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2025-2026学年度第一学期七校联盟第一次学情检测
高三数学试题
试卷分值：150分 考试时间：120分钟
第一部分 (选择题 共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 观察如图所示的“集合”的知识结构图，把“①包含关系，②描述法，③基本运算”这三项依次填入M，N，P三处，正确的是 （ ）
A. ①②③ B. ①③②
C. ②①③ D. ②③①
2. 已知且，下列各式中最大是（ ）
A. B. C. D.
3. 函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4. 设 则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若实数a、b满足 则 （ ）
A. -1 B. 1 C. D.
6. 已知不等式 的解集 若对，不等式 成立，则实数m的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
7. 已知函数 ，满足不等式 的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知可导函数的导函数为， 若对任意的， 都有 且为奇函数， 则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合A为正偶数集，集合B为正整数集，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A. 若，则
B.
C. 函数的最小值为
D. 已知函数且在上是减函数， 则的取值范围是
11. 已知函数， 则（ ）
A. B. 有一个零点
C. y轴是曲线的切线 D. 在(1，+∞)上单调递增
第二部分 (非选择题 共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“，”的否定是_________.
13. 设， 已知(e为自然对数的底数)为偶函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则 _______ .
14. 设A 是实数集的非空子集， 称集合 且 为集合A 的生成集. 当A={1,3,5}时，写出集合A的生成集B为___________；记集合M 中元素个数为 card(M)，若A 是由5个正实数构成的集合，则card(B)的最小值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集,集合，集合.
（1）当时，求，；
（2）若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
16. 已知函数 (其中)， ，记.
（1）若是的一条切线， 求a的值；
（2）当 时，设函数在坐标原点处切线为，证明：当时，函数的图象位于切线的下方.
17. 函数满足对任意，都有，且的图象关于直线x=1对称，当时，， 且函数恰有2025个零点.
（1）证明：函数为周期函数；
（2）求整数a的值.
18. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）关系式（利润＝销售收入－成本）；
（2）当该产品年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
19. 已知函数．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）当时，试求函数的极值；
（3）若，时，对任意都有，求实数的范围.
2025-2026学年度第一学期七校联盟第一次学情检测
高三数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】C
2.
【答案】D
3.
【答案】D
4.
【答案】A
5.
【答案】D
6.
【答案】C
7.
【答案】A
8.
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】ABC
10.
【答案】BCD
11.
【答案】ABD
第二部分 (非选择题 共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】“，”.
13.【答案】
14.【答案】 ①. ②. 7
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【小问1详解】
当时，集合，且，
可得，
或
【小问2详解】
由是的充分不必要条件，则集合是的真子集，
则满足且等号不同时成立，解得，
经验证，当时，满足集合是的真子集，
所以实数m的取值范围是.
16.
【小问1详解】
由得，，令得，，
令得，；令得，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，函数是的一条切线，
∴ 切点坐标为，即切线方程为，
∴
【小问2详解】
当时，，，
∴ ，
∴ 切线为的方程为，
当时，设，
以下证明恒成立.
∵，只需证明恒成立，
设，则有，
∴ 函数在区间上单调递减，∴ ，
即当时，恒成立，此时函数的图象位于切线的下方.
17.
【小问1详解】
由的图象关于直线对称，得到，
又，所以，
即，从而得到函数的周期为，
所以函数为周期函数.
【小问2详解】
由可知，函数关于对称，
根据对称性、周期性及当时，，
当和时，函数图象相同，作出两函数图象（如图所示），
要使函数恰有2025个零点，
则函数的图象与图象在上恰有2025个交点，
由图象可知，第个交点为，
所以，
又，
所以由得，，
故或.
所以整数的值为45.
18.
【小问1详解】
由题意可得当时，，
当时，
【小问2详解】
由（1）得时，，
此时（百件）时，（万元），
当时，，
因为，，所以：
，
即
当且仅当，即时等号成立，（万元），
而，故（百件）时，利润最大，
综上所述，年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元.
19.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得，则在上单调递增，
令，解得，则在上单调递减.
综上得，当时，上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
由条件得，，
令，则，
由（1）知，当时，在上单调递增，
此时函数无极值；
当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增.
又，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
此时函数有极小值，极小值为，函数无极大值；
当时，在上单调递减，
此时函数无极值.
综上得，当时，函数无极值；
当时，函数有极小值；无极大值；
当时，函数无极值.
【小问3详解】
当，时，由（1）知函数在上是单调递增函数，
又函数在上单调递减，
不妨设，则，，
，，
等价于，
即，
设，，
则等价于函数在区间上是减函数，
因为，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，，
又在上恒成立，所以在上是单调递增函数，
函数在的最大值为，
故，又，
所以实数的范围为.

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