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2.7 第1课时 勾股定理
第2章 特殊三角形
学习目标
1.理解勾股定理的本质与几何证明，通过拼图法（如赵爽弦图）、面积割补法等直观方式，理解定理的几何推导过程.
2.熟练计算直角三角形的边长，解决含特殊比例的直角三角形问题（如3∶4∶5，5∶12∶13等常见勾股数）.
3.应用勾股定理解决实际问题.
1.小明家装修时需要将一幅2.5米宽的画斜着搬进房间，门框的高度是2米，
宽度是1.2米.他能成功搬进去吗？
新课引入
1.2 米
斜边
2.5米
斜边
2米
思考：直角三角形的三条边之间是否存在某种数量关系？
新课引入
同学们自己动手拼一拼.
2.剪四个全等的直角三角形纸片图1，把它们按放入一个边长为c的正方形中.
这样就拼成了一个形如图2的图形.
b
c
C
a
B
A
图1
a
b
c
图2
a
b
c
图2
a
b-a
3.设剪出的直角三角形纸片的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c.分别计算
图 2中的蓝色部分的面积和大、小两个正方形的面积.
蓝色部分面积：2ab.
大正方形的面积：c2.
小正方形的面积：(b-a)2.
新课引入
所以c2=a2+b2.
思考：比较图2中蓝色部分和大、小两个正方形的面积，你发现了什么？
新课引入
a
b
c
图2
a
b-a
大正方形的面积=蓝色部分的面积+小正方形的面积.
c2=2ab+(b-a)2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2.
学习新知
我国早在三千多年前就知道直角三角形的这个性质.古人称直角三角形的
直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质
也称为勾股定理.
a
b
c
直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系：
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么c2=a2+b2.
例题精讲
例1.已知在△ABC中，∠C=Rt∠，BC=a，AC=b，AB=c.
（1）若a=1，b=2，求c；
（2）若a=15，c=17，求b.
解：（1）根据勾股定理，得c2=a2+b2=12+22=5.
因为c＞0，所以c=5.
?
（2）根据勾股定理，得b2=c2-a2=172-152=64.
因为b＞0，所以b=8.
例题精讲
例2.如图，是一个长方形零件图.根据所给的尺寸（单位：mm），求两孔中心
A，B之间的距离.
解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，
则∠ACB=90°，
AC=90-40=50（mm），BC=160-40=120（mm）.
在Rt△ACB中，由勾股定理，得
AB2=AC2+BC2=502+1202=16 900（mm2）.
因为AB＞0，所以AB=130 mm.
答：两孔中心A，B之间的距离为 130 mm
拓展延伸
已知：a，b，c满足|?????12|+?????5+(?????13)2=0．
（1）求a，b，c的值；
（2）请判断以a，b，c为边构成的△ABC的形状，并说明理由.
?
（2）以a，b，c为边构成的△ABC是直角三角形，
理由如下：a=12，b=5，c=13，
∴a2+b2=122+52=144+25=169，c2=132=169，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形.
解：（1）由题意得a-12=0，b-5=0，c-13=0，
解得a=12，b=5，c=13.
巩固练习
1.如图，已知矩形OABC的边OA在数轴的正半轴上，O为原点，BC=3，AB=1，连接OB，以O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D对应的数为________.
10
?
巩固练习
2.如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为_______.
10
?
巩固练习
3.一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角0.7米（即AO=0.7米），
由于楼梯滑动，底部滑动了1.3米（即AD=1.3米），楼梯的高度为2.5米
（即AB=2.5米），则楼梯下滑了________米.
0.9
巩固练习
4.已知在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.
（1）若a=1，b=2，求c；
（2）若a=15，c=17，求b.
解：（1）根据勾股定理得：a2+b2=c2
因为a=1，b=2，所以代入得c=±5，
因为c＞0，所以c=5.
?
（2）根据勾股定理b2=c2-a2，
因为a=15，c=17，所以代入得b=±8，
∵b＞0，所以c=8.
课堂小结
勾股定理
内容
证明方法
实际应用
定理表述：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何表述：a2+b2=c2.
面积割补法
赵爽弦图法
1.求边长（注意区分直角边和斜边）.
2.解决梯子靠墙、航海距离、旗杆高度等现实问题，
建立直角三角形模型.
本课结束

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