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2.2.1 不等式及其性质
第二章 等式与不等式
人教B版（2019）
素养目录
02 理解不等式的性质；
01 理解不等式的相关概念，掌握两个数或代数式的大小比较方法；
03 掌握不等式性质的应用.
新知导入
【情境与问题】
你见过图中的高速公路指示牌吗？
左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1（单位：km/h，下同）应该满足100≤v1≤120；
右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足_______________．
60≤v2≤100
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在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具.
我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．
在上述不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”.
事实上，任意给定两个实数a，b，那么
a≥b a＞b或a＝b；
a≤b ____________．
a＜b或a＝b
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【思考】怎么理解两个实数之间的大小呢？
实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
如果点 P 对应的数为 x ，则称 x 为点P的坐标，并记作 P(x) .
数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小. 如下图所示的数轴中，A(a)，B(b) 不难看出
b>1>0>a.
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此外，我们知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；
一个数减去一个正数（即加上一个负数），相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离.
由此可以看出，要比较两个实数 a，b 的大小，只要考察 a - b 与 0 的相对大小就可以了，即
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回顾初中学过的不等式的三个性质：
性质1 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c．
性质2 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc．
性质3 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．
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【尝试与发现】
你能利用前面的知识，给出性质1的直观理解以及这三个性质的证明吗？
性质1 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c．
性质2 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc．
性质3 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．
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性质1的直观理解：
事实上，如图所示，
a>b是指点 A 在点 B 的右侧，a+c和b+c表示点 A 和点 B 在数轴上做了相同的平移，平移后得到的点 A’和 B’ 的相对位置，与 A 和 B 的相对位置是一样的，因此 a+c>b+c.
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性质1 如果 a＞b，那么 a＋c＞b＋c．
证明：因为(a＋c)－(b＋c) = a＋c－b－c = a－b，又因为 a>b，所以a－b>0，
从而(a＋c)－(b＋c)>0，
因此 a＋c>b＋c.
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性质2 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc．
证明：因为ac－bc = (a－b)c.
又因为 a>b，所以a－b>0，而c>0，
因此(a－b)c>0，
因此ac－bc>0，即ac>bc.
参考以上证明方法在课下证明性质3
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【尝试与发现】
用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：
（1）a>b是a+c>b+c 的_________条件；
（2）如果c>0，则a>b是ac>bc 的___________条件；
（3）如果c<0，则a>b是ac充要
充要
充要
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在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质.
性质4 如果a＞b，b＞c，那么a＞c.（不等关系的传递性）
如图所示，点 A 在点 B 的右侧，点 B 在点 C 的右侧，因此点 A 必定在点 C 的右侧
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性质4 如果a＞b，b＞c，那么a＞c.（不等关系的传递性）
证明：因为a－c＝(a－b)＋(b－c)，
又因为a＞b，所以a－b＞0；
且b＞c，所以b－c＞0，
因此(a－b)＋(b－c)＞0，
从而a－c＞0，即a＞c.
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在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质.
性质5 a > b b < a.
证明：因为
所以 ，
即.
【注意】上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，
因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母.
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例1 比较 x2－x 和 x－2 的大小.
解：因为 (x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2 ＝ (x－1)2＋1，
又因为 (x－1)2 ≥ 0，所以 (x－1)2+1≥1＞0，
从而 (x2－x)－(x－2)＞0，
因此 x2－x＞x－2.
配方法
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【注意】
前面我们证明不等式性质和解答例 1 的方法，其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法.
在证明不等式时，也可直接利用已经证明过的不等式性质等.
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.
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下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论1：如果 a+b>c，那么 a>c-b.
证明：a+b>c a+b+(-b)>c+(-b) a>c-b.
推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.
推论1通常称为不等式的移项法则.
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推论2：如果 a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
证明：根据性质1有a>b a＋c>b＋c，c>d b+c>b+d.
再根据性质 4 可知a+c>b+d.
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我们把 a>b 和c>d (或 a＜b 和c＜d) 这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式.
推论 2 说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.
推论 2 可以推广为更一般的结论：
有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.
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推论3：如果 a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
证明：根据性质2有a>b，c＞0 ac>bc，
c＞d，b>0 bc>bd，
再根据性质 4 可知ac＞bd.
推论3推广为更一般的结论：
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.
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推论4： 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).
这个结论的证明只要多次使用推论 3 的结论即可.
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推论5：如果a > b > 0，那么 ．
证明：假设，
即 或 ，
根据推论 4 和二次根式的性质，得或.
这与矛盾，
因此假设不成立，从而
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【尝试与发现】
证明推论 5 中不等式的方法具有什么特征？
推论 5 中证明方法的实质是：
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.
这种得到数学结论的方法通常称为反证法.
反证法是一种间接证明的方法.
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例2（1）已知a>b，c b－d；
（2）已知a>b，ab>0，求证： <
（3）已知a>b>0，0探究新知
证明：(1) 因为 a＞b，c＜d，所以a＞b，-c＞-d
根据推论2，得 a-c＞b-d.
(2) 因为 ab＞0，所以
又因为 a＞b，所以
即 ，因此
(3)因为 0＜c＜d，根据 (2) 的结论，得 ＞ ＞0.
又因为 a＞b＞0，所以根据推论 3 可知 a· ＞ b· ，即
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例 2 中所使用的方法是综合法.
综合法中，最重要的推理形式为 p q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论.
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【尝试与发现】
你能证明+＜2吗？用综合法证明这个结论方便吗？你觉得可以怎样证明这个结论？
直接证明+ < 2并不容易，因此可以考虑用反证法，
假设不等式+ < 2 不成立，则+ ≥ 2
两边平方得 ，所以≥5，
所以 21≥25，该不等式显然不成立，所以原不等式成立．
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不过，为了方便起见，人们通常用下述方式来证明这个结论：
要证+ < 2，只需证明 (+)2 < (2)2，
展开得 10＋2 < 20，即 < 5，
这只需证明 ()2 < 52，
即 21 < 25.
因为21 < 25 成立，所以+ < 2成立.
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这种证明方法通常称为分析法.
分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为 pq ，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.
+<2的证明过程也可简写为：
因为+<2 (+) <(2) <5 21<25，
又因为 21<25 成立，所以结论成立.
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例3 已知m>0，求证：＞
证明：因为m>0，所以3＋m>0，
从而＞ 3(1＋m)>3＋m m>0，
又因为已知m>0，所以结论成立.
D
B
A
C
C
B
AC
ABC
小结
不等式及其性质
不等式的概念
不等式的性质
综合法、反证法和分析法
谢谢同学们的聆听

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