2.2.3一元二次不等式的解法 课件(共33张PPT) 2025-2026学年高中数学人教B版(2019)必修第一册

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2.2.3一元二次不等式的解法 课件(共33张PPT) 2025-2026学年高中数学人教B版(2019)必修第一册

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(共33张PPT)
第二章 等式与不等式
人教B版(2019)
2.2.3一元二次不等式的解法
素养目录
02 了解一元二次不等式的概念;
01 能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型;
03 理解三个二次的关系;
04 掌握一元二次不等式的解法.
探究新知
汽车在行驶中,由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.
在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查,测得甲车的刹车距离略超过6 m,乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别为
试判断甲、乙两车有无超速现象.
探究新知
要判断甲、乙两车是否超速,就是要得到它们车速的取值范围,也就是要解不等式v -v>6和_________________,
即v -10v-600>0和___________________.
v -v>10
v -10v-2000>0
一元二次不等式
一般地,形如
ax2+bx+c>0
的不等式称为一元二次不等式,其中 a,b,c 是常数,而且 a≠0.
一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.
探究新知
【思考】如何求一个一元二次不等式的解集呢?
首先来看一元二次不等式x(x-1)>0. ①
任意选定一些数,看它们是否是不等式①的解,由此给出解这个不等式的方法.
探究新知
探究新知
用类似的方法求得不等式(x+1)(x-1)<0 ②的解.
依据:ab<0当且仅当 或
因为不等式②可以转化为两个不等式组 或
解得x∈ 或-1<x<1,因此不等式②的解集为(-1,1).
一般地,如果 x1<x2,则不等式 (x-x1)(x-x2)<0 的解集是
(x1,x2),
不等式 (x-x1)(x-x2)>0 的解集是
(-∞,x1)∪(x2,+∞).
一元二次不等式的解集
探究新知
解:因为 x2-x-2 = (x+1)(x-2),
所以原不等式等价于 (x+1)(x-2)>0,
因此所求解集为 (-∞,-1)∪(2,+∞).
例1 求不等式 x2-x-2>0 的解集.
探究新知
情境与问题中的不等式,v2-10v-600>0 可以化为
(v+20)(v-30)>0,
因此甲车的车速 v>30;而 v2-10v-2000>0 可以化为
(v+40)(v-50)>0,
因此乙车的车速 v>50.由此可见,乙车肯定超速了.
探究新知
【思考】
上述我们介绍的一元二次不等式的解法,使用的主要工具是因式分解. 当然,这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便,那么一般情况该怎么办呢?
探究新知
【尝试与发现】
通过代入数值验证的方法,猜测以下一元二次不等式的解集,由此总结求一元二次不等式解集的一般方法:
(1) x2<-1; (2) x2>-2; (3) x2 <9.
探究新知
因为任何一个实数的平方一定是一个非负数,
因此上述尝试与发现中(1)的解集为 ,(2)的解集为R.
对于x <9 来说,两边同时开根号可得 < ,即|x| < 3,
因此 -3这就是说,一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集.
探究新知
例2 求下列不等式的解集:
(1)x2+4x+1≥0; (2)x2-6x-1≤0;
(3)-x2+2x-1<0; (4)2x2+4x+5>0.
解:(1)因为x2+4x+1=x2+4x+4-4+1=(x+2)2-3,
所以原不等式可化为(x+2)2-3≥0,即(x+2)2≥3,
两边开平方得|x+2|≥ ,从而可知 x+2≤- 或 x+2≥ ,
因此 x≤-2- 或 x≥-2+ ,所以原不等式的解集为
(-∞,-2- ]∪[-2+ ,+∞)
探究新知
(2)因为x2-6x-1=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10,
所以原不等式可化为(x-3)2-10≤0,即(x-3)2≤10,
例2 求下列不等式的解集:
(1)x2+4x+1≥0; (2)x2-6x-1≤0;
(3)-x2+2x-1<0; (4)2x2+4x+5>0.
因此3- ≤x≤3+ ,
两边开平方得 |x-3|≤ ,从而可知- ≤x-3≤ ,
所以原不等式的解集为[3- ,3+ ].
探究新知
解: (3) 原不等式可化为 x2-2x+1>0,
又因为 x2-2x+1=(x-1)2,
所以上述不等式可化为 (x-1)2>0.
注意到只要 x≠1,上述不等式就成立,所以原不等式的解集为
(-∞,1)∪(1,+∞).
例2 求下列不等式的解集:
(1)x2+4x+1≥0; (2)x2-6x-1≤0;
(3)-x2+2x-1<0; (4)2x2+4x+5>0.
探究新知
解:(4)原不等式可以化为x2+2x+ >0.
不难看出,这个不等式恒成立,即原不等式的解集为R.
例2 求下列不等式的解集:
(1)x2+4x+1≥0; (2)x2-6x-1≤0;
(3)-x2+2x-1<0; (4)2x2+4x+5>0.
因为 x2+2x+ =(x+1)2+ ,
所以原不等式可以化为(x+1)2 + >0 ,
即(x+1)2 > ,
探究新知
【总结】
一元二次不等式 ax2+bx+c > 0(a≠0)通过配方总是可以变为 (x-h)2 > k 或 (x-h)2 < k 的形式,然后根据 k 的正负等知识,就可以得到原不等式的解集.
探究新知
例3 求不等式 ≥1的解集.
解:由题意知 x-2≠0,因此 (x-2)2>0,
原不等式两边同时乘以 (x-2)2 可得
(2x+1)(x-2)≥(x-2)2 且 x-2≠0,
即 (x+3)(x-2)≥0 且 x≠2,
因此所求不等式的解集为 (-∞,-3]∪(2,+∞).
本例说明,有些不等式通过变形之后,可以借助于一元二次不等式的解法来解
探究新知
二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系(三个“二次”)
判别式 Δ=b2-4ac
y=ax2+bx+c (a>0) 的图像
ax2+bx+c=0 (a>0) 的的根
ax2+bx+c>0 (a>0) 的的解集
ax2+bx+c<0 (a>0) 的的解集
没有实根
有两相等实根
有两相异实根
C
A
D
B
D
D
小结
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的概念
三个二次的关系
一元二次不等式的解法

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