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江苏省无锡市2025-2026学年上学期期中九年级数学模拟试卷
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1. 一元二次方程的一次项系数是（ ）
A. 1 B. C. D. 2
2. 一元二次方程配方后可化为（ ）
A. B. C. D.
3．关于x的一元二次方程有实数根，则k满足（ ）
A． B． C．，且 D．，且
4. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A. -2 B. 2 C. -3 D. 3
5. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）.
A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570
C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570
6. 的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是　　
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
7. 若圆弧半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知的直径为26，弦，动点P、Q在上，弦，若点M、N分别是弦的中点，则线段的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10．如图所示，在中，，，，点O为BC上的点，的半径，点D是AB边上的动点，过点D作的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为（ ）
A． B． C． D．
填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
11.已知10是关于x的一元二次方程的一个根，则_____．
12. 若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于_____．
13. 某服装原价为300元，连续两次涨价a %后，售价为363元，则a的值为______．
14. 一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为__________________．
15. 圆锥的母线长为5，高为4，则该圆锥的侧面积是 _____．（结果保留π）
16. 如图，已知 是的外接圆，是的直径，若，则的度数是____°．
17. 已知△ABC的面积是54cm2，周长是36cm，则△ABC的内切圆半径是______cm．
18．如图，的半径为4，定点P在上，动点A，B也在上，且满足，C为PB的中点，则点A、B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为______，此时______．
解答题（本大题共90分．解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）
19. （8分）用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）．
20. （8分）已知关于的方程有两个相等的实数根．
（1）求的值；
（2）若满足方程，试判断方程的根的情况．
21．（6分）某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查．设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A．很少，B．有时，C．常常，D．总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　　%，b＝　　%，“常常”对应扇形的圆心角度数为　　；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校有3000名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各有多少名？
22.（6分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．
（1）在图中利用直尺画出△ABC的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 　 　；
（2）求△ABC外接圆的面积；
（3）若点E的坐标（6，0），点E在△ABC外接圆 　 　（填“圆内”“圆上“或“圆外”）
23. （8分）如图，在中，，以为直径的与线段交于点，作，垂足为，的延长线与的延长线交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求劣弧的长．
24. （10分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，如果按每件50元销售，那么可卖出200件．通过市场调查发现，售价每增加1元，销售量减少10件．为了尽快减少库存，并且商店可盈利2160元．问：该商店销售这种商品每件售价多少元？
25. （10分）现有半圆形纸片，点O是圆心，直径的长是．
（1）如图1，点C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接、，沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
（2）如图2，是弦，小明将半圆形纸片沿弦折叠使得点C与圆心O重合，顺次连接O、D、C、E得四边形，试判断四边形的形状，请说明理由并求出它的边长．
26．（10分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，其半径为1，P为弧AB上的动点（P点不与A、B重合），连接AP，BP，CP．
（1）求证：PA+PB＝PC．
（2）求四边形APBC面积的最大值．
