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2.2.2不等式的解集
第二章 等式与不等式
人教B版（2019）
素养目录
02 掌握解不等式组解集的方法；
01 了解不等式、不等式组的解集；
03 理解绝对值不等式的定义，掌握绝对值不等式的解法；
04 理解并掌握数轴上两点之间的距离公式和数轴上的中点坐标公式.
探究新知
初中数学中我们已经知道，
能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解.
解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质.
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.
对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
探究新知
解： ① 式两边同时加上-1，得 2x≥10，
这个不等式两边同时乘以 ，得 x≥-5，
因此 ① 的解集为 [-5，+∞).
类似地，可得 ② 的解集为 (-∞，-3).
又因为 [-5，+∞）∩(-∞，-3) =[-5，-3)，
所以原不等式组的解集为 [-5，-3).
探究新知
我们知道，数轴上表示数 a 的点与原点的距离称为数 a 的绝对值，记作| a |，
而且：一个正数的绝对值是它本身，
一个负数的绝对值是它的相反数，
0的绝对值是 0.
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.
例如，| x |＞3，| x－1| ≤ 2 都是绝对值不等式.
绝对值不等式
探究新知
【尝试与发现】（1）你能给出 | x |＞3的解集吗？
根据绝对值的定义可知，|x|＞3等价于 或
即x＞3或x＜-3，因此|x|＞3的解集为（-∞，-3）∪（3，+∞）.
探究新知
不等式| x | > 3的解集也可由绝对值的几何意义得到：
因为|x|是数轴上表示数x的点与原点的距离，
所以数轴上与原点的距离大于3的点对应的所有数组成的集合就是|x|＞3的解集，
从而由下图可知所求解集为（-∞，-3）∪（3，+∞）．
探究新知
【尝试与发现】
（2）试总结出m>0时，关于 x 的不等式| x |＞m 和| x |≤m 的解集.
用类似方法可知，
当 m＞0 时，关于 x 的不等式 |x|＞m 的解集为数轴上与原点的距离大于m的点对应的所有数组成的集合，
因此解集为(-∞，-m)∪(m，+∞)；
关于 x 的不等式 |x|≤m 的解为 -m≤x≤m，
因此解集为 [-m，m] ．
探究新知
【尝试与发现】你能给出 |a－1|≤2 的解集吗？
如果将 a－1 当成一个整体，比如令 x＝a－1，则
因此 |a－1|≤2 的解集可以通过求解 |x|≤2 得到，
所以原不等式的解集为 [－1，3] ．
|a－1|≤2 |x|≤2，
探究新知
下面我们来探讨|a－1|的几何意义，并由此得出不等式|a－1|≤2的解集.
任意给出几个 a 的值，求出对应的 |a－1| 的值，并借助数轴考虑 |a－1| 的几何意义.
探究新知
当a＝－2时，|a－1|＝|－2－1|＝3，
而且在数轴上，表示－2的点与表示1的点的距离是3；
当a＝3时，|a－1|＝|3－1|＝2，
而且在数轴上，表示3的点与表示1的点的距离是2．
因此，如果数轴上表示a的点为A，表示1的点为B，
则A，B之间的距离为|a－1|，如下图所示．
探究新知
这样一来，数轴上与表示 1 的点的距离小于或等于 2 的点对应的所有数组成的集合就是 |a－1|≤2 的解集，
又因为数轴上与表示 1的点的距离等于 2 的点对应的数分别为 －1 和 3，
因此由上图可知 |a－1|≤2 的解集为 [－1，3]．
距离公式
AB = |a-b|
这就是数轴上两点之间的距离公式.
一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为 A，B，即A(a)，B(b)，则线段 AB 的长为
中点坐标公式
如果线段 AB 的中点 M 对应的数为x，则由AM=MB 可知 |a－x|=|x－b| ，
因此：当a＜b时，有a所以 ，
当 a≥b 时，类似可得上式仍成立，这就是数轴上的中点坐标公式.
探究新知
例2 设数轴上点 A 与数 3 对应，点 B 与数 x 对应，已知线段 AB 的中点到原点的距离不大于 5，求 x 的取值范围．
解：因为 AB 的中点对应的数为 ，
即 |3＋x|≤10，因此 －10≤3＋x≤10，
所以－13≤x≤7，因此 x 的取值范围是 [－13，7]．
所以由题意可知 ≤5
C
A
A
A
C
小结
不等式的解集
不等式（组）的解集
绝对值不等式
距离公式和中点坐标公式
谢谢同学们的聆听

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