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2.7 第2课时 勾股定理的逆定理
第2章 特殊三角形
学习目标
1.理解并能准确复述勾股定理逆定理的内容.
2.能根据给定三边长度，通过计算验证是否满足逆定理条件，并判断三角形是否为直角三角形.
3.能通过构造法或反证法初步理解逆定理的证明思路，体会几何命题的互逆性.
4.能结合全等三角形等知识，解释逆定理与勾股定理的逻辑闭环关系.
新课引入
古埃及人在没有特殊工具的时候用以下的方法来得到直角：将一根绳子12等分，
在3个单位长和7个单位长的地方做好标记，然后将绳子连成环形并在接口处做好
标记，最后分别在三个做好标记的地方将绳子拉直，就得到了一个直角.
思考：古埃及人是怎么确定得到的是直角三角形的呢？
新课引入
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}边长组合
是否满足a2+b2=c2
最大角度数
是否为直角三角形
3，4，5
5，12，13

6，8，10

7，8，9
提供不同长度的小棒(如3cm、4cm、5cm；5cm、12cm、13cm；6cm、8cm、10cm；
7cm、8cm、9cm等).分别拼成三角形，并用量角器测量最大的角.
是(25=16+9)
是(169=25+144)
是(100=36+64)
否(81≠49+64)
90?
90?
90?
约80?
是
是
是
否
学习新知
一般地，我们有下面勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形
是直角三角形.
例题精讲
例1.根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形.
(1)a=7，b=24，c=25；
(2)a= 23 ，b=1，c= 23.
?
解：(1)因为72+242=252，所以以7，24，25为边的三角形是直角三角形.
(2)因为 ，也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方，
可知a，b，c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方，
所以以 ，1， 为边的三角形不是直角三角形.
例题精讲
解：△ABC是直角三角形.证明如下：
已知 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2(m＞n，m，n 是正整数)，
因为a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2
=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+n4
=(m2+n2)2
=c2，
所以△ABC 是直角三角形(勾股定理的逆定理).
例2.已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2(m＞n，m，n 是正整数).
△ABC是直角三角形吗？证明你的判断.
拓展延伸
1.如图，小微同学想测量一条河的宽度MP，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她
在地面上取一个参考点H，发现MP延长线上的点N处有一棵大树，用测距仪测得
MH=34米，NH=30米，HP=31米，已知MN=16米，请你计算这条河的宽度MP.
(结果保留根号)
解：∵MN=16米，NH=30米，MH=34米，
∴MN2+NH2=MH2，
∴△MNH是直角三角形，且∠N=90?，在Rt△NPH中，HP=31米，NH=30米，
∴NP=????????2?????????2=61米，
∴MP=MN-NP=(16-61)米，
即这条河的宽度MP为(16-61)米.
?
解：∵∠B=90?，AB=3，BC=4，
∴AC=????????2+????????2=32+42=5，
∴CD=12，AD=13，
∴AC2+CD2=52+122=25+144=169，AD2=132=169，
∴AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90?，
∴????四边形????????????????=?????????????????+?????????????????=12×3×4+12×5×12=36.
?
拓展延伸
2.如图，在四边形ABCD中，∠B=90?，AB=3，BC=3，点D是Rt△ABC外一点，
连接CD、AD，且CD=12，AD=13.求四边形ABCD的面积.
1.已知，△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A.b2-c2=a2 B.a=3，b=4，c=5
C.∠A+∠B=∠C D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
巩固练习
D
巩固练习
2.在下列由线段a，b，c组成的三角形中，是直角三角形的是( )
A.a=2，b=3，c=4 B.a=6，b=6，c=8
C.a=5，b=12，c=13 D.a=5，b=8，c=10
C
巩固练习
3.如图，在4×4方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，
这样的能作出( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.7个
C
∵∠B=90?，AB=4，BC=3
根据勾股定理得：AC=????????2+????????2=5，
又∵CD=12，AD=13，
∴CD2+AC2=169，AD2=169，∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90?，
∴????四边形????????????????=???????????????????????????????????=12×5×12?12×3×4=24.
?
巩固练习
4.如图，在四边形ABCD中，∠B=90?，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13.
求四边形ABCD的面积.
解：如图所示，连接AC，
课堂小结
勾股定理的逆定理
内容
实际应用
若一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2(其中c为最长边)，则这个三角形是直角三角形，且直角对着最长边c.
(1)逆定理是“由边长关系推直角”.
(2)必须验证最长边的平方是否等于另两边的平方和.
1.实际问题验证：建筑中检查墙角是否垂直(如用卷尺测量
边长后计算验证).
2.综合题型：与勾股定理结合，先通过边长判定形状，再
求面积或高.
本课结束

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