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第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系（第二课时）
第二章 匀变速直线运动的研究
人教版（2019）必修第一册
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匀变速直线运动常用的三个基本公式：
1.速度时间公式：
2.位移时间公式：
3.速度位移公式：
由这三个基本公式，我们还可以得到其他哪些有用的公式呢？
物理观念
1.运动观念：理解匀变速直线运动位移随时间变化的规律，能区分匀速与匀变速运动的位移公式差异，明确公式中各物理量的含义及单位。
2.相互作用观：结合加速度的产生原因，认识到位移与时间的关系是物体受力产生加速度后的运动表现，建立力、加速度、位移的关联。
科学思维
1.模型建构：通过 v-t 图像推导位移公式，建立匀变速直线运动的数学模型，能用公式描述实际运动情境（如刹车、自由落体）。
2.科学推理：从匀速运动位移公式推广到匀变速运动，通过微元法理解 “面积表示位移” 的逻辑，培养推理能力。
学习目标
科学探究
1.实验探究：通过打点计时器实验，测量匀变速运动的位移和时间，验证位移公式，体会实验数据与理论的结合。
2.创新应用：能设计简单方案（如斜面小车实验）研究位移随时间的变化，尝试用不同方法处理数据（如图像法、公式法）。
科学态度
与责任
1.严谨态度：强调公式适用条件（匀变速、直线），培养用规范公式解题的习惯，避免忽略矢量方向（正负号）的错误。
2.社会责任：认识位移公式在交通（如刹车距离计算）、工程中的应用，体会物理知识的实用价值。
学习目标
重点难点
重点
1.匀变速直线运动的位移与速度的关系式及其应用。
2.匀变速直线运动的位移与速度的关系式的及其应用。
难点
1.相关规律的推导及其应用。
1. 平均速度和中间时刻速度
2. 中间位置的速度
3.逐差法
4.初速度为零的匀加速直线运动规律
5. 课堂总结
6. 练习与应用
7. 提升训练
学习内容
第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
一、平均速度和中间时刻速度
第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
一、平均速度和中间时刻速度
如图所示,一物体做匀变速直线运动,初速度为v0,末速度为v,这段时间中间时刻的瞬时速度为????????2,试推导????、????????2？
?
方法一　图像法
0~t时间内的位移x=????0+????2t
平均速度????=????????=????0+????2
中间时刻的瞬时速度的大小对应梯形中位线与图像交点的纵坐标,故????????2=????0+????2=????。
?
一、平均速度和中间时刻速度
方法二　解析法
中间时刻的瞬时速度????????2=v0+12at,该段时间的末速度v=v0+at,由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式可得????=????????=????0????+12????????2????=v0+12at=????????2,又????=v0+12at=2????0+????????2=????0+????0+????????2=????0+????2,即????=????0+????2=????????2。
?
如图所示,一物体做匀变速直线运动,初速度为v0,末速度为v,这段时间中间时刻的瞬时速度为????????2,试推导????、????????2？
?
一、平均速度和中间时刻速度
1.匀变速直线运动的平均速度公式:????=????????2=????0+????2
(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度,还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度,选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式,即????????2=????0+????2,????=????????。
2.三个平均速度公式的比较
????=????????适用于任何运动;
????=????0+????2及????=????????2仅适用于匀变速直线运动。
?
一、平均速度和中间时刻速度
【例1】测试中,我国国产大飞机C919做匀变速直线运动的初速度v0=2 m/s,4 s内位移为20 m,求:
(1)飞机4 s内的平均速度大小;
(2)飞机4 s末的速度大小;
(3)飞机2 s末的速度大小。

【解析】（1）利用平均速度公式????=????????=204 m/s=5 m/s
?
（2）因为????=????0+????2，则v=2????-v0=8 m/s
?
（3）2 s末为0~4 s的中间时刻????????2=????=5 m/s。
?
一、平均速度和中间时刻速度
【例2】(2023·揭阳市高一期末)小张通过无人机来拍摄城镇的风景,携带摄像机的无人机质量m=2 kg,t=0时刻,无人机由静止起飞,沿竖直方向做匀加速直线运动,t1=6 s时无人机达到最大速度,此时距地面的高度为54 m,然后匀减速直线上升,t2=15 s时无人机的速度恰好减为0,悬停在空中拍摄取景。求:
(1)无人机上升过程中的最大速度;
(2)无人机悬停时距地面的高度。
一、平均速度和中间时刻速度

