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浙教版2025学年七年级上册数学第二章《有理数的运算》培优卷（附答案）
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
的倒数是（ ）
B. C. 3 D. -3
2.用四舍五入法对6108700精确到万位，并用科学计数法表示，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 任何有理数都有倒数 B. 一个数的绝对值等于它本身的数一定是负数
C. 若一个数的平方等于它本身，则这个数一定是1 D. 不一定是负数
4. 下列计算：①， ②， ③， ④. 结果错误的是（ ）
A. ②③ B.②④ C. ①②③ D. ②③④
5. 化简（为圆周率）的结果为（ ）
A. B. C. D. 0
6. 若，则的值为（ ）
A. -20 B. 20 C. -20或20 D.不能确定
7. 已知，且，则的值为（ ）
-11或3 B. -3或11 C. -11或-3 D. 3或11
若均为整数，且，则的最大值与最小值的差为（ ）
32 B. -32 C. 16 D. -16
若均为有理数，则化简的结果为（ ）
-1或3 B. -1或1或3 C. -3或-1或3 D. -3或-1或1或3
若四个不同的正整数满足，则的值为（ ）
-18 B. -20 C. -22 D. -24
填空题：(本题共6小题，每小题3分，共18 分)
绝对值不大于3的整数共有 个.
12.若一个数为6，另一个数比6的相反数大3，则这两个数的和为 .
13 .若规定用表示不超过的最大整数，如，，则的值为 .
如图，点A、B、C、D在数轴上表示的数分别为-3、、1、，若线段AD的中点恰好与线段BC的中点重合，则的值为 .
计算的结果为 .
电子跳蚤游戏盆（如图）为△ABC，AB=6，AC=7，BC=8.如果电子跳蚤开始时在BC边的点，=3，第一步跳蚤从点跳到AC边上点,且；第二步跳蚤从点跳到AB边上的点，且；第三步跳蚤从点跳到BC边上的点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为.则与点C之间的距离为 .
计算题：（本大题共7小题，共52分）
(本题6分）计算：
（1） （2） （3）
（本题6分）已知的相反数是2，的绝对值是5，的倒数是-4.
（1）写出的值；
（2）若，求的值.
(本题6分）已知有理数在数轴上的对应点如图所示.
(1) 0； 0； 0（填“>”、“<”或“=”）；
(2)化简.
（本题6分）定义一种新运算“”，规则为：.
例如：.
（1）求的值；
（2）求的值.
（本题6分）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽取卡片，完成下列问题：
从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？这个最大值是多少？
从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出两种运算式子.
（本题6）底面半径为10cm，高为40cm的圆柱形水桶中装满了水.小明先将桶中的水倒满3个底面半径为3cm，高为5cm的圆柱形杯子，再把剩下的水倒入长、宽、高分别为50cm，20cm和12cm的长方体容器内.问：长方体容器内的水会溢出吗？若不会溢出，长方体容器内水的高度大约是多少cm（取3，容器的厚度不计）？
(本题8分）某出租车司机从公司出发，在南北朝向的人民路上连续接送6批客人（第一批客人在公司门口接到），行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负）：
批次 1 2 3 4 5 6
路程（km） -4 5 -5 2 -6 3
接送完第六批客人后，该司机在公司的什么方向？距离公司多少千米？
若该出租车每千米耗油0.1升，那么在这个过程中共耗油多少升？
若该出租车的计价标准为：行程路程不超过3km时，收费10元；行程路程超过3km时，超过3km的部分按每千米加1.6元收费，在这个过程中该驾驶员共收到车费多少元？
（本题8分）已知在数轴上有两点M、N，点N表示的数为-3，点M在点N的右边，且距离点N有4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点.
（1）点M表示的数为 ；
（2）当点P到点M、N的距离之和为5个单位长度时，求点P所表示的数；
（3）如果点P、Q分别从点M、N同时出发，均沿数轴向同一方向运动，点P每秒走3个单位长度，点Q每秒走4个单位长度.经过2秒后，点P、Q之间的距离是多少？
参考答案
选择题
C 解：，而的倒数是3，的倒数是3.故选C.
B 解：∵用四舍五入法对6108700精确到万位，并用科学计数法表示，∴6108700611万=611×=6.11×.故选B.
D 解：对于A:∵0没有倒数，∴A错误；对于B：∵|0|=0，即0的绝对值等于它本身，∴B错误；对于C:∵，即0的平方等于它本身，∴C错误；对于D:∵当时，不是负数；当为负数时，为正数.只有当为正数时，才是负数.∴D正确.故选D.
D 解：对于①：，∴①正确；对于②：，∴②错误；对于③：，∴③错误；对于④：，∴④错误.故选D.
B 解：3.1416，∴3.14-<0.∵根据“一个负数的绝对值是它的相反数”，而3.14-的相反数是.故选B.
