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§3.2.1 双曲线及其标准方程
高中数学人教A版选修1第三章
圆锥曲线
椭圆
抛物线
双曲线
复习回顾
复习回顾

反比例函数图像
广州塔（小蛮腰）
上海世博会阳光谷
迪拜帆船酒店
法拉利主题公园
花瓶
演示实验：用拉链画双曲线
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
画双曲线
这两条曲线合起来叫做双曲线，
每一条叫作双曲线的一支。
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
②
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
①|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
类比椭圆定义，
你能给双曲线
下定义吗？
探究新知
1、定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
（小于︱F1F2︱)
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
F
2
F
1
M
探究新知
M
o
F
2
F
1
| |MF1| - |MF2| | =
（3）若,则轨迹是什么？
（1）若,则轨迹是什么？
（2）若,则轨迹是什么？
M
两条射线
1、定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
探究新知
M
o
F
2
F
1
| |MF1| - |MF2| | =
（3）若,则轨迹是什么？
（1）若,则轨迹是什么？
（2）若,则轨迹是什么？
两条射线
不表示任何轨迹
1、定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
探究新知
M
o
F
2
F
1
| |MF1| - |MF2| | =
（3）若,则轨迹是什么？
（2）若,则轨迹是什么？
两条射线
不表示任何轨迹
线段F1F2的垂直平分线
（1）若,则轨迹是什么？
1、定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
设,双曲线的焦距为
F1
F2
M
以F1,F2所在的直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系
1. 建系.
2.设点．
3.列式．
探究新知
o



o
F1
M
4.化简．
探究新知
F2



双曲线上任意一点的坐标都是方程的解
以方程的解为坐标的点都在双曲线上
F
2
F
1
M
x
O
y
探究新知
2、双曲线的标准方程


这个方程叫做双曲线的标准方程 ，
它所表示的双曲线的焦点在x轴上，
焦点是
类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
其中
这个方程也叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是
O
M
F2
F1
x
y
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
探究新知
2、双曲线的标准方程


判断： 与 的焦点位置？

结论：



判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。
随堂练习



随堂练习



判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。

先把非标准方程化成标准方程，再进行判断。
例1
题型一　求双曲线的标准方程
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
典型例题
典型例题
解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
因此，双曲线的标准方程为
由题意，
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程
小试牛刀
（1）焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5)
法①待定系数法
解：设双曲线的标准方程为
所求双曲线的标准方程为
则
解得
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程
小试牛刀
（1）焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5)
解：设双曲线的标准方程为
所求双曲线的标准方程为
法②定义法
由定义可知，
解：设双曲线的标准方程为
代入点 得
令
则
解得
故所求双曲线的标准方程为







避免了分类讨论，运算更简便。
解：设双曲线的方程为
课堂小结
求双曲线标准方程


1、待定系数法
2、定义法
例2
题型二　利用双曲线的定义求轨迹问题
动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
典型例题
y
x
o
M
C1
C2
解：设圆M的半径为R
∵圆M与圆C1外切，且与圆C2内切，
∴|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1，
∴所求轨迹方程为 (x≥2)．
∴|MC1|－|MC2|＝4
<=6
∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，
且有a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5，
例2 动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
例3
典型例题
例3 已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
且有 2a=680，a=340
x
y
o
P
B
A
解：如图，以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，
建立平面直角坐标系
点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支
<=800
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢
课堂总结
1、双曲线的定义及其标准方程
双曲线定义及标准方程
定义 图像
标准 方程
焦点
a.b.c 的关系 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c)
课堂总结
1、双曲线的定义及其标准方程
3、与双曲线有关的轨迹问题
4、双曲线在实际问题中的应用
2、如果方程 表示双曲线，求m的取值范围.
课后思考
3、设双曲线，F1、F2是其两个焦点，点M在双曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；
(2)若∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积是多少？
1、设F1、F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离是 。
THANK YOU
THE END

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