资源简介

2025-2026学年江苏省南通市崇川区九年级（上）数学月考试卷（10月）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2.将抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得到的抛物线为( )
A. B.
C. D.
3.抛物线的对称轴是直线( )
A. B. C. D.
4.如图，点，，，都在上，且若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，的半径为，，是弦上的一个动点不与，重合，符合条件的的值不可能是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，是的直径，点、在上，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 图象的对称轴是直线
8.如图，这是某公园一座抛物线型拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到函数，在正常水位时，水面宽为米，当水位上升米时，水面宽为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
9.已知二次函数，点，是其图象上两点，( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.若对于一切实数，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.二次函数的对称轴为直线 ．
12.二次函数的图象关于直线对称，则 ．
13.抛物线顶点在轴上，则 ．
14.如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为
15.如图，的直径平分弦不是直径若，则
16.当时，函数的函数值随着的增大而减小，的取值范围是 ．
17.如图，在半径为的中，弦，为优弧的中点，为上一点，于点，于点，连结若，则 ．
18.在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部包括边界，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象抛物线中的实线部分，它的关联矩形为矩形若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为．
求这个二次函数的表达式；
当时，的取值范围为______；
将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点．
20.本小题分
如图，，为直径，弦，分别与半径，相交，且．
求证：；
若，且，求的度数．
21.本小题分
如图，为的直径，且于点连接，，．
求证：；
若，，求弦的长．
22.本小题分
已知抛物线，点为抛物线顶点．
若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式；
当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标；
在的条件下，当，函数有最小值，求的值．
23.本小题分
如图，中，以为直径作，交边于点，交的延长线于点，连接，．
求证：；
若，，求的长．
24.本小题分
小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为元，当销售单价定为元时，每天可以销售件．市场调查反映：销售单价每提高元，日销售将会减少件，物价部门规定：销售单价不能超过元，设该纪念品的销售单价为元，日销量为件，日销售利润为元．
求与的函数关系式；
求日销售利润元与销售单价元的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润
25.本小题分
已知二次函数与轴有两个交点．
Ⅰ求取值范围；
Ⅱ当取最小整数时，此二次函数的对称轴和顶点坐标；
Ⅲ将Ⅱ中求得的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象请你求出新图象与直线有三个不同公共点时的值．
26.本小题分
如图，抛物线交轴于点和点，交于轴点，为抛抛物线顶点，点在抛物线上．
求该抛物线所对应的函数解析式；
求四边形的面积；
如图，直线垂直于轴于点，点是线段上的动点除、外过点作轴的垂线交抛物线于点，连接、．
当是直角三角形时，求出所有满足条件的点的横坐标．
如图，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案与解析
1.【答案】
【解析】解：因为是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：将抛物线向下平移个单位长度，所得到的抛物线为，即为，再向右平移个单位长度，所得到的抛物线为，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：根据，其对称轴为直线可得：
，
那么其对称轴为直线，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，分别连接、，则，且，
在中，，
，
点线段上不与重合，则，即，
，
选项D符合题意；
故选：．
6.【答案】
【解析】解：是的直径，
，
，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：、由抛物线开口向上，可知，二次函数的图象与轴交于正半轴，则，对称轴，，所以，所以，故A错误，符合题意；
B、二次函数的图象与轴有两个交点，，故B不正确，不符合题意；
C、由图可知，图象上横坐标为的点在轴上方，即，故C不正确，不符合题意；
D、二次函数的图象经过点，，故对称轴为直线，因此D正确，符合题意；
故选：．
8.【答案】
【解析】解：米，
当时，．
当水位上升米时，，
把代入得，，
解得，
此时水面宽米．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：二次函数，
抛物线开口向上，
当或时，，
抛物线的对称轴为直线，
如图，
当时，点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大，
观察图象可知，此时，
故选：．
10.【答案】
【详解】解：当时，不等式化为，显然满足题意，
故符合题意；
当时，只需成立，
解得，
综上可知，则的取值范围是．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：对称轴为直线．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
13.【答案】
【详解】解：抛物线
顶点在轴上，
，
解得：．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
由题意可得：，
，
故答案为：．
15.【答案】
【详解】解：直径平分弦，
，
，
，
，
故答案为：．
16.【答案】
【详解】二次函数的解析式的二次项系数是，
该二次函数的开口方向是向上
又该二次函数的图象的顶点坐标是，
该二次函数图象时，是减函数，即随的增大而减小
而已知中当时，随的增大而减小，
．
故答案为．
17.【答案】
【解析】解：过点作于点，连接，，，
由条件可知，
，
是等腰三角形，
，，
，
由条件可知点在上，
的半径为，
，
，
，
，
于点，，
，
，
，
，
，，
≌，
．
故答案为：．
18.【答案】或
【详解】由，当时，，
，
，四边形是矩形，
，
当抛物线经过时，将点，代入，
解得：
当抛物线经过点时，将点，代入，
解得：
综上所述，或，
故答案为：或．
19.【答案】；
；
或．
【解析】根据题意，设二次函数的表达式为．
将代入，得，，
解得，
．
当时，，
抛物线的顶点坐标为，
的最小值为，
当时，的取值范围为
故答案为：；
当抛物线与轴只有一个公共点时，向上平移个单位长度得，
与轴只有一个交点即，
当时，，
与轴的有一个交点即，
符合题意；
当与原点相交时，，向上平移个单位长度，
函数解析式为：，
当时，，
解得：，，
所得交点为，，符合题意；
该抛物线向上平移或个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点．
故答案为：或．
20.【答案】证明：，为直径，
，
，
，
，
即，
；

