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2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系
第二章 等式与不等式
人教B版（2019）
素养目录
02 掌握一元二次方程的根的判断方法，会求一元二次方程根与系数的关系.
01 理解一元二次方程的相关概念并会求一元二次方程的解集；
探究新知
【尝试与发现】
《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门．
出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．
根据题中的描述可作出示意图，如图所示，其中 A 点代表北门，B 处是木，C 点代表南门，而且 AB＝20，CD＝14，DE＝_______．
A
B
C
D
E
F
1775
探究新知
A
B
C
D
E
F
如果设正方形的边长为x．则有AF＝ ，DB＝20＋x＋14＝x＋34．
根据ΔABF∽ΔDBE可知　 　　　，从而AF·DB＝AB·DE，因此
整理得x2＋34x－71000＝0，你会解这个方程吗？
探究新知
我们知道，形如 ax2＋bx＋c＝0 的方程为一元二次方程，其中 a，b，c 是常数，且 a≠0.
从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？
探究新知
【尝试与发现】
你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明．
不难知道，如果一个一元二次方程可以化为 x2 = t 的形式，
其中 t 为常数，那么这个方程的解集是容易获得的.
例如，方程 x2 = 3 的解集为{，}，
方程 x2 = 0 的解集为{0}，
方程 x2 = -2 的解集为 .
一般地，方程 x2 = t :
（1）当t > 0时，解集为 ；
（2）当t = 0时，解集为 ；
（3）当t < 0时，解集为 .
{}
{0}

一元二次方程的解集
探究新知
更进一步，形如 (xk)2＝t (其中 k，t 是常数) 的一元二次方程的解集也容易得到.
例如，由 (x1)2＝2 可知 x1＝ 或 x1＝，
从而 x＝1或 x＝1，
因此解集为 {1，1}.
一元二次方程的解集
一般地，方程(x - k)2=t:
（1）当t > 0时，解集为 ；
（2）当t = 0时，解集为 ；
（3）当t < 0时，解集为 .
{k，k+}
{k}

因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为 (xk)2＝t 的形式，就可得到方程的解集.
探究新知
【尝试与发现】
怎样将 x2+2x+3=0 化为 (x-k)2=t 的形式？动手试试看，并写出这个方程的解集．
我们知道，利用配方法可得
x2 + 2x + 3= x2 + 2x + 1+2 = (x + 1)2 + 2，
因此，x2+2x + 3=0 可以化为 (x +1)2 = -2，从而可知解集为 .
探究新知
事实上，利用配方法，总是可以将 ax2+ bx+ c= 0 (a≠0)化为(x - k)2=t 的形式，过程如下：
因此， ax2+ bx+ c= 0 (a≠0) 可以化为
一元二次方程的解集
从而可知，Δ＝b2－4ac 的符号情况决定了上述方程的解集情况：
一般地，Δ＝b2-4ac 称为一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)根的判别式. 由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定.
（1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程的解集为
（2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为
（3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程的解集为 ．
探究新知
前述情境与问题中的方程 x2+34x-71000＝0可以化为(x+17)2＝71289，从而可解得 x＝250 或 x＝-284（舍）.
探究新知
例1 求方程 的解集.
【分析】这不是一个一元二次方程，但是通过把 看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程.
解：设，则 ≥0 且原方程可变为 ，
因此可知 或 （舍）.
从而 ，即 ，
所以原方程的解集为 .
探究新知
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解集不是空集时，这个方程的解可以记为
计算x1+x2和x1x2的值，并填空：
探究新知
例2 已知一元二次方程 的两根为 与 ，求下列各式的值：
解：由一元二次方程根与系数的关系，得
(1)由上有
(2)因为
所以
A
C
A
A
AC
-1
小结
一元二次方程的解集及其根与系数的关系
一元二次方程的解集
一元二次方程根与系数的关系
谢谢同学们的聆听

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