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(共22张PPT)
2.5　逆命题和逆定理
第2章　特殊三角形
1.了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题或定理，
能正确写出一个命题的逆命题并判断其真假.
2.探索并证明线段垂直平分线性质定理的逆定理，发展推理能力.
学习目标
对某件事作出正确或不正确判断的句子叫作命题.
命题的结构：命题由题设、结论组成.
命题有真有假.
正确的命题是真命题，错误的命题是假命题.
旧识回顾
知识探究
对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而
第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为
逆命题.如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它
的逆命题.
(1)任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个
命题之间的关系；
(2)原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然.
知识探究
例题精讲
例1.指出下列命题的条件和结论，并写出它们的逆命题.
(1)同角的补角相等；
解：条件是“两个角是同一个角的补角”，结论是“这两个角相等”.
逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角”.
例题精讲
例1.指出下列命题的条件和结论，并写出它们的逆命题.
(2)等底等高的三角形的面积相等.
解：条件是“两个三角形有一边和这条边上的高分别相等”，
结论是“这两个三角形的面积相等”.
逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形有一边
和这条边上的高分别相等”.
知识探究
写一个命题的逆命题的方法：
写原命题的逆命题时，现将原命题写成“如果 ，那么 ”的
形式，再互换条件与结论，进而写出原命题的逆命题.
知识探究
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为
原定理的逆命题，这两个定理互为逆定理.
(1)任何命题都有逆命题，但不一定每个定理都有逆定理.
只有当原定理的逆命题能被证明是真命题时，才能称这个逆命题
为原定理的逆定理.
(2)互逆命题不一定都是真命题，但互逆定理一定都是真命题.
知识探究
例2.命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题
是__________________________________________，
它们__________(填“是”或“不是”)互逆定理.
例题精讲
三组角分别对应相等的两个三角形全等
解析：命题的条件是“两个三角形全等”，结论是“三组角分别对应
相等”，因此它的逆命题是“三组角分别对应相等的两个三角形全等”，
显然它是假命题，故它们不是互逆命题.
不是
(1)任意作一条线段，并画出它的中垂线.
(2)线段的中垂线(垂直平分线)有什么性质？
A
B
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
O
D
C
P
(3)请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
按要求作答：
知识探究
A
P
B
已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
O
C
解：这个定理的逆命题是：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
知识探究
A
P
B
O
C
证明：①当点P不在线段AB上时，
作PC⊥AB于点O.
∵PA=PB，PO⊥AB，
∴OA=OB(等腰三角形三线合一性质).
∴PC是AB的垂直平分线.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
②当点P在线段AB上，结论显然成立.
A
B
P
P
P
P
P
P
知识探究
内容 几何语言 图示
线段两端距离 相等的点在线段的 垂直平分线上.
知识探究
解：逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等.”
这个逆命题是假命题.举反例如下：
如图，在△ABC和△ABE中，CD，EF分别是
△ABC和△ABE的AB边上的高线，且CD=EF，
则△ABC和△ABE的面积相等，
但显然他们不全等.
所以这个命题是假命题.
例3.说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个
命题的真假，并给出证明.
例题精讲
C
A
B
D
E
F
1.判断下列说法是否正确？请说明理由.
(1)假命题没有逆命题；
(2)真命题没有逆命题；
(3)每个命题都有逆命题；
(4)真命题的逆命题是真命题.
√
×
×
×
知识巩固
同位角相等，两直线平行；
(2)同位角相等；
相等的角是同位角；
(3)既是中心对称，又是轴对称的图形是圆.
2.说出下列命题的逆命题，并判定是真命题还是假命题：
圆既是中心对称，又是轴对称的图形.
(1)两直线平行，同位角相等；
真命题
真命题
假命题
假命题
假命题
真命题
知识巩固
3.写出下列各命题的逆命题，并判断互逆命题的真假：
(1)同位角相等；
(2)如果|a|=|b|，那么a=b；
(3)等边三角形的三个角都是60°.
逆命题：相等的角是同位角；
逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|；
逆命题：三个角都是60°的三角形是等边三角形.
假命题
真命题
真命题
知识巩固
解： .理由如下：
，点在线段 的垂直平分线上.
∵，所以 ，
∴点在线段 的垂直平分线上.
由“两点确定一条直线”可知线段所在的直线是线段 的
垂直平分线，
又∵为 上任意一点，∴ .
4.如图所示，， ，连结为上
任意一点，试判断与 的数量关系，并说明理由.
知识巩固
知识总结
逆命题和
逆定理
逆命题
逆定理
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称
之为原定理的逆命题，这两个定理互为逆定理.
对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而
第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为
逆命题.
线段垂直
平分线的
性质定理的
逆定理
线段垂直
平分线的
性质定理
互逆
本
课
结
束

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