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1.1.3集合的基本运算
第一章 集合与常用逻辑用语
人教B版（2019）
素养目录
02 会求并集、交集、补集，并能解决一些集合综合运算的问题；
01 理解并集、交集、全集、补集的概念；
03 会用符号、维恩图和数轴表示集合运算.
新知导入
【情境与问题】
学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：
(1)中考的物理成绩不低于80分；
(2)中考的数学成绩不低于70分．
如果满足条件(1)的同学组成的集合记为 P，满足条件(2)的同学组成的集合记为 M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合为 S，那么这三个集合之间有什么联系呢？
可以看出，集合 S 中的元素既属于集合 P，又属于集合 M.
交集
一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集．
记作：A∩B，读作“A交B”.
两个集合的交集可用如图所示的阴影部分形象地表示.
因此，上述情境与问题中的集合满足 P∩M = S.
探究新知
{1，2，3，4，5}∩{3，4，5，6，8} = .
在平面直角坐标系内，x 轴与 y 轴相交于坐标原点，用集合语言可以表示为 .
{(x，y) | y = 0}∩{(x，y) | x = 0} ={(0，0)}
{3，4，5}
探究新知
想一想：如果集合A，B没有公共元素，那么它们的交集是什么？
当集合 A 与 B 没有公共元素时，不能说 A与 B 没有交集，而是.
探究新知
从定义可以看出，A∩B表示由集合A，B按照指定的法则构造出一个新集合，因此“交”可以看成集合之间的一种运算，通常称为交集运算.
交集运算具有以下性质，对于任意两个集合 A，B，都有：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) 如果 A B，则 ，反之也成立.
探究新知
例1 求下列每对集合的交集：(1) A＝{1，－3}，B＝{－1，－3}；
(2) C＝{1，3，5，7}，D＝{2，4，6，8}；
(3) E＝（1，3]，F＝[－2，2).
解：(1) 因为 A 和 B 的公共元素只有－3，所以A∩B＝{－3}.
(2) 因为 C 和 D 没有公共元素，所以 C∩D ＝.
(3) 在数轴上表示出区间 E 和 F，如图所示，
由图可知 E∩F ＝ (1 , 2).
探究新知
例2 已知 A ＝{x | x 是菱形}，B ＝{x | x 是矩形}，求 A∩B.
解: A∩B＝{x|x 是菱形}∩{x|x 是矩形}＝{x|x 是正方形}.
探究新知
我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解.
例如，平面直角坐标系中的点 (x , y) 在第一象限的条件是：横坐标大于 0 且纵坐标大于 0，用集合的语言可以表示为
也就是说，为了保证点 (x , y) 在第一象限，条件横坐标大于 0 与纵坐标大于 0 要同时成立.
探究新知
【情境与问题】
某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于 70 分或英语低于 70 分的同学参加. 如果记语文成绩低于 70 分的同学组成的集合为 M，英语成绩低于 70 分的所有同学组成的集合为 N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为 P，那么这三个集合之间有什么联系呢？
可以看出，集合 P 中的元素，要么属于集合 M，要么属于集合N .
并集
一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集.
记作：A∪B， 读作“A并B”.
因此，上述情境与问题中的集合满足 M∪N=P.
探究新知
两个集合的并集可用图（1）或（2）所示的阴影部分形象地表示．
由A，B构造出A∪B，通常称为并集运算．
探究新知
{1，3，5}∪{2，3，4，6} ＝ .
注意：同时属于 A 和 B 的元素，在 A∪B 中只出现一次.
{1，2，3，4，5，6}
探究新知
类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合 A，B，都有：
(1)
(2)
(3)
(4) 如果 A B，则 反之也成立
探究新知
例3 已知区间 A =（-3，1），B = [-2，3]，求A∩B，A∪B.
解：在数轴上表示出 A 和 B，如图所示.
由图可知 A∩B ＝[-2，1），A∪B＝(-3，3].
探究新知
我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解.
例如，x≥0 的含义是 x＞0 或 x＝0，这可以用集合语言表示为
也就是说，为了保证 x≥0 ，条件 x＞0 与 x＝0 只要有一个成立即可.
探究新知
【探索与研究】
（1）设有限集M所含元素的个数用card（M）表示，并规定card( )=0.
已知A={x | x是外语兴趣小组的成员}，B={x | x是数学兴趣小组的成员}，
且card(A)=20，card(B)=8，card(A∩B)=4，你能求出card(A∪B)吗？
（2）设A，B为两个有限集，讨论card(A)，card(B)，card(A∩B)，card(A∪B)之间的关系．
card(A∪B) = 16 + 4 + 4 = 24
card(A∪B) = card(A)+ card(B)- card(A∩B)
探究新知
【情境与问题】
如果学校里所有同学组成的集合记为 S，所有男同学组成的集合记为 M，所有女同学组成的集合记为 F，那么：
（1）这三个集合之间有什么联系？
（2）如果 x∈S 且 x M，你能得到什么结论？
集合 M 和集合 F 都是集合 S 的子集，而且如果 x∈S 且 xM，
则一定有 x∈F.
补集
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用 U 表示.
由全集 U 及其子集 A 得到 UA ，通常称为补集运算.
如果集合 A 是全集 U 的一个子集，则由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合，称为 A 在 U 中的补集.
记作： UA，读作：“A 在 U 中的补集”
探究新知
集合的补集也可用维恩图形象地表示，其中全集通常用矩形区域代表，如图所示：
上述情境与问题中的集合满足 SF=M， SM=F.
探究新知
如果U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，则 .
UA＝{2，4，6}
注意，此时 UA仍是U的一个子集，因此 U( UA)也是有意义的.
U( UA) ={1，3，5} = A
探究新知
事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下性质：
探究新知
分析：注意U中的元素都是自然数，而且 A，B 都是U的子集.
探究新知
解：在数轴上表示出A和B，如图所示.
由图可知 RA =(-∞，-1]， RB=(2，+∞).
探究新知
【探索与研究】
给定三个集合 A，B，C，式子 (A∪B)∩C 的意义是什么？(A∩C)∪(B∩C) 呢？作维恩图研究这两个式子之间的关系，并研究 (A∩B)∪C 和 (A∪C)∩(B∪C) 之间的关系.
(A∪B)∩C 的意义是：集合 A 或 B 中的元素，同时又在集合 C 中的元素构成的集合；
(A∩C)∪(B∩C) 的意义是：集合 A 与 C 的公共元素，与集合 B 与 C 的公共元素构成的集合.
结论：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)，(A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)
C
A
B
D
D
D
C
小结
集合的基本运算
交集
并集
补集
谢谢同学们的聆听

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