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1.2.1命题与量词
第一章 集合与常用逻辑用语
人教B版（2019）
素养目录
02 理解全称量词与全称量词命题；
01 掌握命题的概念、组成、真假判断；
03 理解存在量词与存在量词命题.
新知导入
【情境与问题】
“命题”这个词在新闻报道中经常可以看到．
例如：“从最直接的生态保护方式之一——植树造林，到多种更具有创造性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保“新命题”．（2017年12月21日《中国青年报》）
我们在数学中也经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗？
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新闻报道中的“命题”往往是“命制的题目”的简写，常常指的是待研究的问题或需要完成的任务等.
需要注意的是，一般来说，数学中的“命题”与新闻报道中的“命题”不一样.
命题
在初中的时候就已经学习过数学中的命题，知道类似“对顶角相等”这样的可供真假判断的陈述语句就是命题.
判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题.
数学中的命题，还经常借助符号和式子来表达.
例如，命题“9 的算术平方根是 3”可表示为“3”.
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【注意】
一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题.
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【尝试与发现】
下列命题中， 是真命题，________是假命题．
（1）102＝100；
（2）所有无理数都大于零；
（3）平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；
（4）一次函数y＝2x＋1的图像经过点（0，1）；
（5）设a，b，c是任意实数，如果a＞b，则ac＞bc；
（6）
(1)(3)(4)(6)
(2)(5)
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为了方便叙述，命题可以用小写英文字母表示，如若记
p：A (A∪B)，
则可知 p 是一个真命题.
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在数学中，有很多命题都是针对特定集合而言的，例如：
（1）任意给定实数x，x2≥0；
（2）存在有理数x，使得3x-2=0；
（3）每一个有理数都能写成分数的形式；
（4）所有的自然数都大于或等于零；
（5）实数范围内，至少有一个x使得 有意义；
（6）方程x2=2在实数范围内有两个解；
（7）每一个直角三角形的三条边长都满足勾股定理.
命题(1) (3) (4) (7) 陈述的是指定集合中的所有元素都具有特定性质，
命题 (2) (5) (6) 陈述的是指定集合中的某些元素具有特定性质.
一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“ ”表示.
含有全称量词的命题称为全称量词命题．
因此，全称量词命题就是形如：“对集合 M 中所有元素 x，r(x)”的命题，可简记为：
全称量词与全称量词命题
x∈M，r(x)
例如，“任意给定实数x，x2≥0”是一个全称量词命题，可简记为 x∈R，x2≥0.
“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“ ”表示.
含有存在量词的命题，称为存在量词命题.
因此，存在量词命题就是形如“存在集合 M 中的元素 x ，s(x)”的命题，可简记为
x∈M，s(x).
例如，“存在有理数x，使得 3x-2=0”是一个存在量词命题，
可简记为 x∈Q，3x-2=0.
存在量词与存在量词命题
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如果记 p(x)：x2-1=0，q(x)：5x-1是整数，则通过指定x所在的集合和添加量词，就可以构成命题.
例如:
p1： x∈Z，p(x)；
q1： x∈Z，q(x)；
p2： x∈Z，p(x)；
q2： x∈Z，q(x).
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【尝试与发现】请判断下列命题的真假：
p1： x∈Z，p(x)；q1： x∈Z，q(x)；p2： x∈Z，p(x)；q2： x∈Z，q(x).
p1：全称量词命题，例如整数0不满足x2-1=0，假命题.
q1：全称量词命题，只要x是整数，那么 5x-1就是整数，真命题.
p2：存在量词命题，整数x=±1即可满足x2-1=0，真命题.
q2：存在量词命题，整数x=1=4是整数，真命题.
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【尝试与发现】
总结出判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法.
事实上，要判定全称量词命题 x∈M，r(x)是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素x，验证 r(x)成立；
但要判定其是假命题，却只需举出集合M 中的一个元素x0，使得 r(x0)不成立即可 (这就是通常所说的“举出一个反例”).
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要判定存在量词命题 x∈M， s(x)是真命题，只要在限定集合 M 中找到一个元素x0 ，使得s(x0)成立即可 (这就是通常所说的“举例说明”)；
但要判定其是假命题，却需要说明集合 M 中每一个x，都使得s(x)不成立.
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值得注意的是，全称量词命题和存在量词命题，都可以包含多个变量，而且这样的情形前面我们已经接触过.
例如，
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，
因为这个公式对所有实数 a，b 都成立，
所以可以改写为全称量词命题 a，b∈R， a2-b2 =(a+b)(a-b).
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又如，对于函数y=x+1来说，任意给定一个x值，都有唯一的y 值与它对应.
因此如果把 y=x+1看成含有两个变量的方程，则这个方程有无数多个解，且任意给定一个 x，都存在一个 y 使得等式成立，
这可以改写为 x∈R， y∈R ， y=x+1.
C
B
B
C
BD
AB
小结
命题与量词
命题
量词
两种特殊命题的形式及其真假判断
谢谢同学们的聆听

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