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(共30张PPT)
1.2 空间向量基本定理
人教A版（2019）选择性必修第一册
第一章 空间向量与立体几何
学习目标
掌握空间向量基本定理
01
会用空间向量基本定理对向量进行分解
02
会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角
03
新知引入
由平面向量基本定理可知：
平面内的任意一个向量 p 都可以用两个不共线的向量 a，b 来表示.
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
平面向量基本定理
类似的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？
探索新知
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
p
i
j
k
P
Q
O
α
设 i，j，k 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点 O．
对于任意一个空间向量 p ＝，
设 为 在 i，j 所确定的平面上的投影向量，
则
又 与 k 共线，由共线定理有 zk ，
即 zk .
探索新知
p
i
j
k
P
Q
O
α
而在 i，j 所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 (x,y)，使得 .
从而 zk，
因此，如果 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量 p 存在唯一有序实数组 (x,y,z)，使得 p＝xi＋ yj＋zk .
我们称 xi， yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量.
你能证明唯一性吗？
探索新知
式子 p＝xi＋ yj＋zk 中的有序实数组 (x,y,z) 是唯一的吗？
探索新知
探 究
在空间中，如果用任意三个不共面的向量 a，b，c 代替两两垂直的向量 i，j，k，你能得出类似的结论吗？
a
b
c
p
O
P
c
C
A
B
Q
a
b
yb
xa
zc
作
向量 i，j 所确定的平面上取一点 Q，使得
由共线定理有 z ，
由平面向量基本定理有 ，
对任意三个不共面的向量 a，b，c，对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x,y,z) ，使得 p ＝.
由空间向量线性运算有 ，
探索新知
空间向量基本定理
定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc．
由此可知，如果三个向量 a，b，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 { p | p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．
基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，
基向量：a，b，c 都叫做基向量．
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
探索新知
单位正交基底
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 {i，j，k} 表示．
i
j
k
O
探索新知
正交分解
a
P
Q
i
j
k
O
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk，使 a＝xi＋yj＋zk．
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
典型例题
典型例题
典型例题
典型例题
典型例题
所以
典型例题
典型例题
典型例题
探索新知
归纳总结
首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等.
(1) 若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为 0；
(2) 若证明线线平行，只需证明两向量共线；
(3) 若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角).
探索新知
归纳总结
用空间向量基本定理解决立体几何问题：
转化
立体几何问题
向量运算
向量问题
向量问题的解
立体几何问题的解
转化
①适当选取基底
②用基向量表示相关向量
③将相关向量的问题转化为基向量的问题
当堂检测
当堂检测
C
当堂检测
B
当堂检测
D
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
1.空间向量基本定理；
2.会用空间向量基本定理求解立体几何问题.
感谢观看
祝同学新学期新气象

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