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第二章 函数
2.4.1 函数的奇偶性
北师大版
必修第一册
学习目标
1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3. 学会判断函数的奇偶性．
在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数 和 的图象
并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f (x)=x2 … …
9 4 1 0 1 4 9
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f (x)=2-|x| … …
-1 0 1 2 1 0 -1
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
图象关于 y 轴对称
f (-1)
f (1)
f (-2)
f (2)
f (-3)
f (3)
=
=
=
-x
x
(x, f (x))
(-x, f (-x))
f (-x)
f (x)
=
任意一点
例题巩固
奇函数
偶函数
奇偶函数的特点
[1] 具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件.
[2] 具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．
奇偶函数的特点
例题巩固
例题巩固
例题巩固
例题巩固
判断函数奇偶性的步骤
判断函数奇偶性的步骤
函数图象的对称性
研究函数的奇偶性的实质就是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于特殊点(原点)及特殊直线(y轴)对称的问题.那么我们能否把这种对称性加以推广呢？
轴对称的定义
p(x，y) 是函数 y＝f(x) 上的点，x＝a 为对称轴，则 p 点关于 x＝a 的对称点 p′(x′，y′) 也在 f (x)上.
理解本质：p和p′的连线的横坐标x的中点为a，纵坐标y相等.
中心对称的定义
p(x，y) 是函数 y＝f(x) 上的点，A(a，b) 为对称点，则 p 点关于 A 点的对称点 p′(x′，y′)也在 f (x) 上.
理解本质：p 和 p′ 的连线的横坐标 x 的中点为a，纵坐标 y 中点为 b.
函数图象的对称性
推导证明：关于 x＝a 轴对称：f (xa)＝f (a－x)① 或 f (x)＝f (2a－x)②
证明：根据函数关于 x＝a 对称的定义，p(x，y) 的对称点 p′(x′，y′) 有如下等式，y＝y′.我们得到：x′＝2a－x
轴对称跟偶函数关系：若令a＝0，则x＝0为对称轴，f(x)＝f(－x)，符合偶函数定义
由于 p′(x′，y′) 也在 f (x) 上，代入得 f (x′)＝f (2a－x)＝y′，而 y′＝y＝f (x)，
所以 f (2a－x)＝f (x)，证得②.
再加 x＋a 替换 x 得：f (2a－(x＋a))＝f (a－x)＝f (a＋x)，证得①.
函数图象关于直线对称
函数 y＝f (x) 在定义域内恒满足的条件 函数 y＝f (x) 的图象的对称轴
f (a＋x)＝f (a－x) 直线 x＝a
f (x)＝f (a－x) 直线
f (a＋x)＝f (b－x) 直线
函数图象的对称性
推导证明：关于点 A(a，b) 中心对称：f (ax)f (a－x)＝2b① 或 f (x)f (2a－x)＝2b②
证明：根据函数关于点 A(a，b) 中心对称的定义，p(x，y) 的对称点 p′(x′，y′) 有如下等式 ，. 我们得到：x′＝2a－x，y′＝2b－y
由于 p′(x′，y′) 也在 f (x)上，代入得 f (x′)＝f (2a－x)＝y′，y′＝2b－y＝2b－f (x)，
整理得到 f (2a－x)＋f (x)＝2b，证得②.
再加 x＋a 替换 x 得：f (2a－(x＋a))＋f (a＋x)＝2b，证得①.
中心对称跟奇函数关系：若令 a＝0，b＝0，则点 A(0，0) 为对称点，
f (－x)＋f (x)＝0，f (x)＝－f (－x)，符合奇函数定义
函数图象关于点对称
函数 y＝f (x) 在定义域内恒满足的条件 函数 y＝f (x) 的图象的对称中心
f (a＋x)＋f (a－x)＝2b 点(a，b)
f (x)＋f (a－x)＝b 点
f (a＋x)＋f (b－x)＝c 点
课堂练习
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