∵AB=AC，∠A=60°.
∴∠B＝∠C＝ (180°－∠A)=60°.
∴∠A=∠B=∠C.
∴AB=AC=BC.
讲授新课
例3.如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'=90°，AB=A'B'，
AC=A'C'，求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
A
C
B
B'
A'
C'
B
(A)
(C)
证明：由于直角边AC=A'C'，我们通过平移和轴对称，改变Rt△ABC的位置，使点A与点A'、点C与点C'重合，且使点B与点B'分别位于A'C'的两侧.
典例精析
∵∠ACB'=∠A'C'B'=90°(已知)，
∴∠B'C'B=∠A'C'B'+∠A'C'B'=180°，即点B'、C'、B在同一条直线上，
在△A'B'B中，∵A'B'=AB=A'B(已知)，∴∠B=∠B'(等边对等角).
在△ABC和△A'B'C'中，∵∠B=∠B'(已证)，∠ACB=∠A'C'B'(已知)，
AC=A'C'(已知)，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS).
证明一个三角形是等边三角形，要根据已知条件选择适当的方法.
(1)如果已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定.
(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定.
(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定.
归纳总结
4.如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，
则图中共有等边三角形(　　)
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
D
当堂检测
5.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3 cm，则△ABC的周长
为___cm.
9
6.已知：AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB，AE⊥AC.
(1)∠C＝________，∠B＝________；
30°
30°
当堂检测
6.已知：AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB，AE⊥AC.
(2)求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵AD⊥AB，AE⊥AC(已知)，
∴∠BAD＝∠EAC＝90°(垂直的定义).
∴∠B＝∠C＝30°(已知)，
∴∠ADB＝∠AEC＝60°(直角三角形的两个锐角互余).
∴∠ADB＝∠AEC＝∠EAD＝60°.
∴△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
当堂检测
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
等角对等边.
课堂小结
等腰三角形
的判定
等腰三角形
的判定
等边三角形
的判定
再见！

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