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浙教版八上数学
第二章 特殊三角形章末复习（4）
-------勾股定理与勾股数：定义、性质、判定
勾股定理：
直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，
那么a2+b2=c2。
a
b
c
勾股定理的证明
（1）赵爽弦图
S大正方形=c2
S大正方形=(b-a)2+4× ab
得c2=a2+b2.
c2=(b-a)2+4× ab
（2）拼接图形
重新组合
S左=a2+b2+4× ab
S右=c2+4× ab
∵S左=S右
∴a2+b2=c2
勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，
那么这个三角形是直角三角形。
P
Q
R
a
c
b
SP+SQ=SR
a2+b2=c2
┚
勾股定理的几何意义：
如图，如果以直角三角形的三条边a，b，c为直径，
向外分别作半圆，那么s1+s2=s3依然成立
b
a
c
S1+S2=S3
以Rt△ABC的三边为边向外三个等边三角形，
S1+S2=S3
分割、补形、类比迁移
向外作的三个图形面积相同变化
欧几里得的《几何原本》曾介绍：
“在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和.”
分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
由勾股定理演变的结论
A
B
a
c
b
C
SA+SB=SC
a2+b2=c2
第一代勾股树：以直角三角形的三边为边长分别作三个正方形
5
4
3
2
1
观察下列图形，正方形1的边长为7，
则正方形2、3、4、5的面积之和为多少？
S2+S3+S4+S5=
S1
第二代勾股树：让二个小正方形的顶部各自长出一幅新的勾股树，描出第二代勾股树
=49
描出第三代勾股树
描出第四代勾股树
… ……
神奇的勾股树--------生长过程中的不变性----S第一代=S第二代S=第三代=S第四代=‥‥
(1)定义：
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数:
（2）性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，
得到一组新数，这组数同样是勾股数.
3,4,5 6,8,10 5,12,13
7,24,25 8,15,17 9,40,41
A
B
C
c
a
b
a2 +b2=c2
(a+b)2 - (a-b)2=4ab
形如 a2 +2ab+b2 或 a2 - 2ab+b2 的多项式,叫做完全平方式。
a2 +2ab+b2= (a+b)2
a2 - 2ab+b2= (a-b)2
(a+b)2 =(a-b)2+4ab
(a-b)2+4ab=(a+b)2
取a=n2,b=1
A=n -1，B=2n，C=n +1(n>1)
A +B =(n -1) +(2n) =n4 -2n +1+4n =n4 +2n +1 =(n +1) =C .
判定：
首2±2×首×尾+尾2=（首+尾）2
A＝m2－n2，B＝2mn，C＝m2＋n2(m>n，m,n是正整数)
解：∵ A=m2－n2，B=2mn，C＝m2＋n2
∴A2+B2=(m2－n2)2+(2mn)2
＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2
＝(m2＋n2)2
＝m4＋2m2n2＋n4
＝C2
判定：
(a+b)2 - (a-b)2=4ab
取a=m2,b=n2
SA+SB=SC
C
勾股数：（5,12,13）
口算处理：52=25，132=169,122=144
当堂检测：
勾股数（5,12,13）（9,12,15）
口算处理：9+5=14，
3．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，
求BC的长．
分两种情况：①∠B为锐角； ②∠B为钝角
故答案为：16+5或16-5．
13
12
5
20
16
13
12
5
20
16
11
4.折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠，
使点A落在BD的E处，折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长.
在Rt△BGE中
4
x
3
4
3
4-x
x
3
D
A
G
B
C
E
x=1.5
x2+22=(4-x)2


A
B
.
.
A

B
解：(1)供水站P的位置如图所示.
P

A’

M
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
0.5×10+5=10.
故供水站修建完成后共计要花10万元.
对称处理+勾股数（6,8,10）
供水站P2种画法+水管最短4种构造
B’
E
F
G
6．如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形．已知这三个正方形构成的图形中，深色部分的面积与浅色部分的面积相等，则△ABC一定是________三角形．
直角
S深＝b2－S1＋a2－S2，
S浅＝S3＋S4＝c2－(S1＋S2)．
∵S深＝S浅，
∴b2－S1＋a2－S2＝c2－(S1＋S2)，即b2＋a2＝c2，
∴△ABC一定是直角三角形．
标记符号，代数推理：
S1
S2
a
b
c
谢谢
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