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1.2.3充分条件、必要条件
第一章 集合与常用逻辑用语
人教B版（2019）
素养目录
02 掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法；
01 理解充分条件、必要条件、充要条件的含义；
03 能用条件关系表达命题之间的关系；
04 能用命题之间的关系判定充要关系或证明充要性.
新知导入
【情境与问题】
“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？
(1)“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”
（《中国青年报》2014年1月23日）；
(2)“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”
（《人民日报》2014年3月4日）；
新知导入
【情境与问题】
“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？
（3）“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”
（《中国青年报》2015年6月22日）；
（4）“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”
（《人民日报》2015年7月28日）．
探究新知
本小节我们要学习数学中的充分条件和必要条件．
我们已经接触过很多形如“如果p，那么q”的命题，例如：
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半；
（3）如果x>2，那么x>3；
（4）如果 a>b且c>0，那么ac>bc.
在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论.
若“如果 p，那么 q”是一个真命题，则称由 p 可以推出 q ，
记作：p q，读作：p 推出 q.
否则，称由 p 推不出 q，，记作：pq 读作：p 推不出 q.
探究新知
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
真命题
记作：两条直线都与第三条直线平行 这两条直线也互相平行
(2) 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么
这个锐角所对的直角边等于斜边的一半.
真命题
记作：一个锐角等于 30° 这个锐角所对的直角边等于斜边的一半
探究新知
(3) 如果 ，那么
假命题
记作：
(4) 如果 且 ，那么
真命题
记作：且
事实上，前述情境与问题中的“充分”“必要”与这里的充分条件、必要条件表示的是类似的意思.
因此“如果 p，那么 q”是真命题，
p q，
p 是 q 的充分条件，
q 是 p 的必要条件.
这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已.
探究新知
例如，因为“如果 x＝－y，
则 x2＝y2”是真命题.
所以 x = -y x2 = y2
x = -y 是 x2 = y2 的充分条件
x2 = y2 是 x = -y 的必要条件
因为“若A∩B≠，
则A≠”是真命题
所以 A∩B≠ A≠
A∩B≠ 是 A≠ 的充分条件
A≠ 是 A∩B≠ 的必要条件
探究新知
想一想：有人说，充分条件就是“有之即可，无之也行”的条件，必要条件就是“有之未必即可，无之则必不行”的条件，你觉得有道理吗？
这种说法是有道理的，“充分”即有它就行，
“必要”即没它不行.
探究新知
例1 判断下列各题中，p 是否是 q 的充分条件，q是否是p的必要条件：
（1） p：x∈Z，q： x∈R；
（2） p：x是矩形，q：x是正方形.
探究新知
充分条件与必要条件也可用集合的知识来理解.
设 A＝{x | x≥0}，B＝{x | x > -1}，则不难看出，A 是 B 的子集（如图所示），即A B．
“如果 x≥0，那么 x > -1”是真命题，也就是说x≥0 x > -1，
x≥0 是 x > -1 的充分条件，x > -1是 x≥0 的必要条件．
探究新知
一般地，如果 A={x | p(x)}，B={x | q(x)}，且 A B．（如图所示），
那么p(x) q(x)，
因此也就有 p(x) 是 q(x) 的充分条件，q(x)是 p(x)的必要条件．
探究新知
例如，设 A＝{x | x 是在北京市出生的人}，B＝{x | x 是在中国出生的人}，则A B，所以“x 是在北京市出生的人”可以推出“x 是在中国出生的人”．
“x 是在北京市出生的人”是“x 是在中国出生的人”的充分条件，
“x 是在中国出生的人”是“x 是在北京市出生的人”的必要条件．
探究新知
充分条件与必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关.
例如，“如果一个函数是正比例函数，那么这个函数是一次函数”可以看成一个判定定理．
这指的是，只要函数是正比例函数，那么就可以判定这个函数是一次函数．
不难看出，判定定理实际上是给出了一个充分条件，
上例中，“函数是正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件．
探究新知
而“矩形的对角线相等”可以看成一个性质定理．
这指的是，只要一个四边形是矩形，那么这个四边形的对角线一定相等．
不难看出，性质定理实际上给出了一个必要条件，
上例中，“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件．
充分条件与必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关.
探究新知
例2 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，说出其中涉及的充分条件或必要条件：
（1）形如 y = ax2（a是非零常数）的函数是二次函数；
（2）菱形的对角线互相垂直．
探究新知
解：（1）这可以看成一个判定定理，因此“形如 y＝ax2
（a 是非零常数）的函数”是“这个函数是二次函数”的充分条件；
（2）这可以看成菱形的一个性质定理，因此“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件．
探究新知
x＞3 x＞2
x＞3是 x＞2 的 条件.
充分
x＞2 x＞3
x＞3不是 x＞2 的 条件.
综上所述，x＞3 是 x＞2 的 条件.
必要
充分不必要
定义：如果 p q 且 q p，则称 p 是 q 充分不必要条件.

探究新知
仿照上述做法，给出p是q的必要不充分条件的定义，并给出具体实例加以说明.
如果p q且q p，则称p是q的必要不充分条件.
例如：x(x-1)=0 是 x=0 的必要不充分条件.
p、q之间的推出关系还会有哪种情形？
探究新知
如果p q且q p，则称p是q的充分必要条件（简称为充要条件），
记作：p q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”.
当然，p是q的充要条件时，q也是p的充要条件.
探究新知
如果 p q 且 q p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
例如：当 p：x＞0，q： x2 ＞2 时就是如此.
探究新知
例3 在△ABC中，判断∠B＝∠C是否是AC＝AB的充要条件.
解：因为“在三角形中，等角对等边”，
所以∠B＝∠C AC＝AB；
又因为“在三角形中，等边对等角”，
所以AC＝AB ∠B＝∠C．
从而∠B＝∠C AC＝AB，
因此△ABC中，∠B＝∠C是AC＝AB的充要条件．
探究新知
从集合的观点来看，如果 A={x| p(x)}，B={x|q(x)}，且A=B，
则 p(x) q(x)，因此也就有 p(x)是 q(x)的充要条件.
例如，当A ={x | x≤0}，B = { x | | x |= -x} 时，
不难看出A=B，因此 x≤0 |x|=－x，
也就是说 x≤0是|x|=－x的充要条件，
x≤0与|x|=－x等价，x≤0当且仅当 |x|=－x.
探究新知
充要条件与数学中的定义有关.
例如，“三条边都相等的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义，这就意味着，只要三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形；
反之，如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边都相等.
不难看出，一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件，
上例中，“三角形的三条边都相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件.
探究新知
注意到“三角形的三个角相等”也是“三角形是等边三角形”的一个充要条件，
因此我们也可以将等边三角形定义为：“三个角都相等的三角形称为等边三角形.”
A
B
A
D
C
D
D
小结
推出关系 充分性、必要性
p q且q p p是q的充分不必要条件
p q且q p p是q的必要不充分条件
p q且q p p是q的充要条件
p q且q p p是q的既不充分也不必要条件
谢谢同学们的聆听

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