【解析】（1）无人机做匀加速直线运动阶段有h1=0+????max2t1,
所以无人机上升过程中的最大速度为vmax=18 m/s
?
（2）无人机做匀减速直线运动阶段有h2=????max+02(t2-t1)=18+02×9 m=81 m,
所以无人机悬停时距地面的高度为h=h1+h2=54 m+81 m=135 m。
?
二、中间位置的速度
第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
二、中间位置的速度
若一物体做匀加速直线运动,初速度为v0,末速度为v,位移为x,这段位移中间位置的瞬时速度为??????2。比较????????2与????????2的大小。
?
对于前半段位移：
设中间位置的瞬时速度为： ，
对于后半段位移：
由公式 得：
二、中间位置的速度
1.中点位置的瞬时速度公式:????????2=????02+????22。
2.适用条件:匀变速直线运动。
3.对于任意一段匀变速直线运动,无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动,中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度,即????????2>????????2。
?
二、中间位置的速度
【例2】做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时，其速度分别为v和7v，经时间为t，则下列说法正确的是（　　）
A．经A、B中点时速度为
B．经A、B中点时速度为4v
C．从A到B所需时间的中间时刻的速度为4v
D．从A到B所需时间的中间时刻的速度为5v
二、中间位置的速度

【解析】AB．根据匀变速直线运动的运动规律中间位置的速度与初、末速度的关系
经过A、B两点中点时的速度为
故AB错误；
CD．根据匀变速直线运动的运动规律
从A到B所需时间的中间时刻的瞬时速度为
故C正确，D错误。故选C。
三、逐差法
第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
三、逐差法
如图所示,一物体做加速度为a的匀变速直线运动,取任意两个连续相等的时间T,它们的位移分别为x1、x2、x3、x4试推导x2-x1、x3-x2、x4-x2，并说明规律？
T
T
T
xI
xII
xIII
三、逐差法
T
T
T
xI
xII
xIII
……
三、逐差法
T
T
T
xI
xII
xIII
x1
x2
x3
……
三、逐差法
……
三、逐差法
位移差公式:Δx=aT2
1.内容:做匀变速直线运动的物体,在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定,即Δx=aT2。
2.推论:对于不连续的相等时间内的位移差,xm-xn=(m-n)aT2,其中m>n。
三、逐差法
【例3】 (多选)(2024·襄阳市高一期中)一质点做匀加速直线运动,第3 s内的位移为12 m,第5 s内的位移为20 m,则该质点运动过程中
A.第4 s内位移为16 m
B.加速度大小为4 m/s2
C.第1 s初的速度大小为零
D.前5 s内的位移为50 m
三、逐差法

【解析】根据连续相等时间内发生的位移差和加速度的关系可知x4-x3=aT2,x5-x4=aT2,联立解得x4=16 m,a=4 m/s2,故A、B正确;
由中间时刻速度与平均速度关系可知,2.5 s时的瞬时速度满足v2.5=????=????3????
=121 m/s=12 m/s,第1 s初即初始时刻,此时的速度满足v2.5=v0+at2.5,解得v0=2 m/s,故C错误;
前5 s内的位移满足x=v0t5+12a????52=(2×5+12×4×52) m=60 m,故D错误。
?
三、逐差法
【例4】(2024·厦门市双十中学月考)某自动化设备从固定斜面的顶端O点每隔0.1 s静止释放一个同样的小球,释放后小球做匀加速直线运动。在连续释放多个小球后,某时刻设备监测人员发现斜面上A、B、C三点刚好各有一个小球,而OA之间因为有障碍物遮挡导致看不到小球(障碍物不影响小球在斜面上的运动)。已知xAB=15 cm,xBC=20 cm。求:
(1)小球的加速度大小;
(2)小球在C点的速度大小;
(3)该时刻斜面上A点上方还有几个小球?
三、逐差法

