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2024浙教版七上数学第二章有理数的运算单元检测
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列各数是负数的是（ ）
A． B． C． D．
（2025 甘肃）﹣2+5＝（　　）
A．﹣10 B．﹣7 C．﹣3 D．3
（2025 自贡）若（﹣4）×□＝8，则□内的数字是（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
（2025 烟台）|﹣3|的倒数是（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．
（2025 甘肃）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（　　）
A．4.5142×109 B．4.5142×1010
C．4.5142×1011 D．4.5142×1012
如图的数在线有A（ 2）、O（0）、B（2）三点．今打算在此数在线标示P（p）、Q（q）两点，且p、q互为倒数，若P在A的左侧，则下列叙述何者正确？（　　）
A．Q在AO上，且AQ＜QO B．Q在AO上，且AQ＞QO
C．Q在OB上，且OQ＜QB D．Q在OB上，且OQ＞QB
如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且6＝1+2+3，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（　　）
A．8 B．18 C．28 D．32
请通过计算推测32018的个位数是（　　）
A．1 B．3 C．7 D．9
如图，数轴上的点，，分别表示数，，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，＝（n≥m，n、m为正整数），例如：＝，＝，则+＝（　　）
A． B． C． D．
1 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
（2025 安徽）计算：|﹣5|﹣（﹣1）＝　 　 ．
如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2+IR3，当R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2时，U的值为 　 　．
（2025 成都）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 　 　 ．
小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，﹣2，﹣1，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 　 　.（写出一个符合题意的数即可）
当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：
YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数，
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002，
JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6，
QGYW（强国有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估计2200比1060大．
其中对2200的理解错误的网友是 　 　（填写网名字母代号）．
观察下列各式：
S1＝＝1+，S2＝＝1+，S3＝＝1+ …
请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+…+S50＝　 　．
1 、解答题（本大题共8小题，共52分）
在“-”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入中的□，并计算．
计算：
(1)
(2)
阅读下面解题过程：
计算：
解：原式＝（第一步）
＝（第二步）
＝（﹣15）÷（﹣25）（第三步）
＝﹣（第四步）
回答：（1）上面解题过程中有两个错误，第一处是第　 　步，错误的原因是　 　，第二处是第　 　步，错误的原因是　 　；
（2）正确的结果是　 　．
（2025 河北）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在0﹣100℃（本题涉及的温度均在此范围内），原长为l m的铜棒、铁棒受热后，伸长量y（m）与温度的增加量x（℃）之间的关系均为y＝alx，其中a为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数aCu＝1.7×10﹣5（单位：/℃）；原长为2.5m的铁棒从20℃加热到80℃伸长了1.8×10﹣3m．
（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高50℃，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数aFe；若原长为1m的铁棒受热后伸长4.8×10﹣4m，求该铁棒温度的增加量．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高20℃，求该铁棒温度的增加量．
出租车司机小李某天上午运营全是在某条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：，，，，，．
起步价（3千米以内） 超过3千米部分每千米费用（不足1千米以1千米计） 等候费（不足1分钟以1分钟计）
（单价：元） 11 每4分钟元
(1)若记出发点位置为A，将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
(2)若汽车耗油量为升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？
(3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间约为32分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？
一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果，那么我们把这个四位正整数叫做顺次数，例如四位正整数1369：因为，所以1369叫做顺次数．
（1）四位正整数中，最大的“顺次数”是__________，最小的“顺次数”是__________；
（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是2、7，且这个四位正整数是“顺次数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．
小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．
（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；
