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2.1.1等式的性质与方程的解集
第二章 等式与不等式
人教B版（2019）
素养目录
02 了解恒等式的定义，掌握恒等式的证明方法；
01 掌握等式的基本性质，学会利用等式的性质进行等式的基本边形；
03 了解方程的解、解集的定义，会求方程的解.
探究新知
我们已经学习过等式的性质：
（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
（2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
探究新知
【尝试与发现】
用符号语言和量词表示上述等式的性质：
（1）如果a=b，则对任意c，都有 ；
（2）如果a=b，则对任意不为零的c，都有 .
a+c = b+c
ac = bc
因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，所以上述等式性质中的“加上”与“乘以”，
如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立.
探究新知
补全下列 (1)(2) 中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准：
（1）a2-b2= __________________ (平方差公式)；
（2）(x+y)2= _________________(两数和的平方公式)；
（3）3x-6=0；
（4）(a+b)c=ac+bc；
（5）m(m-1)=0；
（6）t3+1=(t+1)(t2-t+1).
(a+b) (a-b)
x2+ 2xy+ y2
探究新知
（1）a2-b2= (a+b) (a-b)；
（2）(x+ y)2 =x2+2xy+y2；
（3）3x-6=0；
（4）(a+b)c=ac+bc；
（5）m(m-1)=0；
（6）t3+1=(t+1)(t2-t+1).
如果从量词的角度来对以上 6 个等式进行分类的话，可以知道，
等式(1) (2) (4) (6)对任意实数都成立，
而等式(3) (5)只是存在实数使其成立.
例如 3x－6＝0 只有 x＝2 时成立，
x 取其他数时都不成立.
恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等.
恒等式是进行代数变形的依据之一.
例如，因为(x+y)2 = x2+2xy+y2 对任意 x，y 都成立，
所以可用其他代数式去替换其中的 x，y，等式仍会成立，
若用-z替换其中的 y，则(x-z)2=x2＋2x(-z)＋(-z)2=x2-2xz+z2，
由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.
探究新知
例1 化简 (2x+1)2 - (x -1)2.
解：（方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即
探究新知
解：（方法二）可以将2x+1和 x - 1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即
例1 化简 (2x+1)2 - (x -1)2.
探究新知
下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：
对任意的 x，a，b，都有(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab.
这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可.
可以利用这个恒等式来进行因式分解.
给定式子 x2+Cx+D，如果能找到 a 和 b，使得 D=ab 且C=a+b，
则x2 +Cx+D=(x+a)(x+b).
探究新知
为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用下图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于 C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.
例如，对于式子x2+5x+6 来说，因为2×3=6且2+3=5，
所以x2+5x+6= .
(x+2)(x+3)
探究新知
【尝试与发现】
证明恒等式 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.
并由此探讨 Ex2+Fx+G 的因式分解方法.
上述恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可，据此也可进行因式分解.
例如，对于3x2+11x +10来说，
因为1×3=3，2×5=10，1×5＋3×2=11，
如图所示，所以3x2+11x+10=(x+2)(3x+5).
探究新知
我们知道，方程的解 (或根) 是指能使方程左右两边相等的未知数的值.
一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
探究新知
利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集.
例如，对于方程 3x+5 = -1 来说，首先在等式两边同时加上-5，可得
3x＝-6，
然后在上述等式两边同时乘以 ，则得 x = -2，
因此可知方程 3x+5 = -1的解集为{－2}.
不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集.
探究新知
从小学开始我们就知道，任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，
因此：如果 ab=0，则 a=0 或 b=0.
利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集.
例如，由方程(4x+1)(x-1)=0 可知 4x+1=0 或x-1=0，
从而 x = - 或 x = 1，
因此方程 (4x+1)(x-1)= 0 的解集为{- ，1}.
探究新知
【想一想】一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？
对于方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
当Δ＝b2－4ac＝0时，
解集中有一个元素；
当Δ＝b2－4ac＜0时，方程无实根，解集中没有元素．
当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两不等实根
解集中有两个元素；
一元二次方程的解集中不一定有两个元素．
探究新知
例2 求方程x2 -5x+6 = 0 的解集.
解：因为x2 -5x+6 = (x-2)(x-3)，
所以原方程可以化为(x-2)(x-3) = 0，
从而可知 x-2=0 或 x-3=0，
即 x=2或x=3，
因此所求解集为{2，3}.
例2说明，如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为
(x-x1)(x-x2)=0的形式，那么就能方便地得出原方程的解集了.
探究新知
例3 求关于x的方程 ax=2 的解集，其中 a 是常数.
探究新知
例3 求关于x的方程 ax=2 的解集，其中 a 是常数.
C
C
C
B
D
1或3或4
小结
等式的性质与方程的解集
等式的性质
恒等式
十字相乘法
方程的解集
谢谢同学们的聆听

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