资源简介

(共33张PPT)
第二章 等式与不等式
人教B版（2019）
2.2.3一元二次不等式的解法
素养目录
02 了解一元二次不等式的概念；
01 能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型；
03 理解三个二次的关系；
04 掌握一元二次不等式的解法.
探究新知
汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别为
试判断甲、乙两车有无超速现象．
探究新知
要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式v －v＞6和_________________，
即v －10v－600>0和___________________.
v －v＞10
v －10v－2000>0
一元二次不等式
一般地，形如
ax2＋bx＋c＞0
的不等式称为一元二次不等式，其中 a，b，c 是常数，而且 a≠0.
一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等．
探究新知
【思考】如何求一个一元二次不等式的解集呢？
首先来看一元二次不等式x(x－1)>0. ①
任意选定一些数，看它们是否是不等式①的解，由此给出解这个不等式的方法.
探究新知
探究新知
用类似的方法求得不等式(x+1)(x-1)＜0 ②的解.
依据：ab＜0当且仅当 或
因为不等式②可以转化为两个不等式组 或
解得x∈ 或-1＜x＜1，因此不等式②的解集为(-1，1)．
一般地，如果 x1＜x2，则不等式 (x-x1)(x-x2)＜0 的解集是
(x1，x2)，
不等式 (x-x1)(x-x2)＞0 的解集是
(-∞，x1)∪(x2，+∞).
一元二次不等式的解集
探究新知
解：因为 x2-x-2 = (x+1)(x-2)，
所以原不等式等价于 (x+1)(x-2)>0，
因此所求解集为 (-∞，-1)∪(2，+∞).
例1 求不等式 x2-x-2>0 的解集.
探究新知
情境与问题中的不等式，v2－10v－600＞0 可以化为
(v＋20)(v－30)＞0，
因此甲车的车速 v＞30；而 v2－10v－2000＞0 可以化为
(v＋40)(v－50)＞0，
因此乙车的车速 v＞50．由此可见，乙车肯定超速了．
探究新知
【思考】
上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解. 当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？
探究新知
【尝试与发现】
通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法：
(1) x2＜-1； (2) x2＞-2； (3) x2 ＜9.
探究新知
因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，
因此上述尝试与发现中（1）的解集为 ，（2）的解集为R.
对于x <9 来说，两边同时开根号可得 < ，即|x| < 3，
因此 -3这就是说，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集.
探究新知
例2 求下列不等式的解集：
（1）x2+4x+1≥0； （2）x2-6x-1≤0；
（3）-x2+2x-1<0； （4）2x2+4x+5>0.
解：（1）因为x2＋4x＋1＝x2＋4x＋4－4＋1＝(x＋2)2－3，
所以原不等式可化为(x＋2)2－3≥0，即(x＋2)2≥3，
两边开平方得|x＋2|≥ ，从而可知 x＋2≤－ 或 x＋2≥ ，
因此 x≤－2－ 或 x≥－2＋ ，所以原不等式的解集为
(－∞，－2－ ]∪[－2＋ ，＋∞)
探究新知
（2）因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝(x－3)2－10，
所以原不等式可化为(x－3)2－10≤0，即(x－3)2≤10，
例2 求下列不等式的解集：
（1）x2+4x+1≥0； （2）x2-6x-1≤0；
（3）-x2+2x-1<0； （4）2x2+4x+5>0.
因此3－ ≤x≤3＋ ，
两边开平方得 |x－3|≤ ，从而可知－ ≤x－3≤ ，
所以原不等式的解集为[3－ ，3＋ ]．
探究新知
解： (3) 原不等式可化为 x2－2x＋1＞0，
又因为 x2－2x＋1＝(x－1)2，
所以上述不等式可化为 (x－1)2＞0．
注意到只要 x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为
(－∞，1)∪(1，＋∞)．
例2 求下列不等式的解集：
（1）x2+4x+1≥0； （2）x2-6x-1≤0；
（3）-x2+2x-1<0； （4）2x2+4x+5>0.
探究新知
解：（4）原不等式可以化为x2＋2x＋ ＞0．
不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R．
例2 求下列不等式的解集：
（1）x2+4x+1≥0； （2）x2-6x-1≤0；
（3）-x2+2x-1<0； （4）2x2+4x+5>0.
因为 x2＋2x＋ ＝(x＋1)2＋ ，
所以原不等式可以化为(x＋1)2 ＋ ＞0 ，
即(x＋1)2 ＞ ，
探究新知
【总结】
一元二次不等式 ax2＋bx＋c > 0（a≠0）通过配方总是可以变为 (x－h)2 > k 或 (x－h)2 < k 的形式，然后根据 k 的正负等知识，就可以得到原不等式的解集．
探究新知
例3 求不等式 ≥1的解集．
解：由题意知 x－2≠0，因此 (x－2)2＞0，
原不等式两边同时乘以 (x－2)2 可得
(2x＋1)(x－2)≥(x－2)2 且 x－2≠0，
即 (x＋3)(x－2)≥0 且 x≠2，
因此所求不等式的解集为 (－∞，－3]∪(2，＋∞)．
本例说明，有些不等式通过变形之后，可以借助于一元二次不等式的解法来解
探究新知
二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系（三个“二次”）
判别式 Δ＝b2－4ac
y＝ax2＋bx＋c (a＞0) 的图像
ax2＋bx＋c＝0 (a＞0) 的的根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0) 的的解集
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0) 的的解集
没有实根
有两相等实根
有两相异实根
C
A
D
B
D
D
小结
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的概念
三个二次的关系
一元二次不等式的解法

展开更多......

收起↑