（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．
例如：，，所以14是“差一数”；
，但，所以19不是“差一数”．
（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；
（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．
答案解析
1 、选择题
【分析】本题考查了负数的定义、有理数的乘方、绝对值、相反数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据负数的定义、有理数的乘方、绝对值、相反数的定义，逐项分析判断即可得出答案．
解：A．，不是负数，不符合题意；
B、，不是负数，不符合题意；
C、，不是负数，不符合题意；
D、是负数，符合题意；
故选：D．
【考点】有理数的加法
【分析】绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此计算即可．
解：原式＝+（5﹣2）＝3，
故选：D．
【点评】本题考查有理数的加法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【考点】有理数的乘法
【分析】因为（﹣4）×□＝8，所以□＝8÷（﹣4）＝﹣2，据此解答．
解：因为（﹣4）×□＝8，
所以□＝8÷（﹣4）＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是□＝8÷（﹣4）．
【考点】倒数；绝对值
【分析】首先运用绝对值的定义去掉绝对值的符号，然后根据倒数的定义求解．
解：∵|﹣3|＝3，3的倒数是，
∴|﹣3|的倒数是．
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值和倒数的定义．
绝对值的定义：如果用字母a表示有理数，则数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：451420000000＝4.5142×1011．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【分析】取特殊值法排除A选项，再用倒数的性质排除C、D选项．
解：取P（﹣3），则Q（），则AQ＝，OQ＝，故A错误；
∵p为负数，p、q互为倒数，
∴q为负数，
∴点Q不可能在OB上，
故C、D错误．
故选：B．
【点评】本题考查利用特殊值和倒数的性质解题．
【考点】有理数的乘法，因数．
【分析】根据“完美数”的定义，先找出各个数的因数，再按完美数的要求相加，和与这个数相等的，就是“完美数”．
解：A．8的因数有：1，2，4，8，1+2+4＝7，8不是“完美数”，故A错误，
B．18的因数有1，2，3，6，9，18，1+2+3+6+9＝21，18不是“完美数”，故B错误，
C．28的因数有：1，2，4，7，14，28，1+2+4+7+14＝28，28是“完美数”，故C正确，
D．32的因数有：1，2，4，8，16，32，1+2+4+8+16＝31，32不是“完美数”，故D错误，
故选：C．
【点评】理解“完美数”的定义，掌握求一个数的因数的方法是解题的关键．
【考点】尾数特征
【分析】观察个位数的变化规律：3，9，7，1．之后又是3，9，7，1．即4个数循环，2017除以4结果为504，余数为2，即可得出答案．
解：由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…
可得等号右边个位数变化规律为：3，9，7，1，3，9，7，1．即以每四个数后，又出现3，9，7，1．
2018÷4＝504…2，即和第一次出的位置相同，个位为9．
故选：D．
【点评】此题主要考查了尾数特征，根据已知得出规律为：每四个数的个位数一组循环是解题关键．
【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小．有理数的运算法则．根据数轴，可得结合有理数的运算法则逐项判定即可．
解：①∵
∴，
∴①正确；
②∵
∴，
∴②正确；
③∵
∴，
∴③正确；
④∵，
∴，
∴④正确．
∴正确的有①②③④．
故选：D．
【考点】规律型：数字的变化类，有理数的混合运算．
【分析】对于和正用公式＝，通分后再逆用公式．
解：∵＝，
∴+＝+＝+＝2×＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了新定义组合数公式的正用和逆用以及通分技巧，关键是通分成一个分数．
1 、填空题
【考点】有理数的减法；相反数；绝对值
【分析】先算绝对值，再算减法即可．
解：原式＝5+1＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查有理数的减法，相反数，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】根据题干条件代值即可．
解：由题意可得U＝2.2×（20.3+31.9+47.8）＝220．
故答案为：220．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出式子是解题关键．
【考点】有理数的混合运算
【分析】根据程序框图列出算式（15+3）÷6，进而计算即可．
解：由题意知，输入的数x＝（15+3）÷6
＝18÷6
＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据程序框图列出算式．
【分析】根据题意，填写数字即可．
解：由题意，填写如下：
1+0+（﹣1）＝0，2+0+（﹣2）＝0，满足题意，
故答案为：0．
【点评】本题考查了有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．
【考点】有理数的乘方，尾数特征．
【分析】由乘方的定义可知，2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘，通过计算可得2n的尾数2，4，8，6循环，由循环规律可确定2200的个位数字是6，由积的乘方运算可得2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，由此可得2200＞1060，从而可求解．
解：（1）∵2200就是200个2相乘，
∴YYDS（永远的神）的说法正确，
∵2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘，
∴2200不等于2002，
∴DDDD（懂的都懂）说法不正确，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴2n的尾数2，4，8，6循环，
∵200÷4＝50，
∴2200的个位数字是6，
∴JXND（觉醒年代）说法正确，
∵210＝1024，103＝1000，
∴2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，
∵1024＞1000，
∴2200＞1060，
∴QGYW（强国有我）说法正确，
故答案为：DDDD．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握乘方的性质，积的乘方运算法则，尾数的循环规律是解题的关键．