【解析】证明：，为直径，
，
，
，
，
即，
；
解：由条件可知的度数为，
的度数为，
的度数为，
的度数为．
21.【答案】为的直径，
，
即，
，
，
，
同角的余角相等，
已知，
等边对等角，
等量代换；

【解析】证明：为的直径，
，
即，
，
，
，
同角的余角相等，
已知，
等边对等角，
等量代换；
解：，
，
，，
，
，，
在中，，
．
22.【答案】；
，点的坐标为；
或
【解析】将代入抛物线解析式得：
，解得，
．
，
，顶点的坐标为，
，
当时，的最大值为，
此时点的坐标为．
当时，，
当时，函数有最小值．
时，函数的最小值是，
的取值范围一定在对称轴的左边或者右边．
当时，时有最小值，
，
解得，，
，
．
当时，时有最小值，
，
解得，，
，
．
综上所述或．
23.【答案】【小题】
证明：为直径，
，即，
，
．
【小题】
解：，
，
，
，
，
，
由可得：，，
，
．

24.【答案】【小题】
解：根据题意得，，
故与的函数关系式为；
【小题】
根据题意得，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，，
答：当为时，日销售利润最大，最大利润元．

25.【答案】解：Ⅰ抛物线与轴有两个交点，
．
．
的取值范围为．
Ⅱ，且取最小的整数，
．
．
对称轴为：顶点坐标为；
Ⅲ翻折后所得新图象如图所示．
平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点．
当直线位于时，此时过点，
，即．
当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点
方程，即有两个相等实根．
，即．
综上所述，的值为或．
26.【答案】解：抛物线经过点，，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
，
顶点，
，，
，且轴，
，
；
点在线段上
不可能为直角，
当为直角三角形时，有或，
当时，则，
，，
直线解析式为，
设直线解析式为，
把代入可求得，
直线解析式为，
联立直线和抛物线解析式可得
解得或，
舍或舍，
此种情况不存在，
当时，设，
设直线的解析式为，
把、坐标代入可得，
解得，
设直线解析式为，同理可求得，
，
，即，
解得，
当时，
，
舍，
当时，
，点横坐标为，
综上可知：点横坐标，
设，
由、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，；
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
则是为定值，定值为．

展开更多......

收起↑