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第二章 函数
2.3 函数的单调性和最值
北师大版
必修第一册
学习目标
1.理解函数单调性和最值的概念.
2.会根据函数的图象判断函数的单调性.
3.能根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性
4.能借助函数的图象和单调性求一些简单函数的最值.
下列函数，当自变量发生变化时，函数值 随之怎样变化？
（1） （2） （3）.
问：如何说明函数具有这些特征呢？
初中学习过，一次函数 y=kx+b (k、b为常数，且k≠0)的图象和性质
在 R 上，当 k>0，y 随 x 的增大而增大
在 R 上，当 k<0，y 随 x 的增大而减小
可见，用增大或减小来刻画函数在一个区间的变化是非常重要的！
一元二次函数和反比例函数，也有类似的性质.
如图，是函数的图象，说出在各个区间函数值 随 的值的变化情况.
从左往右观察
问：在区间图象有何共同特征？
答：图象是上升的。
每一个区间上，函数值都是随值的增大而增大
追问：那在区间图象有
何共同特征？
答：图象是下降的
每一个区间上，函数值都是随值的增大而减小
思考：怎样用数学的符号语言表达函数 f (x) 在区间[-6，-5]上随 x 值的增大而增大呢？
函数的单调性
用数学的符号语言表达函数值 f (x) 在区间[-6，-5]上随 x 值的增大而增大：
对任意的 x1，x2∈[-6，-5]，若 x1＜x2，则 f（x1）＜f（x2）；
或对任意的 x1，x2∈[-6，-5]，若 x1＞x2，则 f（x1）＞f（x2）．
函数的单调性
函数的单调性
函数的单调性
函数的单调性
即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；
自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为减函数；
函数的单调性
能否说 f (x)＝ 在定义域内单调递减？为什么？
由图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但在整个定义域内不是单调递减的，这不符合减函数的定义；
函数 f (x)＝ 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），
只能说“函数在区间（－∞，0）和区间（0，＋∞）上都是递减的”
函数的单调性
函数的单调性
函数的最值
你能根据最大值的定义，写出函数最小值的定义吗？
函数的最值与值域的联系与区别
[1] 函数的值域一定存在，而函数的最大（小）值不一定存在，如函数 的值域确定，但没有最值；
[2] 若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；
[3] 若单调函数的值域是开区间（两端点都取不到），则函数无最值；若单调函数的值域是闭区间，则闭区同的端点值就是函数的最值.
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用定义证明函数单调性小结
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