A 解：，又∵和都是非负数，且.，..故选A.
C 解：或7.或4.∴.，
或4.当时，；当时，.
∴的值为-11或-3.故选C.
A 解：∵均为整数，且，，或，或，或，或，
或，或，或.的最大值为：15+1=16，最小值为：-15+（-1）=-16.
的最大值与最小值的差为：16-（-16)=16+16=32.故选A.
A 解：易知均不为0，下面对的正、负情况进行讨论并列表如下：
+ + + - + - - -
+ + - + - + - -
+ - + + - - + -
1 1 1 -1 1 -1 -1 -1
1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
1 -1 -1 -1 1 1 1 -1
++ 3 -1 -1 -1 3 -1 -1 -1
由表可知化简++的结果为-1或3.故选A.
B 解：∵四个不同的正整数满足，而9=-3×（-1）×1×3，
∴就等于-3、-1、1、3这4个数中的某个数，且各不相同.
∴=-3+(-1)+1+3=0..故选B.
填空题
7 解：绝对值不大于3的整数为：-3、-2、-1、0、1、2、3，共有7个.
3 解：∵一个数为6，另一个数比它的相反数大3，∴另一个数为：-6+3=-3，
∴这两个数的和为：6+（-3）=3.
-5 解：，，
解：∵点A、D在数轴上表示的数分别为 -3和，∴线段AD的中点表示的数为 .∵点B、C在数轴上表示的数分别为和1，∴线段BC的中点表示的数为 .∵线段AD的中点恰好与线段BC的中点重合，∴=.化为.解得.
解：，，，∴
=.
4 解：由题意可得，=7-5=2,
，,
7-4=3，..∴.∴点与点∴跳蚤的运动是6次一循环.∵2025=6×337+3，∴点与点重合..
解答题
解：（1）=[（-12）+（-）]+（9.5+7）=；
（2）=-21×（-）-12（-）=；
（3）=64×－16+25=－216+9=－207.
18. 解：（1）；
（2）由（1）知.，，又，..=.
19. 解：（1）<；>；<.
(2)∵根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，.，
..
解：（1）；
（2），==
-46=1-46-46=-91.
解：（1）当抽取的两张卡片上的数字为-5和-4时，它们的乘积最大，这个最大值为：（-5）×（-4）=20.
(2)①(-5)×(-4)+0×6=24，②（-4）-（+2）-（-5）×6=24，③(-5)×(-4)+6-2=24，④0×（+2）-（-4）×（+6）=24.（答案不唯一）
22. 解：倒满杯子后，剩下的水的体积为.
长方体容器的容积为50×20×12=12000.∵12000>11595，∴水不会溢出.
∵11595÷(50×20)=11.595，∴长方体容器内水的高度为11.595.
23. 解：（1）-4+5-5+2-6+3=-5，答：该司机在公司的北方，距离公司5千米.
（2）|-4|+5+|-5|+2+|-6|+3=4+5+5+2+6+3=25，25×0.1=2.5（升）.
答：在这个过程中共耗油2.5升.
（3）第一批车费为：10+（|-4|-3）×1.6=10+1.6=11.6（元）；第二批车费为：10+（5-3）×1.6=10+3.2=13.2（元）；第三批车费为：10+（|-5|-3）×1.6=13.2（元）；第四批车费为：10（元）；第五批车费为：10+（|-6|-3）×1.6=14.8（元）；第六批车费为10（元）.11.6+13.2+13.2+10+14.8+10=72.8(元）.
答：在这个过程中该驾驶员共收到车费72.8元.
24. 解：（1）1；
（2）由题意可知PM+PN=5，而MN=4.∴点P不可能在线段MN上.下面分情况讨论：
①如图1，当点P在点N左侧时，∵PN+PM=5，∴PN+(PN+MN)=5.∴2PN+4=5.∴PN=0.5.∴PM=PN+MN=0.5+4=4.5.
∴PO=PM-OM=4.5-1=3.5.∴点P所表示的数为-3.5；
②如图2，当点P在点M右侧时，∵PM+PN=5，∴PM+(PM+MN)=5.∴2PM+4=5.∴PM=0.5.∴PO=PM+MO=0.5+1=1.5.
∴点P所表示的数为1.5.
因此，点P所表示的数为-3.5或1.5.
(3)由题意可知MN=4.下面分情况讨论：
①当点M、N均沿数轴左边运动时，则运动2秒钟后，点P、Q之间的距离为：2×4+4-2×3=8+4-6=6；
②当点M、N均沿数轴右边运动时，则运动2秒钟后，点P、Q之间的距离为：2×3+4-2×4=6+4-8=2.
答：经过2秒后，点P、Q之间的距离是6或2.
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