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绝密★启用前
江西省“红色十校”26届高三第一次联考
数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
3．若函数为奇函数，则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
4．已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与焦点在轴上的双曲线的其中一条渐近线垂直，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．某百货商场为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券，顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次，且其中有1张甲奖券中奖，则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为（ ）
A．0.12 B．0.2 C．0.25 D．0.32
7．记首项为1的数列的前项和为，且是以为公比的等比数列．若对于任意正整数，均有，则整数的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．
8．记的内角的对边分别为，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标．将7个厂商的报价（单位：元／个）整理得如下数据：6.1，5.9，5.9，6.0，6.1，5.8，6.3，则这组数据的（ ）
A．极差为0.5 B．平均数为6.0 C．众数为6.0 D．分位数为6.1
10．在平面直角坐标系中，点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若三点共线，则
11．已知抛物线，圆，则下列结论正确的是（ ）
A．当的圆心为的焦点时，存在，使与仅有1个公共点
B．当的准线过的圆心时，存在，使与仅有1个公共点
C．若与有2个公共点，则
D．若与有4个公共点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．从4个红球，3个黄球中一次性摸取3个球，则摸到的球中至少有2个黄球的方法数为______．（用数字作答）
13．函数在区间上的值域为______．
14．现有由0组成的10行10列的数阵，对其进行10次操作，每次操作前，数阵中每一个数增加1，操作时，自行选取任意一行或列，使该行或列的数的数值等量增加至相邻一整行或列的对应数后归零，则10次操作后，数阵中最大数的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知均为等差数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
16．（15分）如图，在四棱锥中，．
（1）证明：；
（2）若平面平面，且四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（15分）已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心．
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在区间内恰有两个实根，求的取值范围．
18．（17分）已知函数．
（1）讨论如何将曲线平移变为曲线；
（2）若存在大于0的零点，求的取值范围；
（3）设点在曲线的任意一条切线上，证明：．
19．（17分）设为椭圆在第一象限上一点，分别为的左、右焦点，过点且与相切的直线分别交轴、轴于两点（直线的斜率不为），为坐标原点．
（1）设点，求的最小值；
（2）证明：的面积不小于；
（3）证明：．
江西省“红色十校”26届高三第一次联考
数学参考答案及评分细则
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】AD（每选对1个得3分）
10．【答案】ACD（每选对1个得2分）
11．【答案】ABD（每选对1个得2分）
12．【答案】13
13．【答案】
14．【答案】12
15．解：（1）由题意可得．（2分）
则的首项为3、公差为2，的首项为1、公差为2．（4分）
故．（6分）
（2）由（1）得．（8分）
故．（10分）
则．（13分）
16．（1）证明：如图1，取的中点，连接．
由，且为中点，得．（2分）
由于，且，
则四边形为正方形，故．（4分）
因为平面，且，所以平面．（5分）
又平面，故.（6分）
（2）解：因为平面平面，平面平面平面，所以平面，则为四棱锥的高，
又梯形的面积，且四棱锥的体积，联立解得．（9分）
以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图2所示，
则．（10分）
故．（11分）
设平面的法向量为，
则即令，得，故．（12分）
设平面的法向量为，
则即令，得，故．（13分）
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．（15分）
17．解：（1）由题可知，，故，其中是的最小正周期．（2分）
又因为，结合可知，（4分）
所以．（6分）
（2）设，则函数，．（7分）
（ⅰ）若，当时，，故在区间上无零点；（8分）
当时，一方面有，另一方面，若存在使得，则，
若对任意，则，
故的零点个数为奇数，不合题意．（10分）
（ⅱ）若，当时，为增函数，所以在区间上只有唯一零点0；（11分）
当时，也为增函数．一方面，，另一方面，取，满足，则，（13分）
故存在使得，且为在区间上的唯一零点．
综上所述，的取值范围为．（15分）
18．（1）解：当时，先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度；（1分）
当时，仅向左平移1个单位长度；（2分）
当时，先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度；（3分）
当时，仅向下平移1个单位长度；（4分）
当时，先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度．（5分）
（2）解：令，则，则．
当时，，方程无实数根，无零点．（7分）
当时，解得．
设．
由于，故，故恒成立．
又，故当时，．
也即若存在大于0的零点，则．（11分）
（3）证明：不妨设切点为，则切线为．（12分）
由于是切线上一点，故．
要证，即证．（14分）
即证明．（15分）
设，则．
当时，单调递减；当时，单调递增．（16分）
又，故．
即得证．（17分）
19．（1）解：设点，
则．（2分）
由得，（4分）
故当时，取得最小值．（5分）
（2）证明：设过点的切线方程为，
联立得，（6分）
故，即，
，
故，即，（8分）
代入直线方程中得，故，
易得，因此的面积．（10分）
又，即，
故，即原命题得证．（11分）
（3）证明：设的倾斜角为，的倾斜角为，的倾斜角为．
因为，
所以，
故要证，只要证明即可．（13分）
经验证当时，满足上式，
当时，，，，
故，（15分）
由得，故，
易知，所以，故．（17分）

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