【考点】规律型：数字的变化类，有理数的混合运算．
【分析】由题干中的式子总结规律，然后利用裂项法进行计算即可．
解：S1+S2+…+S50
＝1++1++1++...+1+
＝（1+1+1+...+1）+（+++...+）
＝1×50+（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）
＝50+（1﹣）
＝50+
＝50，
故答案为：50．
【点评】本题考查数式规律问题及有理数的运算，总结规律列出正确的式子并利用裂项法进行简便运算是解题的关键．
1 、解答题
【考点】有理数的混合运算
【分析】先选择符号，然后按照有理数的四则运算进行计算即可．
解：（1）选择“-”
（2）选择“×”
【点评】本题考查了有理数的四则运算，熟知有理数的四则运算法则是解题的关键．
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，
对于（1），根据乘法分配律直接计算即可；
对于（2），先计算乘方，再计算乘除，同时计算括号内的，最后算加减．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【考点】有理数的混合运算
【分析】(1)应先算括号里的，再按从左到右的顺序计算，故可求解；
(2)根据有理数的混合运算法则即可求解．
解：（1）上面解题过程中有两个错误，第一处是第二步，错误的原因是在同级运算中，没有按从左到右的顺序进行，第二处是第四步，错误的原因是两数相除，同号得正，符号应该是正的；
（2）
＝
＝
＝．
故正确的结果是．
故答案为：二；在同级运算中，没有按从左到右的顺序进行；四；两数相除，同号得正，符号应该是正的；．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，运算顺序和符号问题是学生最容易出现错误的地方．
【考点】有理数的混合运算；科学记数法—表示较小的数
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意先求得aFe，然后列式计算求得该铁棒温度的增加量即可；
（3）设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为（x+20）℃，设它们的长度均为l，根据题意列得方程，解方程求得x的值后代入x+20中计算即可．
解：（1）1.7×10﹣5×0.6×50＝5.1×10﹣4（m），
即该铜棒的伸长量为5.1×10﹣4m；
（2）aFe1.2×10﹣5，
4.8×10﹣4÷（1.2×10﹣5×1）＝40（℃），
即该铁棒温度的增加量为40℃；
（3）设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为（x+20）℃，设它们的长度均为l，
由题意得1.7×10﹣5lx＝1.2×10﹣5l（x+20），
整理得：17x＝12x+240，
解得：x＝48，
则x+20＝48+20＝68，
即该铁棒温度的增加量为68℃．
【点评】本题考查有理数的混合运算，科学记数法表示较小的数，理解题意并列得正确的算式及方程是解题的关键．
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，以及正数和负数的意义：
（1）利用有理数的加法列出算式，再计算即可；
（2）求出各数的绝对值的和，再利用耗油量行驶路程可得答案；
（3）利用起步价超过3千米部分的费用等候费可得答案．
（1）解：千米，
即小李在出发点的北方1千米处；
（2）解：千米，
升，
即出租车共耗油升；
（3）解：元，
即第三位乘客需支付车费元．
【考点】有理数的除法，定义新运算
【分析】（1）根据“顺次数”的定义，直接写出答案即可；
（2）分两种情况：当时，当时，分别写出所有的顺次数，再验证能否被7整除，即可得到答案．
解：（1）根据“顺次数”的定义，四位正整数中，最大的“顺次数”是9999，最小的“顺次数”是1111，
故答案是：9999，1111；
(2）当时，可能是1227、1237、1247、1257、1267、1277，其中，只有1267是7的倍数；
当时，可能是2227、2237、2247、2257、2267、2277，其中，只有2247是7的倍数；
∴这个四位数是1267或2247．
【点评】本题主要考查新定义问题，理解“顺次数”的定义，是解题的关键．
【考点】有理数运算的实际应用
【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；
（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解．
（1）解：75÷15=5（毫升/分钟），
250-5×10=200（毫升），
答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；
（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），
160÷4+20=60（分钟），
答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．
【点评】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键．
【考点】有理数的混合运算,定义新运算
【分析】（1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可；
（2）解法一：根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9，被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可依次求得大于300且小于400的所有“差一数”；解法二：根据题意可得：所求数加1能被15整除，据此可先求出大于300且小于400的能被15整除的数，进一步即得结果．
解：（1）∵；，
∴49不是“差一数”，
∵；，
∴74是“差一数”；
（2）解法一：∵“差一数”这个数除以5余数为4，
∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，
∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，
∵“差一数”这个数除以3余数为2，
∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
解法二：∵“差一数”这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，
∴这个数加1能被15整除，
∵大于300且小于400的能被15整除的数为315、330、345、360、375、390，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
【点评】此题主要考查了带余数的除法运算，第（2）题的解法一是用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数；解法二是正确得出这个数加1能被15整除，明确方法是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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