27. （12分）已知平面直角坐标系中，以原点为圆心，为半径的交y轴的正半轴于点，小刚同学用手中的三角板（）进行了如下的实验操作：
（1）如图1，将三角板的斜边放置于轴上，边恰好与相切于点，则切线长 ；
（2）如图2，将三角板的顶点在上滑动，直角顶点恰好落在轴的正半轴上，若边与相切于点，求点的坐标；
（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点继续在上滑动，直角顶点恰好落在上且在轴右侧，边与轴的正半轴交于点，与的另一交点为，若，求的长．
28. （12分）如图①，矩形与以为直径的半圆O在直线l的上方，线段与点E、F都在直线l上，且，，．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当时，求半圆O在矩形内弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当、都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接、，若为直角，求此时t的值．
（3）当矩形为正方形时，连接，在点B运动的过程中，若直线与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．
参考答案
选择题
1-5 BBDCA 6-10 ABBAA
填空题
11. 25 12. 2 13.10 14. 1 15.15π 16.25 17. 3 18.2+2 45。
三、解答题
19. （1） （2）
20. （1）的值为或
解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∴或，
（2）当时，方程无实数根；当时，方程有两个不相等的实数根．
解：∵满足方程，
∴当时，方程为，，此时方程无实数根；
当时，方程为，，此时方程有两个不相等的实数根．
21. 解：（1）44÷22%＝200（人），
a＝24÷200＝12%，
b＝72÷200＝36%，
360°×30%＝108°，
故答案为：12，36，108°；
（2）200×30%＝60（人），补全条形统计图如图所示：
（3）3000×30%＝900（人），3000×36%＝1080（人），
答：“常常”对错题进行整理、分析、改正的有900人，
“总是”对错题进行整理、分析、改正的有1080人．
22. 解：（1）如图，△ABC的外接圆的圆心D的坐标为（5,5）；
故答案为：（5,5）；
（2）连接AD，
∵AF=2，DF=5，，
∴，
∴△ABC外接圆的面积为；
（3）如图：作DG⊥x轴于G，
∵D的坐标为（5,5），
∴DG=5，OG=5，
∵点E的坐标（6，0），
∴OE=6，
∴GE=1，
∴，
∴点E在△ABC的外接圆的圆内．
23. （1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴劣弧的长为：．
24. 解：设该商店销售这种商品每件售价元，
根据题意，得：
解得：，
因为要尽快减少库存，所以
答：该商店销售这种商品每件售价52元．
25. （1）解:∵是的直径，
∴，
∴是直角三角形，
（2）四边形是菱形，
理由：如图：连接，
由折叠得：
，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∵直径的长是，
∴，
∴菱形的边长为．
26. （1）证明：如图1，在线段PC上截取PF＝PB，连接BF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵PF＝PB，∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB＝BF，∠BFP＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣∠PFB＝120°，
∵∠BPA＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠BPA＝∠BFC，
在△BPA和△BFC中，
，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA＝FC，
∴PA+PB＝PF+FC＝PC；
（2）解：如图2，将△APC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，
∴CP＝CH，∠PAC＝∠HBC，
∵四边形APBC是圆内接四边形，
∴∠PAC+∠PBC＝180°，
∴∠PBC+∠HBC＝180°，
∴点P，点B，点H三点共线，
∵PC＝CH，∠CPH＝60°，
∴△PCH是等边三角形，
∵四边形APBC的面积S＝S△APC+S△BPC＝S△CPH＝CP2，
∴当CP最大时，四边形APBC的面积最大，
∴当CP为⊙O的直径时，CP的值最大，
即CP＝2，
∴四边形APBC的面积的最大值为CP2＝．
27. （1）如图，连接，
∵边恰好与相切于点，
∴
∵
∴
∴
∴中，,
∴
∴,
故答案为：；
（2）如图，连接，设线段交于点，过点作于，
∵边与相切于点，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴,
∵
∴
∴
在中，
∴,
∴，
∴中，,
∴
（3）解：①如图，当在点上方时，过点作于点，连接
∵
∴是的直径，
∴
∵
在中，，
∵
∴
在中，
∵
∴
在中，
∴
②当点在点下方时，如图，
∵
∴是的直径，
∴
∵
在中，，
过点作，
∴
在中，，
∵
∴
∴，即点重合，
∴
∴
28.（1）设与交于点M
当时，
∵
∴
∴
∴
在矩形中，
∴
又∵
∴
∴是等边三角形
∴
∴
即半圆O在矩形内的弧的长度为.
（2）连接，
∵
∴，
∵
∴，
在和中，
∴
∴
∵
∴
∴
在中，
∴
解得：
即t的值为8或9．
（3）或
理由：当半圆O与直线相切时，过圆心O作于点P
则
∵四边形为正方形
∴
又∵
∴为等腰直角三角形
则
∴
则，此时半圆O与直线相切；
当点E与点A重合时，，此时半圆O与直线有两个交点；
当点F与点A重合时，，此时半圆O与直线只有一个交点，
则t的取值范围为或．
故答案为：或

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