【解析】（1）由推论Δx=aT2小球的加速度为a=?????????????????????????????2=0.20?0.150.12 m/s2=5 m/s2
?
（2）由题意知B点对应AC段的中间时刻,可知vB=????????????2????=0.15+0.202×0.1 m/s=1.75 m/s
小球在C点的速度为vC=vB+aT，代入数据得vC=2.25 m/s
?
（3）由vA=vB-aT，得小球在A点的速度为vA=1.25 m/s，则小球从静止释放到运动到A点所需时间tA=????????????=0.25 s，由于????????????=2.5
故A点上方还有2个球。
?
四、初速度为零的匀加速直线运动规律
第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
四、初速度为零的匀加速直线运动规律
在初速度为零匀加速直线运动中，物体的速度与时间、位移与时间、速度与位移存在怎样的关系？
1.速度时间公式：
2.位移时间公式：
3.速度位移公式：
或
四、初速度为零的匀加速直线运动规律
1. 1T末，2T末，3T末，...，nT末速度之比
T
T
T
四、初速度为零的匀加速直线运动规律
2. 前1T内、前2T内、前3T内……前nT内的位移之比
T
T
T
x1
x2
x3
四、初速度为零的匀加速直线运动规律
3. 第1个T内、第2个T内、第3个T内……第n个T内的位移之比：
T
T
T
x1
x2
x3
xII
xI
xIII
x1＝xⅠ=
x2＝xⅡ－xⅠ=
x3＝xⅢ－xⅡ=
xn＝xN－xN－1=
……
四、初速度为零的匀加速直线运动规律
4.通过1x末、2x末、3x末…nx末的瞬时速度之比
x
x
x
四、初速度为零的匀加速直线运动规律
5.通过位移为x、2x、3x…nx所用时间之比：
x
x
x
四、初速度为零的匀加速直线运动规律
6.通过第1个x、第2个x、第3个x…第n个x所用时间之比
x
x
x
t1＝T1=
t2＝T2－T1=
t3＝T3－T2=
……
四、初速度为零的匀加速直线运动规律
1.等分时间
(1) 1T末，2T末，3T末，...，nT末速度之比
(2)前1T内、前2T内、前3T内……前nT内的位移之比
(3) 第1个T内、第2个T内、第3个T内……第n个T内的位移之比：
四、初速度为零的匀加速直线运动规律
2.等分位移
(1)通过1x末、2x末、3x末…nx末的瞬时速度之比
(2)通过位移为x、2x、3x…nx所用时间之比：
(3)通过第1个x、第2个x、第3个x…第n个x所用时间之比
四、初速度为零的匀加速直线运动规律
【例5】 (多选)一个物体做初速度为零的匀加速直线运动,比较它在开始运动后第1 s内、第2 s内、第3 s内的运动,下列说法中正确的是
A.1 s末、2 s末、3 s末速度之比是1∶2∶3
B.第1 s内、第2 s内、第3 s内各段时间经历的位移大小之比是1∶3∶5
C.第1 s内、第2 s内、第3 s内各段时间的平均速度之比是1∶3∶5
D.第1 s内、第2 s内、第3 s内各段时间中间时刻的瞬时速度之比是
1∶2∶3
四、初速度为零的匀加速直线运动规律

【解析】由于物体做初速度为零的匀加速直线运动,所以其1 s末、2 s末、3 s末的瞬时速度之比为1∶2∶3,A正确;
前1 s内、前2 s内、前3 s内位移之比为1∶4∶9,则第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5,B正确;
根据匀变速直线运动的平均速度公式????=????????=????????2,可得第1 s内、第2 s内、第3 s内各段时间的平均速度之比等于各时间段内的位移之比,也是各时间段中间时刻的瞬时速度之比,由B中分析可知比值为1∶3∶5,C正确,D错误。故选BC.
?
四、初速度为零的匀加速直线运动规律
【例6】 (多选)(2024·深圳市高一期中)如图所示,光滑固定的斜面AE被分成等距离的四段,一物体在A点由静止释放,物体沿斜面做匀加速直线运动,则下列说法正确的是
A.物体通过各点的瞬时速度大小之比为vB∶vC∶vD∶vE
=1∶2∶3∶4
B.物体从A点到达各点所经历的时间之比tB∶tC∶tD∶tE=1∶2∶3∶2
C.通过各段位移所用时间之比为1∶(2-1)∶(3-2)∶(2-3)
D.物体经过BC段和CD段的速度变化量大小相等
?
四、初速度为零的匀加速直线运动规律

【解析】根据v2=2ax得v=2????????,物体通过各点的瞬时速度大小之比vB∶vC∶vD∶vE=2????????∶2????×2????∶2????×3????∶2????×4????=1∶2∶3∶2,故A错误;根据v=at,可得t=????????,则物体从A点到达各点所经历的时间之比等于速度之比为tB∶tC∶tD∶tE=1∶2∶3∶2,故B正确;tAB=tB=t0,tBC=tC-tB=(2-1)t0,tCD=tD-tC=(3-2)t0,tDE=tE-tD=(2-3)t0,故tAB∶tBC∶tCD∶tDE=1∶(2-1)∶(3-2)∶(2-3),故C正确;物体在A点由静止释放,物体沿斜面做匀加速直线运动,相等距离所用时间越来越小,由Δv=aΔt,可知ΔvBC>ΔvCD,故D错误。
?
五、课堂总结
第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
三、课堂总结
推论
公式
中间时刻速度
条件
v0=0匀加速直线运动的规律
公式
匀变速直线运动
中间位置速度
逐差法
公式
?x=aT2
六、练习与应用
第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
六、练习与应用

六、练习与应用
六、练习与应用

六、练习与应用
六、练习与应用

六、练习与应用
六、练习与应用

六、练习与应用
六、练习与应用

六、练习与应用
七、提升训练
第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
七、提升训练
七、提升训练

七、提升训练
七、提升训练

七、提升训练
七、提升训练

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