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2.4 等腰三角形的判定定理
第2章 特殊三角形
学习目标
1.掌握等腰三角形判定定理.
2.在证明题中，通过角相等推导边相等，或通过边相等构造等腰三角形.
3.结合全等三角形、平行线等知识，综合解决几何图形中的边角关系问题.
新课引入
同学们，观察下图教室的门，当门打开时，门框和门形成的三角形形状如何变化？在什么情况下，这个三角形看起来两边长度相等？
在开门的过程中，两边长度相等，形成等腰三角形.
如何用数学方法验证一个三角形是等腰三角形？
除了测量两边长度，还有其他判定方法吗？
A
探究新知
B
C
AB
AC
等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
探究1.在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同
侧画两个相等的锐角，两角的另一边相交于点 A.量一量，线段 AB 与AC相等吗？
其他同学的结果与你的相同吗？你发现了什么规律？
线段AB与AC 相等.
探究新知
探究2.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C.求证：△ABC是等腰三角形.
在△ABD和△ACD中，
因为∠1 = ∠2（角平分线的定义），
∠B = ∠C（已知），AD = AD（公共边），
可得△ABD≌△ACD（AAS），
从而有AB=AC（全等三角形的对应边相等），
所以△ABC是等腰三角形.
上述判定定理可以简单地说成：在同一个三角形中，等角对等边.
1
2
A
B
C
D
证明：如图所示，作△ABC的角平分线AD.
探究3.已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C，
求证：△ABC是等边三角形（即AB=BC=CA）.
证明：∵∠A=∠B，
∴根据等角对等边，BC=AC.
∵∠B=∠C，
∴根据等角对等边，AC=AB.
∵∠A=∠C，
∴根据等角对等边，AB=BC.
综上，AB=BC=CA，即△ABC的三条边都相等.
探究新知
探究新知
探究4.已知：等腰三角形ABC，∠A=60?，求证：△ABC是等边三角形.
证明：(1)当∠A为底角时，因为△ABC是等腰三角形，所以
∠A=∠B=60?，则顶角为180?-60?×2=60?，可得这个等腰
三角形的三个角都相等，所以这个等腰三角形是等边三角形.
分析：因为已知 60?的角可能是等腰三角形的底角，也可能是顶角，
所以分两种情形：
(2)当∠A为顶角时，因为△ABC是等腰三角形，则底角为(180?-60?)÷2=60?，
可得这个等腰三角形的三个角都相等，所以这个等腰三角形是等边三角形.
归纳总结
等边三角形的判定定理：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形.
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
例题讲解
例1.一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量点A，B之间的距离.同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点 A出发，沿着与直线AB成 60?角的
AC方向前进至C，在C处测得∠C=30?.量出AC的长，它就是河的宽度（即点A，
B之间的距离）.这个方法正确吗？请说明理由.
解：这个方法正确.理由如下：
因为∠CAD=∠B+∠C（三角形的外角等于
与它不相邻的两个内角的和），
而∠B=∠CAD-∠C=60?-30?=30?，
则∠B=∠C，
所以AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）.
1.在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明
AD⊥BC的是( )
A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC
课堂练习
B
课堂练习
2.在下列命题中：①有一个外角是120?的等腰三角形是等边三角形；
②有两个内角是60?的三角形是等边三角形；
③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
④底边相等的两个等腰三角形全等.正确的命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
3.如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，
再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，
垂足为D，则∠OBD的度数是___________.
30?
课堂练习
课堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，AC于点E，连接BE，如果∠ABE=2∠CBE，那么∠A的度数是.
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，∴∠ABE=∠A，
∵AB=AC，∴∠ABE=2∠CBE，
∴∠ABC=32∠ABE=32∠A.
∵∠ABC+∠C+∠A=180?，
∴32∠A+32∠A+∠A=180?.
∴∠A=45?.
?
课堂练习
5.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，点E、M、F分别是AB、BC、AC上的点，ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是.
解：∵AB=AC=5，∴∠B=∠C.
∵ME∥AC，∴∠BME=∠C.
∴∠BME=∠B，∴BE=EM.
同理CF=MF，
∵AB=AC=5，
∴四边形MEAF的周长为
AE+EM+AF+MF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=5+5=10.
6.如图所示，在一个房间内，一把长1.5米的梯子CD斜靠在墙上，此时梯子与地面夹
角为75?，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为CE），
此时梯子与地面夹角为45?，那么D、E两点间的距离是多少米.
∵∠ACD=75?，∠BCE=45?.
∴∠DCE=180?-75?-45?=60?.
∵梯子长度不变，
∴CD=CE=1.5米.
∴△DCE是等边三角形.
∴DE=CD=1.5米.
课堂练习
解：连接DE.
本课结束

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