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1.1.2 集合的基本关系
第一章 集合与常用逻辑用语
人教B版（2019）
素养目录
02 理解集合之间包含与相等的含义，
能识别给定集合的子集.
01 了解子集、真子集等概念，并会用韦恩图表示；
新知导入
【情境与问题】
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为 S，而所有女同学组成的集合记为 F，你觉得集合 S 和 F 之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
给定集合 A={1, 3}，B={1, 3, 5, 6}，容易看出，集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素.
一般地，如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 称为集合 B 的子集.
记作：A B (或 B A)，
读作“A 包含于 B” (或“B 包含 A”)．
对应地，如果 A 不是 B 的子集，则记作： (或 )，
读作“ A 不包含于 B”(或“B 不包含 A”)
子集
上述情境与问题中的两个集合，满足 F S.
探究新知
【尝试与发现】
(1)根据子集的定义判断，如果A={1,2,3}，那么A A吗？
(2)你认为可以规定空集 是任意一个集合的子集吗？为什么？
依据子集的定义，任意集合A都是它自身的子集，即A A.
因为空集不包含任何元素，
所以我们规定：空集是任意一个集合A的子集，即 A.
探究新知
但是，只要班级中有男同学，那么 S 中就有元素不属于 F.
情境与问题中的两个集合，满足 F S.
【情境与问题】
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为 S，而所有女同学组成的集合记为 F.
一般地，如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 称为集合 B 的真子集.
真子集
记作：A B（或 B A），读作：“A真含于B”（或“B真包含A”).
例如，分析集合 A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}之间的关系，
可知 A 是 B 的子集（即A B)，
而 3∈B 且 3A，因此 A 是 B 的真子集，即A B
探究新知
【想一想】 ∈与 表达的含义相同吗？
包含、真包含关系（“”与“”）是集合与集合之间的关系，
是集体与集体之间的关系；
属于关系（∈）是元素与集合之间的关系，是个体与集体之间的关系.
【注意】
符号“”与“”的区别：若 和 同时成立，则 更能准确表达集合 A，B 之间的关系
探究新知
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图.
A
B
例如，A是B的真子集，可用右图表示.
根据子集、真子集的定义可知：
(1)对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C；
(2)对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C；
(3)空集是任何非空集合的真子集，即 A.
C
B
A
探究新知
例1 写出集合A＝{6，7，8}的所有子集和真子集.
分析：如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？
注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0，1，2，3.可依下列步骤来完成此题：
（1）写出元素个数为0的子集，即 ；
（2）写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8}；
（3）写出元素个数为2的子集，即{6，7}，{6，8}，{7，8}；
（4）写出元素个数为3的子集，即{6，7，8}；
探究新知
解：集合A的所有子集是 ，{6}，{7}，{8}，{6,7}，{6,8}，{7,8}，{6,7,8}.
在上述子集中，除去集合A本身，即{6,7,8}，剩下的都是A的真子集.
例1 写出集合A＝{6，7，8}的所有子集和真子集.
写集合子集的一般方法：
先写空集，然后按照集合元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身.
写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集.
一般地，集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有2n-1个.
探究新知
例2 已知区间A=(-∞,2]和B=(-∞，a)，且B A，求实数a的取值范围.
从而可知a≤2.
解：因为集合B的元素都是集合A的元素，所以可用数轴表示它们的关系，
x
2
a
探究新知
组成 S 的元素和组成 T 的元素完全相同，即S＝T；
另外，由子集的定义可知 S T 且 T S .
一般地，由集合相等以及子集的定义可知：
(1)如果A B且B A，则A=B；
(2)如果A=B，则A B且B A.
探究新知
例3 写出下列每对集合之间的关系:
(1)A={1,2,3,4,5}，B={1,3,5}；
(2)C={x|x2=1}，D={x||x|=1}；
(3)E=(-∞,3)，F=(-1,2]；
(4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形}，H={x|x是有一个内角为直角的平行四边形}.
分析：因为集合之间的关系是通过元素来定义的，所以只要针对集合中的元素进行分析即可.
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(2)不难看出，C和D包含的元素都是1和-1，所以C=D.
解：(1)因为B的每个元素都属于A，而 4∈A 且 4 B，所以 B A .
由图可知，F E.
(3)在数轴上表示出区间E和F
探究新知
由上可以看出，当A是B的子集时，要么A是B的真子集，要么A与B相等.
解：(4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，
所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，
所以x∈H，因此G H.
反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，
所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，
所以x∈G，因此H G，
综上可知，G=H.
探究新知
填写下表，回答后面的问题：
集合 元素个数 所有子集 子集个数
{a} 1
{a，b} 2
{a，b，c} 3
{a，b，c，d} 4
2
4
8
16
探究新知
（1）你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的规律吗？
（2）如果一个集合中有n个元素，你能用n表示这个集合子集的个数吗？
综上所述，集合中的元素个数每增加1个，其子集的个数变为原来的2倍，易知非空集合的真子集个数比子集个数少1.
A
D
C
C
A
C
M=P
小结
集合的基本关系
子集
真子集
集合的相等与子集的关系
谢谢同学们的聆听

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